（高职）第3章《经济数学》ppt课件.pptx

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1、（高职）第3章经济数学ppt课件经济经济数学数学 （第五版（第五版）杨敏杨敏华华主编主编123456目录CONTENTS7CHAPTER0303知识目标知识目标010102020303技能目标技能目标能力目标能力目标03P A R T3.1导数导数是数学中的一个分支微积分的两个基本概念之一,它表示一个函数的因变量相对于自变量的变化的快慢程度,即因变量关于自变量的变化率.事物总是在不断地运动和变化的,而描述这种运动和变化离不开变化率,导数就是对现实生活中各种各样的变化率的一种统一的数学抽象.导数是微积分以及实际生活中应用极其广泛的概念,其应用范围包括函数性态的描述、曲线的描绘、最优化问题的讨论以

2、及变化率的分析等.导数也是求函数变化率的一种方法.在第2章中我们讨论了一个与极限概念有关的问题瞬时速度问题:一质点沿直线运动,其路程函数为s=s(t),那么在时刻t0到t0+t这段时间间隔内,质点的平均速度(或称为路程函数s(t)关于时间的平均变化率)为:而质点在时刻t0的瞬时速度(或称为路程函数s(t)在t0时刻的瞬时变化率)即为上述平均速度当t0时的极限:导数的概念设函数y=f(x)在点x0处连续,求曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0)处的切线的斜率.如图3-1所示,当自变量x在点x0处取得增量x时,在曲线上相应得到另一点P(x,f(x),其中x=x0+x,连接此两点的割线MP,其斜率

3、为:导数的概念设函数y=f(x)在点x0的某邻域 内有定义,如果极限 存在,则称函数f(x)在点x0处可导,并称此极限值为函数f(x)在点x0处的导数,记做:,即:导数的概念 如果函数f(x)在区间(a,b)内任意点x处,上式的极限都存在,则称函数f(x)在区间内可导,并称该极限表达式为函数f(x)的导函数,简称导数.记作 ,即: 若记x=x0+x,则当x0时,xx0,故函数f(x)在点x0处的导数f (x0)也可表示为:导数的概念 由上述引例我们可以得到导数的几何意义:导数的概念21 导数的概念是从实际问题中抽象出来的,它是一个构造性定义,因此可以按定义来求函数y=f(x)在点x处的导数.一

4、般求函数y=f(x)的导数的步骤如下:导数的概念若函数y=f(x)在点x0处可导,则函数y=f(x)在点x0处连续. 证明:若函数y=f(x)在点x0处可导,即 所以,函数y=f(x)在点x0处连续.导数的概念设函数u(x),v(x)在点x处可导,则函数u(x)v(x),u(x)v(x)在点x处可导,当v(x)0时,函数u(x)/v(x)在点x处可导,且有:导数的基本运算法则设函数u=(x)在点x处可导,函数y=f(u)在对应点u处可导,则复合函数y=f(x)在点x处也可导,且: 或记做: 即复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.复合函数的导数 变量y与x之间的

5、函数关系可以用不同的方式表达,如y=sin x,y=x2等.其表达方式有这样的特征:等式左端为因变量y,而等式右端是含有自变量x的数学式子,一般我们把由解析式y=f(x)所确定的一个变量是另一个变量的函数称为显函数.还有另外一些函数,其变量x与y之间的对应关系是通过一个方程F(x,y)=0(F(x,y)为变量x和y的一个算式)来确定的.如方程x+y3-1=0,给定一个x值,就可以确定y的值,这里当x=1时,y=0,当x=2时,y=-1,可知当自变量x在(-,+)内取值时,变量y有唯一确定的值与之对应,也就是说y是x的函数.一般地,我们把这种由方程F(x,y)=0所确定的一个变量是另一个变量的函

6、数称为隐函数.其他求导法求函数y=xx(x0)的导数. 解:该函数既不是幂函数也不是指数函数,所以不能直接采用幂函数求导公式或指数函数求导公式。我们先在方程两边取自然对数,有ln y=x ln x,然后将y=xx看做由方程ln y=x ln x所确定的隐函数.应用隐函数的求导方法,得: 所以 .其他求导法设函数 ,求f (x). 解: 当x0时, f (x)=1;当0 x1时, f (x)=2;当1x2时, f (x)=1/2 . 当x=0时,f(0)=-1,由于: ,即函数在点x=0处的右导数不存在,所以函数f(x)在点x=0处的导数不存在.其他求导法n 在本小节中,我们将讨论一个量的变化率

7、的变化率.这样的变化率有很多种,例如,汽车的加速度是它的速度关于时间的变化率,而速度本身又是路程关于时间的变化率.如果路程的单位是千米,时间的单位是小时,那么速度(路程关于时间的变化率)的单位是千米/小时,而加速度(速度的变化率)的单位则是千米/小时2.n 上述有关变化率的变化率的问题,在经济上是常用的.例如,在通货膨胀时期,你可以听到经济部门的报告指出,“尽管通货膨胀率在增长,但其增长速度在减缓”,就是指物价在上涨,但已经不比以前那样增长得快了.高阶导数 设函数y=f(x)关于x的变化率由其导函数f (x)给出.类似地,函数f (x)关于x的变化率由f (x)的导函数f (x)给出,即函数f

8、(x)的导函数的导函数. 一般地,我们将函数y=f(x)的导数的导数称为函数f(x)的二阶导函数,简称二阶导数,记做高阶导数由高阶导数的定义可知,计算一个函数的高阶导数并不需要新的求导方法,只要对函数逐次求导,直到所求的阶数即可.求函数y=2x4-3x2-3x+7的二阶导数. 解:先求函数的一阶导数y=8x3-6x-3,因此函数的二阶导数为y=24x2-6.求函数y=ex的各阶导数. 解:y=ex,y=ex,y=ex,y(n)=ex求函数y=sin x的四阶导数. 解:y=(sin x)=cos x,y=-sin x,y=-cos x,y(4)=sin x. 一般地,有高阶导数03P A R

9、T3.2微分微分微分的定义微分的定义一个正方形的边长由x变到x+x(|x|很小),求其面积的改变量的近似值. 解:用A表示边长为x的正方形面积,即A=x2.当边长由x变到x+x时(如图3-3所示),面积相应的改变量为: 上式右边第一部分2xx是x的线性函数,第二部分(x)2是当x0时的一个比x高阶的无穷小量.因此,当|x|很小时,我们可以把第二部分忽略,而用一个简单的函数x的线性函数作为A的近似值,A2xx.而f (x)=2x,所以A2xx=f (x)x.设函数y=f(x)在点x0处可导,则称导数值f (x0)与x的改变量x的乘积为函数y=f(x)在点x0处的微分,记做:n 如果函数y=f(x

10、)在某区间内每一点都可导,则函数在该区间内任一点x处的微分,记做:微分的定义 (1)函数的微分dy是x的一次函数,它不仅与x有关,而且与x也有关.函数的微分dy与y只差一个比x高阶的无穷小,它是y的主要部分,所以也称微分dy是函数改变量y的线性主部. (2)若函数y=f(x)在x处的改变量y可以表示成x的线性函数k(x)x与一个比x高阶的无穷小之和y=k(x)x+o(x),则称函数y=f(x)在点x处可微. (3)由于自变量x的微分dx=(x)x=x,故dx可理解为自变量x的改变量x.于是dy=f (x)x=f (x)dx,即函数的微分等于函数的导数乘上自变量的微分.微分的定义微分的定义函数的

11、微分函数的微分dydy是是xx的一次的一次函数函数, ,它不仅与它不仅与xx有关有关, ,而且而且与与x x也有关也有关. .函数的微分函数的微分dydy与与yy只差一个比只差一个比xx高阶的高阶的无穷小无穷小, ,它是它是yy的主要部分的主要部分, ,所以也称微分所以也称微分dydy是函数改是函数改变量变量yy的线性主部的线性主部. .PART 1若函数若函数y=f(x)y=f(x)在在x x处的改处的改变量变量yy可以表示成可以表示成xx的的线性函数线性函数k(x)xk(x)x与一个比与一个比xx高阶的无穷小之和高阶的无穷小之和y=k(x)x+o(x),y=k(x)x+o(x),则称函则称

12、函数数y=f(x)y=f(x)在点在点x x处可微处可微. .PART 2由于自变量由于自变量x x的微分的微分dx=(x)x=x,dx=(x)x=x,故故dxdx可理可理解为自变量解为自变量x x的改变量的改变量x.x.于是于是dy=f (x)x=f (x)dx,dy=f (x)x=f (x)dx,即函数的微分等于函数的即函数的微分等于函数的导数乘上自变量的微分导数乘上自变量的微分. .PART 3n 由微分法的定义可见,要计算函数y=f(x)的微分,只需要先求出导数f (x),再乘以dx就可以了.根据基本初等函数的求导公式及求导法则可得到如下的微分公式和运算规则:微分的运算法则微分的运算法

13、则微分的运算法则 设函数y=f(u),而u=(x),则复合函数y=f(x)的微分为: 上式称为一阶微分形式不变性.即不论u是自变量或中间变量,函数y=f(u)的微分形式总是dy=f (u)du.03P A R T3.3MathematicaMathematica软件介绍软件介绍一阶导数求函数y=x2+sin 2x-xex的导数. 解:计算机处理如下: 或者 或者在上述定义函数的基础上:一阶导数二阶导数二阶导数设函数s=sin(at+b)(a,b为常数),求s. 解:计算机处理如下: 或者 或者在上述函数定义的基础上: 即s=-a2sin(at+b)设函数y=1/(x+1),求y(5). 解:计算机处理如下: 或者 即y(5)=高阶导数 求由方程x2+y2=4所确定的隐函数的导数dy/dx. 解:计算机处理如下: 或者 即y=-x/y隐函数的导数求函数y=e1-2xtan x的微分.n 解:计算机处理如下:n 这里,Dtx表示自变量x的微分dx,即上式的微分为:微分谢谢观看