（高职）第5章《经济数学》ppt课件.pptx

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1、（高职）第5章经济数学ppt课件经济经济数学数学 （第五版（第五版）杨敏杨敏华华主编主编123456目录CONTENTS7CHAPTER0505知识目标知识目标010102020303技能目标技能目标能力目标能力目标05P A R T5.1不定积分的概念不定积分的概念n 在现实生活中,往往会有这样的问题:已知一个函数的导数,而要求这个函数的本身.例如,社会学家已知人口的增长率而希望利用这一信息来预测今后的人口水平;物理学家已知一个物体的运动速度而希望计算它的路程函数;经济学家则希望从已知的通货膨胀率来估计今后的物价水平等等.n 上述这些问题,从数学上讲,就是已知f(x),求f(x).设函数f(

2、x)是定义在某区间内的已知函数,若存在可微函数F(x),使得对于该区间内每一点x都有: 则称F(x)是函数f(x)在该区间内的一个原函数.原函数的概念n 例如,在区间(-,+)内,x2的导数是2x,所以,x2是2x的一个原函数;(sin 3x)=3cos 3x,所以,sin 3x是3cos 3x的一个原函数等等.n 我们知道,(sin x)=cos x,sin x是cos x的一个原函数,又因为:n (sin x+1)=cos x,(sin x-3)=cos x,(sin x+C)=cos x如果F(x)是函数f(x)的原函数,即F(x)=f(x),那么函数族F(x)+C(C是任意常数)中的任

3、何一个函数也一定是函数f(x)的原函数.n 由此可知,如果函数f(x)有原函数,那么原函数有无穷多个.而这些原函数中的任意两个只相差一个常数,因此函数族F(x)+C包含了f(x)的所有原函数.换句话说,假如找到了f(x)的一个原函数,那么就找到了原函数的全体(函数族).只需f(x)的任意一个原函数+任意常数.n 例如,sin x+C是函数cos x的原函数的全体.原函数的概念若函数F(x)是函数f(x)的一个原函数,则称f(x)的原函数全体F(x)+C(C为任意常数)为函数f(x)的不定积分,记做f(x)dx,即: 式中:称为积分号, f(x)称为被积函数, f(x)dx称为被积表达式,x称为

4、积分变量,C称为积分常数. 由不定积分的定义可知: 不定积分的定义不定积分的定义求不定积分x2dx. 解:因为 ,所以x3/3是x2的一个原函数,因此x2dx=x3/3+C.求不定积分1/(1+x2 )dx. 解:因为(arctan x)=1/(1+x2 ),所以arctan x是x2的一个原函数,因此:1/(1+x2 )dx=arctan x+C05P A R T5.2基本积分公式基本积分公式n 由导数的基本公式可以得到相应的基本积分公式如下:05P A R T5.3不定积分的性质不定积分的性质n 由性质1、2可得推论:n 利用基本积分公式所能计算的不定积分是非常有限的,因此有必要进一步研究

5、不定积分的计算方法.一般通过对被积函数进行恒等变形将其分解为简单函数或基本积分公式中已有的形式,然后利用性质和公式求积分,我们称这种积分方法为直接积分法.求下列不定积分:05P A R T5.4换元积分法换元积分法n 利用基本积分公式与不定积分的性质进行的直接积分法,我们所能计算的不定积分是非常有限的,因此有必要进一步来研究不定积分的求法.我们把复合函数的求导法则反过来用于求不定积分,而得到的一种基本的积分法,称为换元积分法(简称换元法).利用这种方法,可以把某些不定积分化为基本积分公式中所列的函数积分. 由一阶微分的形式不变性可知,无论u是自变量还是中间变量,总有:dF(u)=F(u)du

6、于是,若f(x)dx=F(x)+C,则无论u是自变量还是中间变量,也总有:f(u)du=F(u)+C 将基本积分公式中的自变量x换成中间变量u(设u=(x)有连续导数),公式仍然成立.n 一般有下面的定理:设f(u)du=F(u)+C,u=(x),且u=(x)有连续导函数,则: 事实上: 当我们要求某个不定积分g(x)dx而又不能直接用基本积分公式时,如果被积函数g(x)可以写成f(x)(x)的形式,而f(u)du又比较容易求出,那么,我们就可以应用公式(5.1)求得g(x)dx,即: 第一类换元法的关键在于将被积表达式g(x)dx凑成易积的f(x)d(x)形式,所以第一类换元法也称为凑微分法

7、.有时候,不定积分f(x)dx不容易计算,但在选择适当的变量代换x=(t)后,将不定积分f(x)dx化为f(t)(t)dt后,后者积分却是容易求出的,这时我们就可以考虑使用这种形式的换元法.请看下面的例题.n 一般有下面的定理:设函数x=(t)单调并有连续导数,且(t)0,如果: 则 其中,-1(x)是x=(t)的反函数. 这种方法称为第二类换元法,而选择合适的函数x=(t)是第二类换元法的关键.05P A R T5.5分部积分法分部积分法n 利用前面所学的方法,我们可以求出大量的不定积分,但对于某些类型的不定积分仅用前面的方法是不够的.例如,我们考察积分xexdx,利用前面学的方法不能积分.

8、但我们知道xexdx=x(ex)dx=xdex.而由微分公式可知: d(xex)=xdex+exdx，即xdex=d(xex)-exdx xexdx=d(xex)-exdx=xex-ex+Cn 一般地,我们有下面的定理:设函数u=u(x),v=v(x)具有连续导数,则:udv=uv-vdun 这就是不定积分的分部积分公式.n 如果求不定积分udv有困难,而求vdu比较容易,那么利用分部积分公式可以化难为易.求不定积分ln xdx. 解:用分部积分法的第一步是选择适当的u和dv.设u=ln x,dv=dx,那么du=1/xdx,v=x,由分部积分公式得: ln xdx=xln x-xdln x=

9、xln x-dx=xln x-x+C05P A R T5.6经济上的应用举例经济上的应用举例据估计从现在起的t月内,某小镇的人口将按每月4+5t(2/3)的变化率变化,如果当时的人口数为10 000人,8个月后人口数为多少?p 解:设从现在起的t月内人口数为P(t),且P(0)=10 000.由题意可知,P(t)=4+5t(2/3),根据不定积分的定义得:某制造商生产某种产品,当生产水平为Q个单位时,产品的边际成本为6Q+1.已知生产第一个单位产品的总成本是130元.问生产前10个单位的产品的总成本是多少? 解: 已知边际成本C(Q)=6Q+1,且C(1)=130.由不定积分的定义得: 将C(1)=130代入并计算得C=126,从而该产品的生产总成本函数为C(Q)=3Q2+Q+126,所以生产前10个单位产品的总成本为:05P A R T5.7MathematicaMathematica软件介绍软件介绍求不定积分sin 2xdx. 解:计算机处理如下: In1:=IntegrateSin(2x),x Out1=-1/2Cos2x 即sin 2xdx=-cos2x/2+C谢谢观看