（高职）第6章《经济数学》ppt课件.pptx

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1、（高职）第6章经济数学ppt课件经济经济数学数学 （第五版（第五版）杨敏杨敏华华主编主编123456目录CONTENTS7CHAPTER0606知识目标知识目标010102020303技能目标技能目标能力目标能力目标06P A R T6.1定积分的概念定积分的概念n 首先我们从求曲边梯形的面积开始讨论.n 所谓曲边梯形就是由三条直线与一条曲线所围成的图形,形成其边界的两条直线互相平行且与第三条直线垂直,而两条平行直线中的每一条跟曲线至多相交于一点(如图6-1(a)所示).平行直线中的一条或两条可能会缩成一点(如图6-1(b)、图6-1(c)所示),这些可看成是曲边梯形的特殊情形.n 如果是矩形

2、或一般的直角梯形,那么我们由直接的公式可以求得其面积.而对于上述这种曲边梯形,我们可以用下面的方法来求得其面积.引例引例求由曲线y=x2,直线x=1以及x轴所围成的曲边梯形(如图6-2所示)的面积A的近似值. 解：定积分的定义n 在【例6-1】中,我们将求曲边梯形的面积的问题归结为求某种和式的极限.在很多实际问题中,都会出现类似的解决问题的思想方法和步骤.由此我们给出下面的定义.设函数f(x)在区间a,b上有定义,用点a=x0 x1x2xn=b将区间a,b任意分成n个小区间xi-1,xi(i=1,2,n),其长度为xi=xi-xi-1,在每个小区间xi-1,xi上任意取一点i(xi-1ixi)

3、,作和式 ,如果极限 存在,且此极限与a,b的分法以及i的取 法无关,则称函数f(x)在a,b上是可积的,并称此极限值为f(x)在 a,b上的定积分,记做 ,即:定积分的定义 (1)如果函数f(x)在a,b上可积,则定积分 的值与被积函数f(x)和积分区间a,b有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即: (2)定义中假定ab,如果ba,我们规定 ,特别地,当a=b时,规定 (3)若函数f(x)在a,b上连续,或f(x)在a,b上有界,且只有有限个间断点,则函数f(x)在区间a,b上可积.定积分的几何意义n 将被积函数y=f(x)(axb)看做曲边梯形的曲边方程,当f(x)0时,定积分 在几何上

4、表示由曲线y=f(x)和三条直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积(如图6-3(a)所示);当f(x)0时,由曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方,定积分 在几何上表示对应曲边梯形面积的负值(如图6-3(b)所示).若规定x轴上方图形的面积取正值,x轴下方图形的面积取负值,则一般函数y=f(x)在区间a,b上的定积分 在几何上表示x轴上方图形的面积与x轴下方图形的面积的代数和(如图6-3(c)所示).06P A R T6.2定积分的性质定积分的性质n 假设函数f(x),g(x)在所讨论的区间上都是可积的.06P A R T6.3定积分和不定积分的关系

5、定积分和不定积分的关系积分上限函数及其导数n 设函数f(x)在区间a,b上连续,且设x为a,b上的任意一点.显然f(x)在部分区间a,x上可积,考察f(x)在部分区间a,x上的定积分 ,式中,x既表示定积分的上限,又表示积分变量.因为定积分与积分变量的符号无关,为避免引起混淆,我们把积分变量x换成t,于是f(x)在a,x上的定积分改写成:如果函数f(x)在区间a,b上连续,则积分上限的函数 在a,b上可导,并且它的导数等于函数f(x),即:积分上限函数及其导数牛顿莱布尼兹公式 (微积分基本定理)设f(x)在闭区间a,b上连续,F(x)是f(x)的一个原函数,则有: 这就是著名的牛顿-莱布尼兹(

6、Newton-Leibnitz)公式,又称为微积分基本公式.06P A R T6.4定积分的换元积分法与分部积分法定积分的换元积分法与分部积分法p 牛顿-莱布尼兹公式给出了一个计算连续函数f(x)的定积分 的有效、简便的方法,即求函数f(x)的原函数在区间a,b上的增量.它反映了定积分计算与不定积分计算有着密切的联系.因此在一定的条件下,不定积分中的换元法在定积分的计算中同样可以应用.定积分的换元积分法定积分的换元积分法n 一般地,有下面的定理:设函数f(x)在区间a,b上连续,令x=(t),如果:定积分的换元积分法21用变量代换用变量代换x=(t)x=(t)把原来变量把原来变量x x代换成新

7、变量代换成新变量t t时时, ,积分限一定要换成相应于新变量积分限一定要换成相应于新变量t t的积分限的积分限; ;求出求出f f(t)t)(t) t)的一个原函数的一个原函数F F(t)t)后后, ,不需要不需要再把再把t t变换成原来变量变换成原来变量x x的函数的函数, ,而只需把新变量而只需把新变量t t的上、下限分别代入的上、下限分别代入F F(t)t)中中, ,然后求出增量即然后求出增量即可可. .定积分的换元积分法定积分的换元积分法定积分的分部积分法n 设函数u=u(x),v=v(x)在区间a,b上有连续导数,则有(uv)=uv+uv,即uv=(uv)-uv,等式两端在a,b上的

8、定积分为 ，即: 这就是定积分的分部积分公式.定积分的分部积分法06P A R T6.5广义积分广义积分p 前面我们是在有限区间上讨论有界函数的定积分.但是,无论在理论研究还是实际应用中,往往会遇到无穷区间上的函数积分问题和无界函数的积分问题,我们称这种类型的积分为广义积分.本节仅介绍无穷区间上的广义积分.06P A R T6.6定积分的应用定积分的应用平面图形面积的计算 由定积分的几何意义可知,曲线y=f(x)(f(x)0),直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形(如图6-3(a)所示)的面积为:平面图形面积的计算计算由曲线y=-x2+4x-3与x轴所围成的平面图形的面积. 解: 由曲线y

9、=-x2+4x-3与x轴所围成的平面图形如图6-5所示,求出曲线与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0). 所求面积为:平面图形面积的计算 若平面图形是由两条连续曲线y=f(x),y=g(x)(f(x)g(x)以及直线x=a,x=b所围成(如图6-9所示),则其面积的计算公式为: 即所求平面图形面积可看做由曲线y=f(x),直线x=a,x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积与由曲线y=g(x),直线x=a,x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积之差.平面图形面积的计算计算由曲线y=x2+1,直线y=2x-2,x=-1和x=2所围成的平面图形的面积. 解:所求平面图形如图6-10所示.根据(6.13

10、)式,f(x)=x2+1,g(x)=2x-2,可知所求平面图形面积为:经济上的应用n 在第4章中,我们介绍过边际函数及其在经济上的应用.例如,收益函数R(Q)的导函数R(Q)为边际收益,成本函数C(Q)的导函数C(Q)为边际成本.由于积分运算与微分运算的互逆关系,定积分在经济以及商务上的应用也相当广泛.这里我们就定积分在已知边际函数求原经济函数、已知边际函数求最大利润以及消费者剩余和生产者剩余等问题上的应用作一些简单的介绍. 利用牛顿-莱布尼兹公式 ,我们可以对已知的边际函数F(x)在区间0,x求定积分,从而得到原经济函数:经济上的应用已知生产某产品x个单位时的边际收益为R(x)=100-2x

11、(元/单位),求生产40个单位时的总收益,并求出再增加生产10个单位时所增加的总收益. 解: 由(6.17)式可知,生产40个单位时的总收益为: 再增加生产10个单位时所增加的总收益为:经济上的应用设某生产企业的固定成本为20,边际成本为C(x)=0.4x+2,边际收益为R(x)=18,试求其最大利润. 解:首先求出获得最大利润的产量.由利润最大化原则可知,边际收益与边际成本相等,即R(x)=C(x).所以有18=0.4x+2,解得x=40. 由于L(x)=R(x)-C(x)=18-(0.4x+2)=16-0.4x,L(x)=-0.40,又因为仅有一个极值点,所以在x=40时,企业获得最大利润

12、,最大利润为:经济上的应用 前面我们曾介绍过市场经济中的需求曲线和供给曲线,它表示生产并销售某一商品的数量可由这一商品的供给与需求曲线来描述. 对大多数生产者和消费者来说,商品的价格必定是被看做自变量的,因为它一般是由总的市场来确定的,生产者和消费者都无法改变它.于是,供给量和需求量就被看做依赖于价格的.换言之,数量被当成是价格的函数.可是,虽然在这里我们把价格当成是一个自变量,但经济学上习惯于把价格作为纵轴,而把商品数量作为横轴.图6-15给出了典型的需求曲线与供给曲线的图形.06P A R T6.7MathematicaMathematica软件介绍软件介绍p 本节介绍在Mathematica软件中如何求定积分. 第一个语句的结果是一个确定的积分值,第二个语句的结果为一个有效数为6位数的近似值. 注意:对于分段函数不能求其积分的精确值,但可求近似值,即再用“N”命令.谢谢观看