高中数学数列题型总结学案,讲义.doc

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1、高中数学数列题型总结学案,讲义高中数学数列题型总结学案,讲义结论：（1）在等差数列（这里中，当项数为偶数即）；时，。；项数为奇数时，（2）若等差数列、的前和分别为、，且，则.【例】设与是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么_（答：）（3）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组于确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗如（1）等差数列中

2、，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若是等差数列，首项，则使前n项和，成立的最大正整数n是（答：4006）若是等比数列，则、成等比数列；若成等比数列，则、成等比数列；若是等比数列，且公比，则数列，也是等比数列。当，且为偶数时，数列如已知且，是常数数列0，它不是等比数列。，设数列满足，且，则.（答：）；在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为_（答：40）。如设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为_（答：2）在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，。如设数列的前项和为（），关于数列有下列三个命题：若，则既是等差数列又是等比数列

3、；若些命题中，真命题的序号是（答：）一.数列的通项的求法：，则是等差数列；若，则是等比数列。这公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知求，用作差法：。如已知的前项和满足，求（答：）；数列满足，求（答：）已知求，用作商法：。如数列中，对所有的都有，则_（答：）若求用累加法：。如已知数列满足，则=_（答：）已知求，用累乘法：。如已知数列中，前项和，若，求（答：）已知递推关系求（1）形如，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。如已知）；，求（答：）；已知，求（答：（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。如已知，求（答

4、：）；已知数列满足=1，求（答：）二.数列求和的常用方法：（1）公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；常用公式：;.如等比数列的前项和S2，则_（答：）；计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制转换成十进制数是_（答：）（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。如求：（答：）（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相

5、加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）。如求证：；已知，则_（答：）（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前如（1）设和公式的推导方法）。为等比数列，已知，求数列的首项和公比；求数列的通项公式.（答：，；）；（2）设函数，数列满足：，求证：数列是等比数列；令，求函数在点处的导数，并比较与的大小。（答：略；，当时，；当时，）（5）裂项相消法：数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，常选用裂项相消法求和.常用裂项有：；，；.如求和：S，则n_（答：99）；（答：）；在数列中，

6、且（6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。如求数列14，25，36，前项和=（答：）；求和：（答：）数列综合题Sn/n的结论例1已知数列an是公差d0的等差数列，其前n项和为Sn(2)过点Q1(1，a1)，Q2(2，a2)作直线L2，设l1与l2的夹角为，“万能通项”，递推公式，特殊数列的证明方法例2已知数列an中，Sn是其前n项和，并且Sn14an2(n1,2,),a11，设数列bnan12an(n1,2,)，求证：数列bn是等比数列；设数列cnan2n,(n1,2,)，求证：数列cn是等差数列；求数列an的通项公式及前n项和。数列的求和方法例4、设a1=1

7、,a2=5323,an+2=n53an+1-23an(n=1,2,-),令bn=an+1-an(n=1,2-)求数列bn的通项公式，(2)求数列nan的前n项的和Sn。解：bn()(n1,2,)2n故Tn91()3n()933（II）2n(3n)23n1n从而Sna12a2nan3(12n)2Tn数列与集合和函数综合32n(n1)(3n)23n1n118例5在直角坐标平面上有一点列P1(x1,y1),P2(x2,y2),Pn(xn,yn)，对一切正整数n，点Pn位于函数y3x的图象上，且Pn的横坐标构成以求点Pn的坐标；13452为首项，1为公差的等差数列xn。设Sx|x2xn,nN,n1,T

8、y|y4yn,n1，等差数列an的任一项anST，其中a1是ST中的最大数，265a10125，求an的通项公式。解：（1）xn52(n1)(1)n*32yn3xn1343n54,Pn(n32,3n54)（3）an724n(nN).例6数列an中，a18,a42且满足an22an1annN*求数列an的通项公式；设Sn|a1|a2|an|，求Sn；设bn=均有Tn1n(12an)(nN),Tnb1b2bn(nN)，是否存在最大的整数m，使得对任意nN，*m32成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。解：（1）an82(n1)102n.（2）故Sn（3）m的最大整数值是7。五、强化训练9

9、nn22n5n6n9n406、若一个等差数列的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为（A）A13B12C11D109、已知等差数列an满足3a4=7a7,且a10,Sn是an的前n项和，Sn取得最大值，则n=_9_.2211、设an是首项为1的正项数列，且（n+1）an+1-nan+an+1an=0,求它的通项公式是_1/n12、已知数列an满足a.1=1,an=a1+2a2+3a3+-+(n-1)an-1(n1),则an的通项an=_a1=1;an=n!2n213、定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫

10、做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列an是等和数列，且a2，公和为5，那么a18的值为_3_，这个数列的前n项和Sn的计算公式为_当n为偶数时，Sn52n；当n为奇数时，Sn52n12k14.已知数列an中，a1=1，a2k=a2k-1+(-1),a2k+1=a2k+3,其中k=1,2,3，。(1)求a3,a5；（2）求an的通项公式n1K解：（I）a3=3,a5=13.(II)当n为奇数时，an=32n1n2(1)2123211;当n为偶数时，an(1)21.22n15.在数列|an|，|bn|中，a1=2，b1=4，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列（

11、nN）（）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测|an|，|bn|的通项公式，并证明你的结论；*（）证明：1a1b11a2b21anbn512解：（）由条件得2bnanan1，an1bnbn1由此可得2a26，b29，a312，b316，a420，b425猜测ann(n1)，bn(n1)用数学归纳法证明：当n=1时，由上可得结论成立假设当n=k时，结论成立，即2akk(k1)，bk(k1)，那么当n=k+1时，22ak12bkak2(k1)k(k1)(k1)(k2)，bk1ak2bk2(k2)所以当n=k+1时，结论也成立2由，可知ann(n1)，bn(n1)对一切正整数都成立（）21

12、a1b116512n2时，由（）知anbn(n1)(2n1)2(n1)n故1a1b11a2b21anbn16111122334n(n1)1611111111111115综上，原不等式成立22334nn1622n164扩展阅读：高中数学等差数列题型总结一、等差数列1、数列的概念例1根据数列前4项，写出它的通项公式：（1）1，3，5，7；（2）2122，3132，41422，5152；（3）11*2n，12*3，13*4，14*5。解析：（1）an=2n1；（2）an=如（1）已知an(n1)1n1；（3）an=(1)n(n1)。nn1562(nN)，则在数列an的最大项为_；anbn12*（2）

13、数列an的通项为an，其中a,b均为正数，则an与an1的大小关系为_；（3）已知数列an中，annn，且an是递增数列，求实数的取值范围；2、等差数列的判断方法：定义法an1and(d为常数）或an1ananan1(n2)。例2设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n2，则an是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列S1(n1)1(n1)答案：B；解法一：an=，an=2n1（nN）an2n1(n2)SnSn1(n2)又an+1an=2为常数，an1an2n12n1常数，an是等差数列，但不是等比数列.解法二：如果

14、一个数列的和是一个没有常数项的关于n的二次函数，则这个数列一定是等差数列。练一练：设an是等差数列，求证：以bn=a1a2annnN*为通项公式的数列bn为等差数列。3、等差数列的通项：ana1(n1)d或anam(nm)d。4、等差数列的前n和：Snn(a1an)2，Snna1n(n1)2d。例3：等差数列an的前n项和记为Sn，若a2a4a15的值是一个确定的常数，则数列an中也为常数的项是()AS7BS8CS13DS1513(a1a13)113解析：设a2a4a15p(常数)，3a118dp，解a7p.S1313a7p.答案：C3231例4等差数列an中，已知a1，a2a54，an33，

15、则n为()3A48B49C50D511212解析：a2a52a15d4，则由a1得d，令an33(n1)，可解得n50.故选C.3333如(1)等差数列an中，a1030，a2050，则通项an；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是_；例5：设Sn是等差数列an的前n项和，a128，S99，则S16_.解析：S99a59，a51，S168(a5a12)72.答案：72a11例6：已知数列an为等差数列，若0的n的最大值为()a10A11B19C20D2119(a1a19)20(a1a20)a11解析：0，a11如（1）数列an中，anan112(n2,nN)

16、，an2*32，前n项和Sn152，则a1，n；（2）已知数列an的前n项和Sn12nn，求数列|an|的前n项和Tn.5、等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且Aab2。提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，a2d,ad,a,ad,a2d（公差为d）；偶数个数成等差，可设为，a3d,ad,ad,a3d,（公差为2d）6.等差数列的性质：常用结论（1）前n项和为，则（m

17、、nN*，且mn）。（2）若m+n=p+q（m、n、p、qN*，且mn，pq），则（3），成等差数列。（4）若an，bn是等差数列Sn，Tn为前n项和，则即Snf(n)，则an(2n1)anS2n1f(2n1)Tnbn(2n1)bnT2n1ambmS2m1T2m1；（5）若a10，d0，有最大值，可由不等式组来确定n；若a10，d0，有最小值，可由不等式组（6）若an=m,am=n,(mn)则am+n=0（7）若an=m,am=n,(mn)则am+n=0（8）若Sn=m,Sm=n,(mn)则Sm+n=mn重点：来确定n，也可由前n项和公式来确定n。（1）当公差d0时，等差数列的通项公式ana1

18、(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和222（2）若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。（3）当mnpq时,则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有aman2ap.（4）若an、bn是等差数列，则kan、kanpbn(k、p是非零常数)、apnq(p,qN)、*Snna1n(n1)ddn(a12d)n是关于n的二次函数且常数项为0.Sn,S2nSn,S3nS2n，也成等差数列，而an成等比数列；若an是等比数列，且an0，则lgan是等差数列.练一练：等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。（

19、5）在等差数列an中，当项数为偶数2n时，S偶S奇nd；项数为奇数2n1时，S奇S偶a中，S2n1(2n1)a中aS（这里a中即an）；S奇:偶k(1):k。练一练：项数为奇数的等差数列an中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数.（6）若等差数列an、bn的前n和分别为An、Bn，且AnBnf(n)，则anbnSnTn(2n1)an(2n1)bn3n14n3A2n1B2n1anbnf(2n1)._；练一练：设an与bn是两个等差数列，它们的前n项和分别为Sn和Tn，若，那么(7)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的

20、最小值是所有非正an0确定出前多少项为非负（或非正）项之和。法一：由不等式组an0；法二：因等差数列前n项是关于n的二次或an10an10函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nN。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？练一练：等差数列an中，a125，S9S17，问此数列前多少项和最大？并求此最大值；例7（1）设an（nN*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6S7S8，则下列结论错误的是（）A.d0B.a70C.S9S5D.S6与S7均为Sn的最大值（2）等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3

21、m项和为（）A.130B.170C.210D.260解析：（1）答案：C；由S5S8，得a8S5，即a6+a7+a8+a902（a7+a8）0，由题设a7=0，a814Sn是等差数列an的前n项和，a52,an430(n5，nN)，Sn=336，则n的值是.三、解答题15己知an为等差数列，a12,a23，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？（2）新数列的第29项是原数列的第几项？16数列an是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负。（1）求数列公差；（2）求前n项和sn的最大值；（3）当sn0时，

22、求n的最大值。17设等差数列an的前项的和为Sn,且S4=62,S6=75,求：（1）an的通项公式an及前项的和Sn；（2）|a1|+|a2|+|a3|+|a14|.18已知数列an，首项a1=3且2an+1=SnSn1(n2).（1）求证：*1Sn是等差数列,并求公差；（2）求an的通项公式；（3）数列an中是否存在自然数k0,使得当自然数kk0时使不等式akak+1对任意大于等于k的自然数都成立,若存在求出最小的k值,否则请说明理由.选择题：ABCCBDABDA填空题：118；123；1324；1421.解答题：15分析：应找到原数列的第n项是新数列的第几项，即找出新、旧数列的对应关系。

23、解：设新数列为bn,则b1a12,b5a23,根据bnb1(n1)d,有b5b14d,即3=2+4d，d又ana1(n1)1n1(4n3)7414，bn2(n1)14n74，anb4n3，即原数列的第n项为新数列的第4n3项（1）当n=12时，4n3=412dm13=45，故原数列的第12项为新数列的第45项；（2）由4n3=29,得n=8，故新数列的第29项是原数列的第8项。说明：一般地，在公差为d的等差数列每相邻两项之间插入m个数,构成一个新的等差数列，则新数列的公差为项是新数列的第n+(n1)m=(m+1)nm项a15d016解：（1）a123，a60，a70，23d23d为整数，d4.

24、a16d02.原数列的第n56（2）sn23n（3）sn2n2n(n1)2(4)=23n2n(n1)=2n25225n=2(n25)2625，当n6时sn最大=784225n0时，0n，故n最大值为12.d，依题意得4a16d62，解得：a1=20,d=3。17解：设等差数列首项为(a1an)n2a1，公差为n(203n23)6a115d75ana1(n1)d3n23,Sn设ak0且ak12220230,得3k230,且3(k1)230,k(kZ),k7,即第7项之前均为负数333n243na120,d23,an的项随着n的增大而增大|a1|a2|a3|a14|(a1a2a7)(a8a9a14

25、)S142S7147.18分析：证1为等差数列，即证11d（d是常数）。解：由已知当SnSnSn1n2时2anSnSn1得:2(SnSn1)SnSn1(n2).1Sn是以1S11a113为首项,公差d122(SnSn1)SnSn111Sn1Sn112(n2)的等差数列。1Sn1S1(n1)d13(n1)(12)53n6,Sn653n(n2)从而an12SnSn13(n1)(n2)，因此an18(3n5)(3n8)(n2)(3n5)(3n8)18令akak10,即(3k2)(3k5)(3k8)0，可得23k53或k83。故只需取k3,则对大于或等于3的一切自然数总有akak1成立,这样的自然数存在最小值3。第 12 页 共 12 页