复变函数与积分变换总结.doc
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1、复变函数与积分变换总结复变函数与积分变换总结第二章小结本章主要介绍了解析函数的概念,给出了一些初等函数的定义,并研究了这些初等函数的性质,主要知识点有一、与函数解析有关的问题:要看解析,先看可导1.解析与可导的关系:区域内等价,一点处并不等价,一点处解析是比一点处可导更强的概念2.一元实变函数具有的一些求导运算法则对复变函数同样成立,如四则运算、复合运算、反函数求导等3.形式较简单的函数在一点可导的判断及求导方法(1).可导定义(2).转化为这些复变函数对应的两个二元实变函数的讨论a.判断可导:可微性、C-R方程b.求导:f(z)uvixx4.形式较复杂函数在一点可导判断及求导步骤:拆解为一些
2、形式较简单的函数;研究这些函数的可导性并求导;利用求导法则得原函数的可导性及导数二、与初等函数有关的问题及要求1.熟记各种初等函数的定义公式、解析性及求导公式2.高数中的初等函数与复变函数中初等函数的区别ez仅是一个记号、指数函数的周期为2ki(kZ);负实数的对数有意义、LnznLnz,Lnz1nn1n在复数范围内不再成立;abebLna(a0);Lnzsinz1,cosz1在复数范围内不再成立三、与三角函数及双曲函数有关的复数方程的求解步骤1.根据三角函数及双曲函数的定义将所给方程用e或e表示2.整理为关于e或e的一元二次方程后并配方、开方3.利用方程ez解的公式得原方程解公式例求解方程s
3、hziwizzizz扩展阅读:复变函数与积分变换重要知识点归纳复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念:zxiy,x,y是实数,xRez,yImz.i21.注:一般两个复数不比较大小,但其模(为实数)有大小.2.复数的表示1)模:zx2y2;2)幅角:在z0时,矢量与x轴正向的夹角,记为Argz(多值函数);主值argz是位于(,中的幅角。3)argz与arctany之间的关系如下:xy;xyxyx当x0,argzarctany0,argzarctan当x0,y0,argzarctan;4)三角表示:zzcosisin,其中argz;注:中间一定是“+”号。5)指数表示:z(二)复数的运
4、算1.加减法:若z1x1iy1,z2x2iy2,则z1z2x1x2iy1y22.乘除法:1)若z1x1iy1,z2x2iy2,则z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2;zei,其中argz。z1x1iy1x1iy1x2iy2x1x2y1y2y1x2y2x1i2222z2x2iy2x2iy2x2iy2x2y2x2y2z1ei1,z2z2ei2,。2)若z1则z1z2z1z2e1i2;z1z2z1z2e1i23.乘幂与方根1)若z2)若zn1nz(cosisin)zei,则znz(cosnisinn)zeinnn。z(cosisin)zei,则2k2kzzcosisinnn(k0,1,2n1)
5、(有n个相异的值)(三)复变函数1复变函数:wfz,在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.2复初等函数1)指数函数:ezexcosyisiny,在z平面处处可导,处处解析;且ezez。注:ez是以2i为周期的周期函数。(注意与实函数不同)3)对数函数:Lnzlnzi(argz2k)(k0,1,2)(多值函数);主值:lnzlnziargz。(单值函数)Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析,且lnz1;z注:负复数也有对数存在。(与实函数不同)3)乘幂与幂函数:abebLna(a0);zbebLnz(z0)注:在除去原点及负实轴的z平面
6、内处处解析,且zbbzb1。eizeizeizeizsinzcosz,cosz,tgz,ctgz4)三角函数:sinz2i2coszsinzsinz,cosz在z平面内解析,且sinzcosz,coszsinz注:有界性sinz1,cosz1不再成立;(与实函数不同)4)双曲函数shzezezezezshz,chz22;平面内解析,且奇函数,chz是偶函数。在sh,zchzzshzc,hzchz。shz(四)解析函数的概念1复变函数的导数1)点可导:fz0=limfz0zfz0zz0;2)区域可导:fz在区域内点点可导。2解析函数的概念1)点解析:fz在z0及其z0的邻域内可导,称fz在z0点
7、解析;2)区域解析:fz在区域内每一点解析,称fz在区域内解析;3)若f(z)在z0点不解析,称z0为fz的奇点;3解析函数的运算法则:解析函数的和、差、积、商(除分母为零的点)仍为解析函数;解析函数的复合函数仍为解析函数;(五)函数可导与解析的充要条件1函数可导的充要条件:fzux,yivx,y在zxiy可导ux,y和vx,y在x,y可微,且在x,y处满足CD条件:uvyxuv,xy此时,有fzuiv。xx2函数解析的充要条件:fzux,yivx,y在区域内解析ux,y和vx,y在x,y在uv;yxD内可微,且满足CD条件:uv,xy此时fzuiv。xx注意:若ux,y,vx,y在区域D具有
8、一阶连续偏导数,则ux,y,vx,y在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时,只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足CR条件时,函数f(z)uiv一定是可导或解析的。3函数可导与解析的判别方法1)利用定义(题目要求用定义,如第二章习题1)2)利用充要条件(函数以fzux,yivx,y形式给出,如第二章习题2)3)利用可导或解析函数的四则运算定理。(函数fz是以z的形式给出,如第二章习题3)(六)复变函数积分的概念与性质1复变函数积分的概念:cfzdzlimfkzk,c是光滑曲线。nk1注:复变函数的积分实际是复平面上的线积分。2复变函数积分的性质1)2)nfzdzccc1fzdz(c1与c
9、的方向相反);ccfzgzdzfzdzgzdz,是常数;123)若曲线c由c1与c2连接而成,则cfzdzcfzdzcfzdz。3复变函数积分的一般计算法1)化为线积分:cfzdzcudxvdyicvdxudy;(常用于理论证明)2)参数方法:设曲线c:zzt(t),其中对应曲线c的起点,对应曲线c的终点,则cfzdzf)。tdtzt(z(七)关于复变函数积分的重要定理与结论1柯西古萨基本定理:设fz在单连域B内解析,c为B内任一闭曲线,则fzdz0c2复合闭路定理:设fz在多连域D内解析,c为D内任意一条简单闭曲线,c1,c2,cn是c内的简单闭曲线,它们互不包含互不相交,并且以c1,c2,
10、cn为边界的区域全含于D内,则fzdz,其中c与ck均取正向;fzdzk1cckn1fzdz0,其中由c及c(k1,2,n)所组成的复合闭路。3闭路变形原理:一个在区域D内的解析函数fz沿闭曲线c的积分,不因c在D内作连续变形而改变它的值,只要在变形过程中c不经过使fz不解析的奇点。4解析函数沿非闭曲线的积分:设fz在单连域B内解析,Gz为fz在B内的一个原函数,则zz21fzdzGz2Gz1(z1,z2B)说明:解析函数fz沿非闭曲线的积分与积分路径无关,计算时只要求出原函数即可。5。柯西积分公式:设fz在区域D内解析,c为D内任一正向简单闭曲线,c的内部完全属于4D,z0为c内任意一点,则
11、zzdz2ifzc00fz6高阶导数公式:解析函数fz的导数仍为解析函数,它的n阶导数为fz2idzc(zz)n1n!0fnz0(n1,2)其中c为fz的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全属于D。7重要结论:2i,1dzn1(za)0,cn0n0。(c是包含a的任意正向简单闭曲线)8复变函数积分的计算方法1)若fz在区域D内处处不解析,用一般积分法fzdzcfztztdt2)设fz在区域D内解析,c是D内一条正向简单闭曲线,则由柯西古萨定理,cfzdz0c是D内的一条非闭曲线,z1,z2对应曲线c的起点和终点,则有z2z1cfzdzfzdzFz2Fz13)设fz在区
12、域D内不解析fzdz2ifz0czz0曲线c内仅有一个奇点:(f(z)在c内解析)fzdz2ifnz0c(zz)n1n!0n曲线c内有多于一个奇点:fzdz(ci内只有一个奇fzdzck1ck点zk)或:fzdz2iResf(z),zk(留数基本定理)ck1n若被积函数不能表示成算。fz(zzo)n1,则须改用第五章留数定理来计(八)解析函数与调和函数的关系1调和函数的概念:若二元实函数(x,y)在D内有二阶连续偏导数22且满足220,xy(x,y)为D内的调和函数。2解析函数与调和函数的关系解析函数fzuiv的实部u与虚部v都是调和函数,并称虚部v为实部u的共轭调和函数。两个调和函数u与v构
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