新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结.doc

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1、新课标高中数学推理与证明知识归纳总结新课标高中数学推理与证明知识归纳总结推理与证明知识归纳总结归纳推理合情推理推理类比推理推演绎推理理与综合法证明直接证明分析法证明数学归纳间接证明反证法第一部分合情推理学习目标：了解合情推理的含义（易混点）理解归纳推理和类比推理的含义，并能运用它进行简单的推理（重点、难点）了解合情推理在数学发展中的作用（难点）一、知识归纳：合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：归纳推理:1.归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.

2、2.归纳推理的一般步骤:第一步，通过观察个别情况发现某些相同的性质;第二步，从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）.思考探究:1.归纳推理的结论一定正确吗?2.统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理?题型1用归纳推理发现规律1、观察：715211；5.516.5211；33193211；.对于任意正实数a,b，试写出使ab211成立的一个条件可以是_.点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故ab222、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢

3、，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数.则f(4)=_;f(n)=_.【解题思路】找出f(n)f(n1)的关系式解析f(1)1,f(2)16,f(3)1612,f(4)16121837f(n)1612186(n1)3n23n1总结：处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系类比推理1.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理.简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.2.类比推理的一般步骤:第一步：找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；第二步：用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个

4、猜想.思考探究:1.类比推理的结论能作为定理应用吗?2.(1)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径.由此结论如何类比到球体?(2)平面内不共线的三点确定一个圆.由此结论如何类比得到空间的结论?题型2用类比推理猜想新的命题例已知正三角形内切圆的半径是高的_.【解题思路】从方法的类比入手解析原问题的解法为等面积法，即S等体积法，V1，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是3111ah3arrh，类比问题的解法应为2231111Sh4Srrh即正四面体的内切球的半径是高3344总结：（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向

5、高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等合情推理1.定义:归纳推理和类比推理都有是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.简言之，合情推理就是合乎情理的推理.2.推理的过程:从具体问题出观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想发思考探究:1.归纳推理与类比推理有何区别与联系?1）归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。2）类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似

6、性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。第二部分演绎推理学习目标：理解演绎推理的含义（重点）掌握演绎推理的模式，会利用三段论进行简单推理（重点、难点）合情推理与演绎推理之间的区别与联系一、知识归纳：演绎推理的含义:1.演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论.演绎推理又叫逻辑推理.2.演绎推理的特点是由一般到特殊的推理.思考探究:演绎推理的结论一定正确吗?演绎推理的模式1.演绎推理的模式采用“三段论”:(1)大前提已知的一般原理(M是P);(2)小前提所研究的特殊情况(S是M);(3)结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断

7、(S是P).2.从集合的角度看演绎推理:(1)大前提:xM且x具有性质P;(2)小前提：yS且SM(3)结论：y具有性质P.演绎推理与合情推理合情推理与演绎推理的关系:(1)从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特说的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理.(2)从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.第三部分直接证明与间接证明学习目标：1、了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。2、了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过

8、程、特点。知识归纳：三种证明方法:综合法、分析法、反证法分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。反证法：它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止(3)断言假设不成立(4)肯定原命题的结论成立用反证法证明一个命

9、题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题考点1综合法在锐角三角形ABC中,求证:sinAsinBsinCcosAcosBcosC解析ABC为锐角三角形，AB2A2B，ysinx在(0,)上是增函数，sinAsin(B)cosB22同理可得sinBcosC，sinCcosAsinAsinBsinCcosAcosBcosC考点2分析法已知ab0,求证abab解析要证abab，只需证(ab)2(ab)2即ab2abab，只需证bab，即证ba显然ba成立，因

10、此abab成立总结：注意分析法的“格式”是“要证-只需证-”，而不是“因为-所以-”考点3反证法已知f(x)axx2(a1)，证明方程f(x)0没有负数根x1x02x01【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾解析假设x0是f(x)0的负数根，则x00且x01且ax00ax0101x021，解得x02，这与x00矛盾，2x01故方程f(x)0没有负数根总结：否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多第四部分数学归纳法学习目标：1了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。2掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题3能通过“

11、归纳-猜想-证明”处理问题。知识归纳：数学归纳法的定义：一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数N的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:(1)证明当n=n0时命题成立;(2)假设当n=k（+，且0）时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.1数学归纳法的本质：无穷的归纳有限的演绎（递推关系）2数学归纳法步骤：（1）（递推奠基）：当n取第一个值n0结论正确；（2）（递推归纳）：假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确；（归纳假设）证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）由(1)，(2)可知

12、，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。例1已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（k2且为偶数）时命题为真，则还需证明（）A.n=k+1时命题成立B.n=k+2时命题成立C.n=2k+2时命题成立D.n=2（k+2）时命题成立解析因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，故选B总结：用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：（1）n的范围以及递推的起点（2）观察首末两项的次数（或其它），确定n=k时命题的形式f(k)（3）从f(k1)和f(k)的差异，寻找由k到k+1递推中，左边要加（乘）上的式子例2、用数学归纳法证明不等式1223n(n1)1(n1)

13、22解析（1）当n=1时，左=2，右=2，不等式成立123k(k1)(k1)2212则1223k(k1)(k1)(k2)(k1)(k1)(k2)2（2）假设当n=k时等式成立，即121(k2)2(k1)(k2)2(k1)(k1)(k2)(k1)(k2)0211223k(k1)(k1)(k2)(k1)122当n=k+1时，不等式也成立综合（1）（2），等式对所有正整数都成立总结：（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；（2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；（3）由k推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面扩展

14、阅读：新课标高中数学知识点归纳总结高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版引言1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。必修5：解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度

15、上做过高的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。选修11：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修12：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。选修21：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修22：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修23：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。系列3：由6个专题组成。选修31：数学史选讲。选修32：信息安全与密码。选修33：球面上的几何。选修34：对称与群。-1-选修35：欧拉公式与闭曲面分类。选修36：三等分角与数域扩充。系列4：由

16、10个专题组成。选修41：几何证明选讲。选修42：矩阵与变换。选修43：数列与差分。选修44：坐标系与参数方程。选修45：不等式选讲。选修46：初等数论初步。选修47：优选法与试验设计初步。选修48：统筹法与图论初步。选修49：风险与决策。选修410：开关电路与布尔代数。2重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数

17、列求和、数列的应用三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用概率与统计：概率、分布列、期

18、望、方差、抽样、正态分布导数：导数的概念、求导、导数的应用复数：复数的概念与运算关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数fx和它对应，那么就称f:AB为集合A到集合B的一个函数，记作：yfx,xA.2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.1.2.2、函数的表示法1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.1.3.1、单调性与最大（小）值1、注意函数单调性的证明方法：(1)定义法：设x1、x2a,b,x1x2那么f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数；f(x1)f(x2)0f(x)

19、在a,b上是减函数.必修1数学知识点第一章：集合与函数概念1.1.1、集合1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。3、常见集合：正整数集合：N*或N，整数集合：Z，有理数集合：Q，实数集合：R.步骤：取值作差变形定号判断格式：解：设x1,x2a,b且x1x2，则：fx1fx2=(2)导数法：设函数yf(x)在某个区间内可导，若f(x)0，则f(x)为增函数；若f(x)0，则f(x)为减函数.1.3.2、奇偶性1、一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有fxfx，那么就称函数f

20、x为4、集合的表示方法：列举法、描述法.1.1.2、集合间的基本关系1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作AB.2、如果集合AB，但存在元素xB，且xA，则称集合A是集合B的真子集.记作：AB.并规定：3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：空集合是任何集合的子集.偶函数.偶函数图象关于y轴对称.2、一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有fxfx，那么就称函数fx为奇函数.奇函数图象关于原点对称.知识链接：函数与导数1、函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义：函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在P(x

21、0,f(x0)处的切线的斜率f(x0)，相应的切线方4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有2n个子集，2n1个真子集.1.1.3、集合间的基本运算1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作：AB.2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作：AB.3、全集、补集？CUAx|xU,且xU1.2.1、函数的概念1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应-2-程是yy0f(x0)(xx0).2、几种常见函数的导数nn1C0；(x)nx；(sinx)cosx；(cosx)sinx；(a)alna；(e)e；xxxx(lo

22、gax)1xlna；(lnx)1xnamma*n3、导数的运算法则（1）(uv)uv.（2）(uv)uvuv.uuvuv（3）()(v0).2vv4、复合函数求导法则a0,m,nNan1an,m1；n0；4、运算性质：arasarsa0,r,sQ；ararsa0,r,sQ；s复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u),ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.解题步骤:分层层层求导作积还原.5、函数的极值(1)极值定义：极值是在x0附近所有的点，都有f(x)f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值；极值是在x0附近所有的点，都有f(x)

23、f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极小值.(2)判别方法：如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值.6、求函数的最值(1)求yf(x)在(a,b)内的极值（极大或者极小值）abarbra0,b0,rQ.r2.1.2、指数函数及其性质1、记住图象：yaxa0,a1yy=ax0logalogMlogNMnaMlogaN；anlogaM.ba5、换底公式：logabloglog第三章：函数的应用3.1.1、方程的根与函数的零点1、方程fx0有实根函数yfx的图象与x轴有交点函数yfx有零点.2

24、、零点存在性定理：如果函数yfx在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有fafb0，那么函数yfx在区间a,b内有零点，即存在ca,b，xcca0,a1,c0,c1,b0.6、重要公式：logabmnmnlogab7、倒数关系：logab1logbaa0,a1,b0,b1.2.2.2、对数函数及其性质1、记住图象：ylog2、性质：图-12.51.5axa0,a1yy=logax0判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）。性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么圆柱侧面积；S侧面2rl它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）

25、。11、线面垂直：定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。圆锥侧面积：S侧面rl圆台侧面积：S侧面rlRl体积公式：V柱体Sh；V锥体性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。12、面面垂直：定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，则线面垂直）。第三章：直

26、线与方程1、倾斜角与斜率：ktan2、直线方程：点斜式：yy0kxx0y2y1x2x113Sh；V台体13S2上S上S下S下h球的表面积和体积：S球4R，V球43R.3第二章：点、直线、平面之间的位置关系1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。斜截式：ykxbyy1xx1xayb两点式：y2y1x2x12、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。截距式：14、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。一般式

27、：AxByC03、对于直线：l1:yk1xb1,l2:yk2xb2有：k1k2l1/l2；bb216、线线位置关系：平行、相交、异面。7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。8、面面位置关系：平行、相交。9、线面平行：判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）。性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则线线平行）。l1和l2相交k1k2；k1k2l1和l2重合；b1b2-5-10、面面平行：l1l2k1k21.4、对于直线：l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2

28、yC20dr相切0;dr相交0.弦长公式：l2r2d2有：1k2(x1x2)4x1x22A1B2A2B1l1/l2；B1C2B2C13、两圆位置关系：dO1O2外离：dRr；外切：dRr；相交：RrdRr；内切：dRr；内含：dRr.3、空间中两点间距离公式：P1P2l1和l2相交A1B2A2B1；A1B2A2B1l1和l2重合；BCBC2112l1l2A1A2B1B20.5、两点间距离公式：P1P2x2x1y2y1z2z12222x2x1y2y12必修3数学知识点第一章：算法1、算法三种语言：自然语言、流程图、程序语言；2、流程图中的图框：起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示

29、方法；3、算法的三种基本结构：顺序结构、条件结构、循环结构顺序结构示意图：当型循环结构直到型循环结构6、点到直线距离公式：dAx0By0CAB227、两平行线间的距离公式：l1：AxByC10与l2：AxByC20平行，C1C2AB22则d第四章：圆与方程1、圆的方程：2标准方程：xaybr22其中圆心为(a,b)，半径为r.一般方程：xyDxEyF0.其中圆心为(D2,E2)，半径为r12DE4F.22语句n语句n+122（图1）条件结构示意图：IF-THEN-ELSE格式：-6-2、直线与圆的位置关系直线AxByC0与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种:dr相离0;222满足条件？是语句

30、1否语句（图2）IF-THEN格式：是满足条件？否语句（图3）循环结构示意图：当型（WHILE型）循环结构示意图：循环体满足条件？是否（图4）直到型（UNTIL型）循环结构示意图：循环体否满足条件？是（图5）4、基本算法语句：输入语句的一般格式：INPUT“提示内容”；变量输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式赋值语句的一般格式：变量表达式（“=”有时也用“”）.条件语句的一般格式有两种：IFTHENELSE语句的一般格式为：IF条件THEN语句1ELSE语句2ENDIF（图2）IFTHEN语句的一般格式为：IF条件THEN语句ENDIF（图3）循环语句的一般格式是两种：当型循环（

31、WHILE）语句的一般格式：WHILE条件循环体WEND（图4）直到型循环（UNTIL）语句的一般格式：DO循环体LOOPUNTIL条件（图5）算法案例：辗转相除法结果是以相除余数为0而得到利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：）：用较大的数m除以较小的数n得到一个商S0和一个余数R0；）：若R00，则n为m，n的最大公约数；若R00，则用除数n除以余数R0得到一个商S1和一个余数R1；）：若R10，则R1为m，n的最大公约数；若R10，则用除数R0除以余数R1得到一个商S2和一个余数R2；依次计算直至Rn0，此时所得到的Rn1即为所求-7-的最大公约数。更相减损术结果是以减数与差相等而得到利

32、用更相减损术求最大公约数的步骤如下：）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。进位制十进制数化为k进制数除k取余法k进制数化为十进制数第二章：统计1、抽样方法：简单随机抽样（总体个数较少）系统抽样（总体个数较多）分层抽样（总体中差异明显）注意：在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为2、总体分布的估计：一表二图：频率分布表数据详实频率分布直方图分布直观频率分布折线图便于观察总体

33、分布趋势注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。茎叶图：茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。3、总体特征数的估计：平均数：xx1x2x3xnn线性回归方程变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；制作散点图，判断线性相关关系线性回归方程：ybxa（最小二乘法）nxiyinxyi1bn22xnxii1aybx注意：线性回归直线经过定点(x,y)。第三章：概率1、随机事件及其概率：事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；必然事件、不可能事件、随机事件的特点；随机事件A的概率：P(A

34、)mn,0P(A)1.nN。2、古典概型：基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；古典概型的特点：所有的基本事件只有有限个；每个基本事件都是等可能发生。古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则事件A发生的概率P(A)3、几何概型：几何概型的特点：所有的基本事件是无限个；每个基本事件都是等可能发生。几何概型概率计算公式：P(A)d的测度D的测度mn.；取值为x1,x2,xn的频率分别为p1,p2,pn，则其平均数为x1p1x2p2xnpn；注意：频率分布表计算平均数要取组中值。方差与标准差：一组样本数据x1,x2,xn方差：s2；其中测度根

35、据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。4、互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；如果事件A1,A2,An任意两个都是互斥事件，则称事件A1,A2,An彼此互斥。如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B发生的概率的和，即：P(AB)P(A)P(B)如果事件A1,A2,An彼此互斥，则有：P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)1nn2i(xi1x)；标准差：s1nn2i1(xix)注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。事件A的对

36、立事件记作AP(A)P(A)1,P(A)1P(A)sin064322334322costan对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、平方关系：sin2cos21.2、商数关系：tansincos必修4数学知识点第一章：三角函数1.1.1、任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角终边相同的角的集合：2k,kZ.1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、lr.3、倒数关系：tancot11.3、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”kZ）1、诱导公式一：sin2ksin,cos2kcos,（其中

37、：kZ）tan2ktan.nR180R.2、诱导公式二：sinsin,3、弧长公式：lcoscos,tantan.4、扇形面积公式：SnR360212lR.3、诱导公式三：sinsin,1.2.1、任意角的三角函数1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点Px,y，那么：siny,cosx,tanyxcoscos,tantan.4、诱导公式四：sinsin,2、设点Ax,yrxy）yr22为角终边上任意一点，那么：（设coscos,tantan.cos，xrtan，yxsin，cotxy5、诱导公式五：sincos,2cossin.23、sin，cos，tan在四个象限的符号和三角函数线的画法

38、.y正弦线：MP;余弦线：OM;正切线：ATOMAxPT6、诱导公式六：sincos,2cossin.25、特殊角0，30，45，60，90，180，270等的三角函数值.-9-1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：y-4-7-32-4-72y=sinx2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、7225324-52-2-3-2-21-1y1-1o322奇偶性、单调性、周期性.x3、会用五点法作图.yx在x0,2上的五个关键点为：y=cosx-5-32-2-2-32o2322527324x3（0，0）（，1）（，0）（，

39、）-1（，2，0）.221.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：y2、记住余切函数的图象：yy=tanxy=cotx-32-2o232x-2o2322x3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义：对于函数fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有fxTfx，那么函数fx就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质ysinxycosxytanx图象定义域值域x2kRRx|x2k,kZ-1,12x2k-1,1R无,kZ时，ymax1最值2,kZ时，ymin

40、1x2k,kZ时，ymax1x2k,kZ时，ymin1周期性奇偶性在2kT2T2T奇2,2k偶上单调递增上单调递减奇2单调性在2k,2k上单调递增在(k在2k,2k上单调递减2kZ在2k,k2)上单调递增2,2k32对称性对称轴方程：xkZk2对称中心(k,0)对称轴方程：xk对称中心(k,0)2无对称轴对称中心(k2,0)1.5、函数yAsinx的图象1、对于函数：yAsinxBA0,0有：振幅A，周平移个单位yAsinx（左加右减）平移|B|个单位（上加下减）yAsinxB期T2，初相，相位x，频率f1T2.2、能够讲出函数ysinx的图象与yAsinxB的图象之间的平移伸缩变3、三角函数

41、的周期，对称轴和对称中心函数ysin(x)，xR及函数ycos(x)，xR(A,为常数，且A0)的周期T数ytan(x)，xk常数，且A0)的周期T22|；函换关系.先平移后伸缩：ysinx平移|个单位ysinx（左加右减）,kZ(A,为|.横坐标不变yAsinx纵坐标变为原来的A倍对于yAsin(x和)yAcos(x)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.求函数yAsin(x)图像的对称轴与对称中心，只需令xk2(kZ)与xk(kZ)纵坐标不变yAsinx横坐标变为原来的|平移|B|个单位（上加下减）1|倍解出x即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式利用

42、图像特征：Aymaxymin2yAsinxB，Bymaxymin2.要根据周期来求,要用图像的关键点来求.1.6、三角函数模型的简单应用1、要求熟悉课本例题.第三章、三角恒等变换3.1.1、两角差的余弦公式记住15的三角函数值：cossin12先伸缩后平移：ysinx横坐标不变yAsinx纵坐标变为原来的A倍x纵坐标不变yAsin横坐标变为原来的|1tan|倍-11-6426423.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、sinsincoscossin2、sinsincoscossin3、coscoscossinsin4、coscoscossinsin5、tan6、tantantan.1t

43、antantantan.1tantan1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量.2.1.2、向量的几何表示1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作AB；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.2.1.3、相等向量与共线向量1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.2、abab.2.2.2、向

44、量减法运算及其几何意义1、与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.2、三角形减法法则和平行四边形减法法则.2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a，它的长度和方向23.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、sin22sincos，变形：sincos1sin2.22、cos2cos2sin22cos112sin.22变形如下：21cos22cos升幂公式：21cos22sincos21(1cos2)2降幂公式：2sin1(1cos2)23、tan22tan.21tansin21cos2sin24、tan1cos23.2、简单

45、的三角恒等变换1、注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式yasinxbcosxabsin(x)2规定如下：aa,当0时,a的方向与a的方向相同；当0时,a的方向与a的方向相反.-2-（其中辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定,tanba).第二章：平面向量2.1.1、向量的物理背景与概念2、平面向量共线定理：向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.2.3.1、平面向量基本定理1、平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a，有且只有一对实数1,2，使a1e12e2.2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、设ax1,y1,bx

46、2,y2，则：abx1x2y1y2ax1y122abab0x1x2y1y20a/babx1y2x2y102.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示1、axiyjx,y.2.3.3、平面向量的坐标运算1、设ax1,y1,bx2,y2，则：abx1x2,y1y2，abx1x2,y1y2，ax1,y1，a/bx1y2x2y1.2、设Ax1,y1,Bx2,y2，则：ABx2x1,y2y1.2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，则线段AB中点坐标为x1x21y22,y2，ABC的重心坐标为x1x2x3y1y2y33,3.2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含

47、义1、ababcos.2、a在b方向上的投影为：acos.3、22aa.24、aa.5、abab0.2、设Ax1,y1,Bx2,y2，则：ABx2x221y2y1.3、两向量的夹角公式cosabx1x2y1y2abx221y21x2y224、点的平移公式平移前的点为P(x,y)（原坐标），平移后的对应点为P(x,y)（新坐标），平移向量为PP(h,k)，则xxhyyk.函数yf(x)的图像按向量a(h,k)平移后的图像的解析式为ykf(xh).2.5.1、平面几何中的向量方法2.5.2、向量在物理中的应用举例知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几

48、何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量：若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线l的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.平面的法向量：若向量n所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作n，如果n，那么向量n即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。3、用向量方法判定空间的垂直关系线线垂直设直线l1,l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1l2，只需证明ab，即ab0.叫做平面的法向量.平面的法向量的求法（待定系数法）：建立适当的坐标系设平面的法向量为n(x,y,z)即：两直线垂直线面垂直两直线的方向向量垂直。求出平面内两个不共线向量的坐标a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3)na0根据法向量定义建立方程组.nb0（法一）设直线l的方向向量是a，平面的法向l量是u，则要证明，只需证明au，即au.（法二）设直线l的方向向量是a，平面内的两am0,则l.个相交向量分别为m、n，若an0解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.（如图）即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不