高数下公式总结.doc

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1、高数下公式总结高数下公式总结高等数学下册公式总结1、N维空间中两点之间的距离公式：p(x1,x2,.,xn),Q(y1,y2,.,yn)的距离PQ(x1y1)2(x2y2)2.(xnyn)22、多元函数zf(x,y)求偏导时，对谁求偏导，就意味着其它的变量都暂时看作常量。比如，就可以了。z表示对x求偏导，计算时把y当作常量，只对x求导x2z2z3、二阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求导次序无关，即。xyyx4、多元函数zf(x,y)的全微分公式：dzzzdxdy。xy5、复合函数zf(u,v),u(t),v(t)，其导数公式：dzzduzdv。dtudtvdtFXdy,Fy分别表示对x,y6

2、、隐函数F(x,y)=0的求导公式：，其中FxdXFy求偏导数。方程组的情形：F(x,y,u,v)0的各个偏导数是：G(x,y,u,v)0FFxvGGuvxv，xxFFuvGGuvFFuxGGuux，yFFuvGGuvFFyvGGyvFFuvGGuv，v。yFFuvGGuvFFyuGGuy7、曲线的参数方程是：x(t),y(t),z(t)，则该曲线过点M(x0,y0,z0)的法平面方程是：(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0切线方程是：(xx0)(yy0)(zz0)。(t0)(t0)(t0)8、曲面方程F(x,y,z)0在点M(x0,y0,z0)处的法线方程是：(xx0)(

3、yy0)(zz0)，FxFyFz(xx0)Fy(yy0)Fz(zz0)0。切平面方程是：Fx9、求多元函数z=f(x,y)极值步骤：第一步：求出函数对x,y的偏导数，并求出各个偏导数为零时的对应的x,y的值第二步：求出fxx(x0,y0)A,fxy(x0,y0)B,fyy(x0,y0)C第三步：判断AC-B2的符号，若AC-B2大于零，则存在极值，且当A小于零是极大值，当A大于零是极小值；若AC-B2小于零则无极值；若AC-B2等于零则无法判断10、二重积分的性质：（1）（2）(3)kf(x,y)dkf(x,y)dDDf(x,y)g(x,y)df(x,y)dg(x,y)dDDDDD1D2f(x

4、,y)df(x,y)df(x,y)d(4)若f(x,y)g(x,y)，则（5）f(x,y)dg(x,y)dDDds，其中s为积分区域D的面积D（6）mf(x,y)M，则ms（7）积分中值定理：f(x,y)dMsDf(x,y)dsf(,)，其中(,)是区域D中的点DdP2(y)11、双重积分总可以化简为二次积分（先对y，后对x的积分或先对x，后对y的积分形式）bP2(x)f(x,y)ddxDaP1(x)f(x,y)dydycP1(y)f(x,y)dx，有的积分可以随意选择积分次序，但是做题的复杂性会出现不同，这时选择积分次序就比较重要，主要依据通过积分区域和被积函数来确定12、双重积分转化为二次

5、积分进行运算时，对谁积分，就把另外的变量都看成常量，可以按照求一元函数定积分的方法进行求解，包括凑微分、换元、分步等方法13、曲线、曲面积分：（1）对弧长的曲线积分的计算方法：设函数f（x,y）在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为x(t)y(t)，(t)，则Lf(x,y)dsf(t),(t)2(t)2(t)dt（2）格林公式：(DQP)dxdyPdxQdyxyLL14、向量的加法与数乘运算：a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2)，则有ka(kx1,ky1,kz1)，xyzab(x1x2,y1y2,z1z2)，若ab，则111x2y2z215、向量的模、数量积、向量积：若a(x1,y

6、1,z1),b(x2,y2,z2)，则向量a的模长222ax1y1z1；数量积（向量之间可以交换顺序，其结果是一个数值）abbax1x2y1y2z1z2baabcosa,b，其中a,b表示向量b,a的夹角，且若ab，则有ab0；向量积（向量之间不可以交换顺序，其结果仍是一个向量）ijkabx1y1z1(y1z2y2z1)i(x2z1x1z2)j(x1y2x2y1)k，其中i,j,k是x轴、x2y2z2y轴、z轴的方向向量16、常数项无穷级数unu1u2u3.un.，令snu1u2u3.un称为无n1穷级数的部分和，若limsns，则称改级数收敛，否则称其为发散的。其中关于无穷级数x的一个必要非

7、充分地定理是：若un收敛，则必有limun0n1x17、三种特殊的无穷级数：（1）调和级数1是发散的，无须证明就可以直接引用n1nn（2）几何级数aq，当q1时收敛，当q1时发散n1（3）p级数1，当p1时收敛，当p1时发散pn1nn118、正项级数un的判敛方法：（1）比较判敛法：若存在两个正项级数un，vn，且有vnun，若un收敛，则vn收n1n1敛；若vn发散，则un发散（2）比较判敛法的极限形式：若limunl,(l0)，则un和vn具有相同的敛散性xvnun1l，若l1，则原级数收敛，若l1，则原级xun（3）比值判敛法：对于un，limn1数发散19、交错级数(1)n1n1un的

8、判敛方法：同时满足unun1及limun0，则级数收敛，否x则原级数发散20、绝对收敛和条件收敛：对于un，若un收敛，则称其绝对收敛；若un发散，n1n1n1但是un收敛，则称其条件收敛n121、函数项无穷级数形如：un(x)u1(x)u2(x)u3(x).un(x).，通常讨论的是n1幂级数形如：anxa0a1xa2xa3x.anx.，n0n23n（1）收敛半径及收敛区间：liman11,则收敛半径R，收敛区间则为(R,R)，但xan是要注意的是，收敛区间的端点是否收敛需要用常数项级数判敛方法验证(2n1)xnn-1x（2）几种常见函数的幂级数展开式：e，sinx，（-1）n0n!n1(2

9、n1)!x11x2nnx，(1)nxn，cosx(1)n01xn0(2n)!1xn0n22、常微分方程的类型及解题方法：（1）可分离变量的微分方程：yf(x,y)，总是可以分离变量化简为式，然后等式两边同时积分，即可求出所需的解（2）齐次方程：yf(x,y)，不同的是，等式右端的式子总是可以化简为f()的形式，令dydx的形f(y)f(x)yxyu，则原方程化简为可分离变量方程形式uxuf(u)来求解x（3）一阶线性微分方程：形如yp(x)yf(x)的方程，求解时首先求出该方程对应的齐次方程yp(x)y0的解ycQ(x)，然后使用常熟变易法，令cu(x)，把原方程的解yu(x)Q(x)带入原方

10、程，求出u(x)，再带入yu(x)Q(x)中，即求出所需的解（4）全微分方程：形如p(x,y)dxQ(x,y)dy0的方程，只要满足xyp(x,y)Q(x,y)，yx则称其为全微分方程，其解为u0p(x,y)dxQ(x,y)dy0（5）二阶微分方程的可降阶的三种微分方程：第一种：yf(x)的形式，只需对方程连续两次积分就可以求出方程的解第二种：yf(x,y)的形式，首先令yz，则原方程降阶为可分离变量的一阶微分方程zf(x,z)的形式，继续求解即可第三种：yf(y,y)的形式，同样令yz，由于yzdzdzdydzy，所以dxdydxdy原方程转化为一阶微分方程dzzf(y,z)的形式，继续求解

11、即可dy（6）二阶常系数齐次微分方程：ypyqy0，求解时首先求出该方程对应的特征方r1x程r2prq0的解r1,r2，若实根rc2er2x；若实根r1r2，则解1r2，则解为yc1e为y(c1c2x)e1；若为虚根abi，则解为yeax(c1cosbxc2sinbx)rx（8）二阶常系数非齐次微分方程：ypyqyPm(x)e，求解时先按（7）的方法求其rx对应的齐次微分方程的通解y1，然后设出原方程的特解yxQm(x)erx，其中Qm(x)是和P含有相应的未知系数，而k根据特征方程的解r1,r2与r的关系取值，m(x)同次的多项式，若r与特征根不相等，则k取0；若r和一个特征根相等，则k取1

12、；若r和特征根都相等，则k取2，将特解代入原方程求出相应的未知系数，最终原方程的解即通解加上特解，即kyy1y扩展阅读：高数下册公式总结高等数学（一）教案期末总复习第八章向量与解析几何向量代数定义与运算的几何表达定义向量模有大小、有方向.记作a或AB向量a的模记作a在直角坐标系下的表示aaxiayjazk(ax,ay,az)axprjxa,ayprjya,azprjzaaax2ay2az2和差cabcab单位向量cabaxbx,ayby,azbzaa0，则eaa设a与x,y,z轴的夹角分别为，则方向余弦分别为cos，cos，cosea(ax,ay,az)axayaz222方向余弦aaacosx

13、，cosy，coszaaaea(cos，cos，cos)cos2+cos2cos21点乘（数量积）ababcos，为向量a与b的夹角abaxbxaybyazbziabaxbxjaybykazbzcabsin叉乘（向量积）为向量a与b的夹角cab向量c与a，b都垂直定理与公式垂直平行abab0a/bab0abaxbxaybyazbz0a/bcosaxayazbxbybz2222交角余弦ab两向量夹角余弦cosab向量a在非零向量b上的投影axbxaybyazbzaxayazbxbybz22投影abprjbaacos(ab)bprjbaaxbxaybyazbzbxbybz222平面法向量nA,B,

14、C点M0(x0,y0,z0)方程名称一般式方程形式及特征直线方向向量Tm,n,p点M0(x0,y0,z0)方程名称一般式方程形式及特征A1xB1yC1zD10A2xB2yC2zD20AxByCzD0高等数学（一）教案期末总复习点法式A(xx0)B(yy0)C(zz0)0xx1yy1y2y1y3y1zz1z2z10z3z1点向式三点式x2x1x3x1参数式xx0yy0zz0mnpxx0mtyy0ntzzpt0xx0yy0zz0x1x0y1y0z1z0截距式面面垂直面面平行线面垂直xyz1abcA1A2B1B2C1C20A1B1C1A2B2C2ABCmnp两点式线线垂直线线平行线面平行m1m2n1

15、n2p1p20m1n1p1m2n2p2AmBnCp0点面距离M0(x0,y0,z0)AxByCzD0面面距离AxByCzD10AxByCzD20dAx0By0Cz0DABC222dD1D2ABC222面面夹角n1A1,B1,C1n2A2,B2,C2cos|A1A2B1B2C1C2|A1B1C1A2B2C2222222线线夹角s1m1,n1,p1s2m2,n2,p2线面夹角sm,n,pnA,B,CAmBnCpA2B2C2m2n2p2cosm1m2n1n2p1p2222m12n12p12m2n2p2sinx(t)，y(t)，z(t)，切“线”方程：切向量xx0yy0zz0(t0)(t0)(t0)空

16、间(t)曲线：T(t0),(t0),(t0)法平“面”方程：(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0切“线”方程：y(x)切向量T(1,(x),(x)z(x)xx0yy0zz01(x0)(x0)法平“面”方程：(xx0)(x0)(yy0)(x0)(zz0)0法向量空间F(x,y,z)0曲面：切平“面”方程：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fx(x0,y0,z0)(yy0)n(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)n(fx(x0,y0),fy(x0,y0),1)Fx(x0,y0,z0)(zz0)0法“线“方程：xx0yy0zz0Fx(x0,

17、y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)切平“面”方程：zf(x,y)fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)(zz0)0高等数学（一）教案期末总复习或n(fx(x0,y0),fy(x0,y0),1)法“线“方程：xx0yy0zz0fx(x0,y0)fy(x0,y0)1第十章重积分重积分计算方法（1）利用直角坐标系X型Y型积分类型二重积分典型例题f(x,y)dxdydxDab2(x)1(x)f(x,y)dyf(x,y)dxf(x,y)dxdyDdcdy2(y)1(y)Ifx,ydD（2）利用极坐标系使用原则(1)积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧

18、,直线段)；(2)被积函数用极坐标变量表示较简单(含(xy),22平面薄片的质量质量=面密度面积为实数)f(cos,sin)ddDd2()1()f(cos,sin)d0202（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论）0I2f(x,y)dxdyD1计算步骤及注意事项f(x,y)对于x是奇函数，即f(x,y)f(x,y)f(x,y)对于x是偶函数，即f(x,y)f(x,y)D1是D的右半部分1画出积分区域2选择坐标系标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易分离3确定积分次序原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙高等数学（一）教案期末总

19、复习4确定积分限方法：图示法先积一条线，后扫积分域5计算要简便注意：充分利用对称性，奇偶性三重积分投影法(1)利用直角坐标截面法投影f(x,y,z)dVdxaby2(x)y1(x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dzxrcos（2）利用柱面坐标yrsinzz相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标适用范围:1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如旋转体If(x,y,z)dv空间立体物的质量质量=密度面积22222被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如f(xy)f(xz)f(x,y,z)dVdzdabr2()r1()f(cos,sin,z)dxcosrsincos（3）利用球

20、面坐标ysinrsinsinzrcosdvr2sindrdd适用范围:1积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体.2被积函数用球面坐标表示时变量易分离.如，f(xyz)222Idd11222(,)1(,)f(sincos,sinsin,cos)2sind（4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性高等数学（一）教案期末总复习第十一章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分积分类型参数法（转化为定积分）第一类曲线积分（1）L:y(x)IIf(x,y)ds计算方法典型例题bx(t)2(t)Iaf(x,y(x)1y(x)dx曲形构件的质量（2）L:y(t)质量=线密度Lf(t),(t)2(t)

21、2(t)dt弧长（3）rr()xr()cos()L:yr()sinIf(r()cos,r()sin)r2()r2()d平面第二类曲线积分（1）参数法（转化为定积分）x(t)L:(t单调地从到)y(t)LPdxQdyP(t),(t)(t)Q(t),(t)(t)dt（2）利用格林公式（转化为二重积分）条件：L封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D）P，Q具有一阶连续偏导数结论：LPdxQdy(DQP)dxdyxy满足条件直接应用IPdxQdy应用：有瑕点，挖洞L不是封闭曲线，添加辅助线变力沿曲线所做的功（3）利用路径无关定理（特殊路径法）等价条件：QPxyPdxQdy0LLPdxQdy与路径

22、无关，与起点、终点有关PdxQdy具有原函数u(x,y)（特殊路径法，偏积分法，凑微分法）（4）两类曲线积分的联系IPdxQdy(PcosQcos)dsLL空间第二类曲线积分（1）参数法（转化为定积分）PdxQdyRdzP(t),(t),(t)(t)Q(t),(t),(t)(t)R(t),(t),(t)(t)dtIPdxQdyRdz（2）利用斯托克斯公式（转化第二类曲面积分）L条件：L封闭，分段光滑，有向P，Q，R具有一阶连续偏导数高等数学（一）教案期末总复习变力沿曲线所做的功PdxQdyRdzL结论：QpRQPR()dydz()dzdx()dxdyyzzxxy满足条件直接应用应用：不是封闭曲

23、线，添加辅助线第一类曲面积分投影法：zz(x,y)投影到xoy面If(x,y,z)dv曲面薄片的质量Dxy质量=面密度类似的还有投影到yoz面和zox面的公式面积（1）投影法Pdydzp(x(y,z),y,z)dydz1Dyz：zz(x,y)，为的法向量与x轴的夹角前侧取“+”，cos0；后侧取“”，cos0Qdzdxp(x,y(x,z),z)dzdx2第二类曲面积分Dyz：yy(x,z)，为的法向量与y轴的夹角右侧取“+”，cos0；左侧取“”，cos02If(x,y,z)dvf(x,y,z(x,y)1zx2zydxdyIPdydzQdzdxR3QdxdyQ(x,y,z(x,y)dxdyDy

24、z流体流向曲面一侧的流量：xx(y,z)，为的法向量与x轴的夹角上侧取“+”，cos0；下侧取“”，cos0（2）高斯公式右手法则取定的侧条件：封闭，分片光滑，是所围空间闭区域的外侧P，Q，R具有一阶连续偏导数结论：PdydzQdzdzRdxdy(PQR)xyz应用：满足条件直接应用不是封闭曲面，添加辅助面（3）两类曲面积分之间的联系PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dS转换投影法：dydz(所有类型的积分：z)dxdyxdzdx(z)dxdyy1定义：四步法分割、代替、求和、取极限；2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇

25、偶性。高等数学（一）教案期末总复习第十二章级数高等数学（一）教案期末总复习1若级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛2两个收敛级数的和差仍收敛用收敛定义，limsn存在n注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.3去掉、加上或改变级数有限项不改变其收敛性4若级数收敛则对这级数的项任意加括号后所成一般项级数的级数仍收敛，且其和不变。常数项级数的基本性质推论如果加括号后所成的级数发散则原来级数也发散注：收敛级数去括号后未必收敛.常数项级数的基本性质5（必要条件）如果级数收敛则limu0nn0常数项级数交错级数莱布尼茨判别法若unun1且limun0，则(1)n1unnn1收敛比较判别法un和vn都是正

26、项级数，且unvn.若vn收敛，则un也收敛；若un发散，则vn也发散.1若un和vn都是正项级数，且limunl，则n正项级数比较判别法的极限形式vn2若l0,v收0l,un与vn同敛或同散;n3如果l敛,un也收敛；比值判别法根值判别法，vn发散，un也发散。uun是正项级数，limn1,limnun,则1时收nnun敛；1()时发散；1时可能收敛也可能发散.收敛性an0n1,0;R,0;R0,.xn,liman1,Rnan缺项级数用比值审敛法求收敛半径1在收敛域I上连续;2在收敛域(R,R)内可导，3且可逐项求导;s(x)的性质无穷级数幂级数和函数和函数s(x)在收敛域I上可积分，且可逐项积分.(R不变,收敛域可能变化).展成幂级数直接展开:泰勒级数间接展开:六个常用展开式11xn(1x1)exxn(x)1xn1n1n!T2T2lf(x)傅立叶级数1a0(ancosnxbnsinnx)a02n1f(x)dxan1f(x)cosnxdxbn1f(x)sinnxdx收敛定理x是连续点,收敛于f(x);x是间断点,收敛于1f(x)f(x)2周期延拓f(x)为奇函数，正弦级数，奇延拓；f(x)为偶函数，余弦级数、偶延拓.第 11 页 共 11 页