高中数学题函数经典知识总结.doc

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1、高中数学题函数经典知识总结高中数学题函数经典知识总结职中函数章节知识总结（一）一相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致(两点必须同时具备)下列各组函数表示同一函数的是Af(x)Cf(x)x2,g(x)(x)23Bf(x)1,2g(x)x0x2,g(x)(x)3Dx21f(x)x1,g(x)x1例：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？1y1(x3)(x5)x3y2x5解：不是同一函数，定义域不同解：不是同一函数，定义域不同2。y1x1x1y2(x1)(x1)345f(x)xg(x)x2解：不是同一函数，值域不同解：是同一函数解：不是同一函数定义域值域都不同f(x)xF(x)3x3

2、f1(x)(2x5)2f2(x)2x5二求函数的定义域有哪些常见类型？函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；求下列函数的定义域：x11（1）y（2）yxx4x2x2x110（3）y（4）y(5x4)x165xx2（指数式的底数大于零且不等于一5x40且5x41）分段函数按照自己所在的的定义域代入相对应的解析式3.已知f(x)=x5(x6)，则f(3)的值为_f(x4)(x6)f(x)的定义域为m,n，求yfg(x)的4复合函数定义域的求法：已知y定义域，可由mg(x)n解出x的范围，即为yfg(x)的定义域例如：已知函数f(x)的

3、定义域为（1，3），则函数F(x)f(x1)f(2x)的定义域。x1(1,3)2x(1,3)注意大括号的表示几个条件要同时满足！也就是几个不等式的解集的交集。设f(x)=2x3g(x)=x2+2则称fg(x)（或gf(x)）为复合函数。fg(x)=2(x2+2)3=2x2+1gf(x)=(2x3)2+2=4x212x+11例：已知：f(x)=xx+3求：f()f(x+1)解：f()=()2+3f(x+1)=(x+1)2(x+1)+3=x2+x+3三求值域1.直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1.求函数解：x010xy1x21x1x1x1x的值域。显然函数的值域是：(,0

4、)(0,)例2.求函数y3x的值域。解：xx0,3x3故函数的值域是：,32.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。2yx2x5,x1,2的值域。例3.求函数2解：将函数配方得：y(x1)4x1,24，当x1时，ymiax由二次函数的性质可知：当x=1时，ymn故函数的值域是：4，83.单调性法就是利用函数单调性在定义域内进行判断这是重点3函数单调性法8如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法有三种：(1)定义法：根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关可以变形为求f(x)f(x1)f(x2)的正负号或者1与f(x2)x1x21

5、的关系18函数f(x)=x31在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？试证明你的结论解析：f(x)在R上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x1、x2(，)，x1x2，则f(x1)=x131，f(x2)=x231f(x1)f(x2)=x23x13=(x2x1)(x12x1x2x22)=(x2x1)(x132x2422x22)2x1x2，x2x10而(x1x2)3x20，f(x1)f(x2)24四判断函数奇偶性的方法一、定义域法一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.二、奇

6、偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算f(x)，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x)=0奇函数f(x)-f(-x)=0偶函数f(x)1偶函数f(-x)f(x)1奇函数f(-x)你掌握常用的图象变换了吗？f(x)与f(x)的图象关于y轴对称联想点（x,y）,(-x,y)f(x)与f(x)的图象关于x轴对称联想点（x,y）,(x,-y)f(x)与f(x)的图象关于原点对称联想点（x,y）,(-x,-y)函数这一章内容主要在于联系和自己认真思考，这也是高中数学的特点，希望各位同学要认真努力的研读课本多多做课后习题，多总结，俗话说得好一日

7、练一日功一日不练一日松！只有你勤加练习勤动脑筋肯定会有大的进步！扩展阅读：高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案中国教育培训领军品牌2.8函数与方程【考纲说明】1、了解函数的零点与方程根的联系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。2、能够根据具体函数的图像，用二分法求出相应方程的近似解。【知识梳理】1、函数零点的定义（1）对于函数yf(x)，我们把方程f(x)0的实数根叫做函数yf(x)的零点。（2）方程f(x)0有实根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)0是否有实数根，有几个实数根。函数零

8、点的求法：解方程f(x)0，所得实数根就是f(x)的零点（3）变号零点与不变号零点若函数f(x)在零点x0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数f(x)的变号零点。若函数f(x)在零点x0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数f(x)的不变号零点。若函数f(x)在区间a,b上的图像是一条连续的曲线，则f(a)f(b)0是f(x)在区间a,b内有零点的充分不必要条件。2、函数零点的判定（1）零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间a,b上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间a,b内有零点，即存在x0(a,b)，使得f(x0)0，这个x0也就是方程f(x)0

9、的根。（2）函数yf(x)零点个数（或方程f(x)0实数根的个数）确定方法代数法：函数yf(x)的零点f(x)0的根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。（3）零点个数确定0yf(x)有2个零点f(x)0有两个不等实根；0yf(x)有1个零点f(x)0有两个相等实根；0yf(x)无零点f(x)0无实根；对于二次函数在区间a,b上的零点个数，要结合图像进行确定.3、二分法（1）二分法的定义:对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x),通过不断地把函数yf(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零

10、点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;（2）用二分法求方程的近似解的步骤:确定区间a,b,验证f(a)f(b)0,给定精确度;环球雅思中国教育培训领军品牌求区间(a,b)的中点c;计算f(c);()若f(c)0,则c就是函数的零点;()若f(a)f(c)0,则令bc(此时零点x0(a,c);()若f(c)f(b)0,则令ac(此时零点x0(c,b);判断是否达到精确度,即ab,则得到零点近似值为a(或b);否则重复至步.【经典例题】【例1】（2022天津）函数f(x)=2+x2在区间(0,1)内的零点个数是（）A、0B、1C、2D、3【答案】B【解析】解法1：因为f(0)=1+02=1，f

11、(1)=2+22=8，即f(0)f(1)中国教育培训领军品牌合题意；当a1时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.【例4】（2022辽宁）设函数f(x)(xR)满足f(x)=f(x)，f(x)=f(2x)，且当x0,1时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos(x)|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在13,上的零点个数为（）22A、5B、6C、7D、8【答案】B【解析】因为当x0,1时，f(x)=x3.所以当x1,2时，(2x)0,1，f(x)f(2x)(2x)，当x0,时，g(x)xcos(x)；当x,时，g(x)xcos(x)，注意到函数f(x)、g(x)都是偶函数，且f(0)=g

12、(0)，f(1)=g(1)，g()g()0，作出函数f(x)、g(x)的大致图象，函数h(x)除了0、1这两个零点之外，分别在区间,0、0,、,1、1,上各有一个零点，共有6个零点，故选B【例5】（2022湖北）函数f(x)xcosx在区间0,4上的零点个数为（）A、4B、5【答案】CC、6D、723121322123212121232【解析】：f(x)=0，则x=0或cosx2=0，x2=k+【例6】（2022陕西）函数f(x),kZ，又x0,4，k=0,1,2,3,4，所以共有6个解选C2xcosx在0,)内（）A、没有零点B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点D、有无穷多个零点【答案】

13、B【解析】解法一：数形结合法，令f(x)xcosx0，则xcosx，设函数yx和ycosx，它们在0,)的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数f(x)xcosx在0,)内有且仅有一个零点；解法二：在x2,)上，x1，cosx1，所以f(x)xcosx0；环球雅思中国教育培训领军品牌在x(0,2，f(x)12xsinx0，所以函数f(x)xcosx是增函数，又因为f(0)1，f()20，所以f(x)xcosx在x0,上有且只有一个零点22a，ab1，【例7】（2022天津）对实数a和b，定义运算“”：ab设函数f(x)(x22)(xx2)，xR，若b，ab1.函数yf(x)

14、c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()31，A、(，2231，B、(，24111，C、44311，D、44【答案】Bx2，x2(xx)1，【解析】f(x)2223xx()xx，x21xx2，x，2223x22，1x，22则f(x)的图象如图yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，yf(x)与yc的图象恰有两个公共点，3由图象知c2，或1中国教育培训领军品牌（2）f(x)x4.x2【答案】（1）2,1，-1.（2）2，-2.【解析】（1）由x2xx20,3x2(x2)(x2)0,(x2)(x1)(x1)0,x2或x1或x1.故函数的零点是2，1，-1.4x24（2）由x0,得0,

15、xx(x2)(x2)0,(x2)(x2)0,xx2或x=-2.故函数的零点是2，-2.【例10】判断函数yx3x1在区间1,1.5内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)【答案】1.3125【解析】因为f(1)10，且函数yx3x1的图象是连续的曲线，所以它在区间1,1.5内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：区间(1,1.5)(1.25,1.5)(1.25,1.375)(1.3125,1.375)中点值1.251.3751.31251.34375中点函数近似值0.30.220.050.08由于|1.3751.3125|0.0625中国教育培训领军品牌A（-2,-1）B、（-1，0

16、）C、（0，1）D、（1，2）5、（2022浙江）设函数fx=4sin（2x+1）-x，则在下列区间中函数fx不存在零点的是（）A、-4,-2B、-2,0C、0,2D、2,46、（2022陕西）函数fx=x-cosx在0，内（）A、没有零点B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点D、有无穷多个零点7、（2022福建）若函数f(x)的零点与g(x)42x2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是（）A、f(x)4x1B、f(x)(x1)C、f(x)e1D、f(x)ln(x)8、下列函数零点不宜用二分法的是()A、f(x)x8B、f(x)lnx3C、f(x)x22x2D、f(x)x4x1

17、9、（2022泉州）函数f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间11A、,842x2x1232（）11B、,42C、,112D、(1,2)（）D、(100,)10、（2022厦门）lgx10有解的区域是xA、(0,1B、(1,10C、(10,10011、（2022湖北文）在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为（）111113A、(,0)B、(0,)C、(,)D、(,)42244412、（2022合肥）函数f(x)xlog2x的零点所在区间为（）A、0,x18B、,1184C、,x1142D、,11213、设fx33x8,用二分法求方程33x80在x1,2内近似解的过程中得

18、f10,f1.50,f1.250,则方程的根落在区间（）A、(1,1.25)B、(1.25,1.5)C、(1.5,2)D、不能确定14、（2022浙江）设函数f(x)4sin(2x1)x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是（）A、4,2B、2,0C、0,2D、2,4x22x3,x015、（2022福建）函数f(x)，零点个数为（）2lnx,x0A、3B、2C、1D、016、（2022惠州）若函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：环球雅思中国教育培训领军品牌f(1)=2f(1.375)=0.260f(1.5)=0.625f(1.4375)=0.1

19、62f(1.25)=0.984f(1.40625)=0.054那么方程x3x22x20的一个近似根（精确到0.1）为（）A、1.2B、1.3C、1.4D、1.517、（2022湖北）方程22xx23的实数解的个数为.218、已知函数f(x)x(a1)xa2的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围。19、判断函数f(x)4xx223x3在区间1,1上零点的个数，并说明理由。20、求函数f(x)x32x23x6的一个正数零点(精确度0.1)【课后作业】1、下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是(x22、设f(x)3x，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是A、

20、0,1B、1,2C、2，1D、1,03、已知f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的A、函数f(x)在(1,2)或2,3内有零点B、函数f(x)在(3,5)内无零点C、函数f(x)在(2,5)内有零点D、函数f(x)在(2,4)内不一定有零点4、（2022莆田）若函数f(x)x33xa有3个不同的零点,则实数a的取值范围是A、2,2B、2,2C、,1D、1,5、（2022沈阳）函数f(x)xlnx的零点所在的区间为A、（1，0）B、（0，1）C、（1，2）D、（1，e）6、求函数f(x)2x33x1零点的个数为A、1B、2C、3D、4环球雅思)()）（）

21、（）（）（中国教育培训领军品牌7、如果二次函数yxxm3有两个不同的零点，则m的取值范围是（）A、(211111111,)B、(,)C、(,)D、(,)42428、方程lgxx0根的个数为（）A、无穷多B、3C、1D、09、用二分法求方程f(x)0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)0,f(1.5)0,f(1.25)0f(1)中国教育培训领军品牌318、用“二分法”求方程x2x50在区间2,3内的实根，取区间中点为x02.5，那么下一个有根的区间是19、函数f(x)lnxx2的零点个数为.20、证明方程63x2x在区间1,2内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1)【参考答案】【课

22、堂练习】1-16、CDCBABACCBCCBABC17、218、解：设方程x(a1)xa20的两根分别为x1,x2(x1x2)，则(x11)(x21)0，所以x1x2(x1x2)10由韦达定理得a2(a1)10，即aa20，所以2a119、解：因为f1412222272130，f14103333所以fx在区间1,1上有零点912又fx42x2x2x22当1x1时，0f2x92所以在1,1上单调递增函数，所以fx在1,1上有且只有一个零点。20、解由于f(1)60,f(2)40，可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间(1,2)(1.5,2)(1.5,1.75)(1

23、.625,1.75)(1.6875,1.75)中点1.51.751.6251.68751.71875中点函数值2.6250.23441.30270.56180.1707由于|1.751.6875|0.0625中国教育培训领军品牌1-13、BDCABCCDADAAB14、215、(2,3)16、(0,1)17、2,318、2,2.5)19、220、证明设函数f(x)2x3x6，f(1)10，又f(x)是增函数，所以函数f(x)2x3x6在区间1,2内有唯一的零点，则方程63x2x在区间1,2内有唯一一个实数解设该解为x0，则x01,2，取x11.5，f(1.5)1.330，f(1)f(1.5)0，f(1)f(1.25)第 11 页 共 11 页