2015年高考湖北理科数学试题及答案(共10页).docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（1）【2015年湖北，理1，5分】为虚数单位，的共轭复数为（ ）（A） （B） （C）1 （D）【答案】A【解析】，共轭复数为，故选A【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查（2）【2015年湖北，理2，5分】我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）（A）

2、134石 （B）169石 （C）338石 （D）1365石【答案】B【解析】依题意，这批米内夹谷约为石，故选B【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础（3）【2015年湖北，理3，5分】已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式 中奇数项的二项式系数和为，故选D【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用 以及计算能力（4）【2015年湖北，理4，5分】设，这两个正态分布密度曲线如图所

3、示下列结论中正确的是（ ）（A） （B）（C）对任意正数， （D）对任意正数，【答案】C【解析】正态分布密度曲线图象关于对称，所以，从图中容易得到，故选C【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数和标准差这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质（5）【2015年湖北，理5，5分】设，若p：成等比数列；q：，则（ ）（A）p是q的充分条件，但不是q的必要条件 （B）p是q的必要条件，但不是q的充分条件 （C）p是q的充分必要条件 （D）p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】A【解析】对命题成等比数列，则公比且；对命题，当时，成立；当时，根

4、据柯西不等式，等式成立，则，所以成等比数列，所以是的充分条件，但不是的必要条件故选A（6）【2015年湖北，理6，5分】已知符号函数 是上的增函数，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】因为是上的增函数，令，所以，因为，所以是上的减函数，由符号函数知，故选B（7）【2015年湖北，理7，5分】在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】因为，对事件“”如图（1）阴影部分，对事件“”，如图（2）阴影部分，对事件“”，如图（3）阴影部分，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为，

5、根据几何概型公式可得，故选B【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小（8）【2015年湖北，理8，5分】将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ）（A）对任意的， （B）当时，；当时， （C）对任意的， （D）当时，；当时，【答案】D【解析】依题意，因为，由于，当时，所以；当时，而，所以，所以所以当时，当时，故选D【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础（9）【2015年湖北，理9，5分】已知集合，定义集合，则中元素的个数为（ ）（A）77 （B）49 （

6、C）45 （D）30【答案】C【解析】因为集合，所以集合中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合 中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个，故选C【点评】本题以新定义为载体，主要考查了几何的基本定义及运算，解题中需要取得重 复的元素（10）【2015年湖北，理10，5分】设，表示不超过的最大整数 若存在实数，使得，同时成立，则正整数的最大值是（ ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6 【答案】B【解析】由得，由得，由得，可得，所以； 由得，所以，由得，与矛盾，故正整数的最大值是4，故选B【点评】本题考查简单的演绎推理，涉

7、及新定义，属基础题二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分（一）必考题（11-14题）（11）【2015年湖北，理11，5分】已知向量，则 【答案】9【解析】因为，【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题（12）【2015年湖北，理12，5分】函数的零点个数为 【答案】2【解析】因为，所以函数的零点个数为函数与图像如图，由图知，两函数图像右2个交点，所以函数由2个零点【点评】本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用（13）【2015年湖北

8、，理13，5分】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m【答案】【解析】依题意，在中，由，所以，因为，由正弦定理可得，即m，在中，因为，所以，所以m【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解（14）【2015年湖北，理14，5分】如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（B在A的上方），且（1）圆的标准方程为 ；（2）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三

9、个结论：； ； 其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）【答案】（1）；（2）【解析】（1）依题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为（2）解法一：联立方程组，解得或，因为在的上方，所以，领直线的方程为，此时，所以，因为，所以所以，正确结论的序号是解法二：因为圆心，又，且为中点，在圆，可设，同理所以，所以，正确结论的序号是【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15

10、题作答结果计分）（15）【2015年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且，则_【答案】【解析】因为是圆的切线，为切点，是圆的割线，由切割定理知，因为，所以，即，由，所以【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力（16）【2015年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 已知直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为 ( t为参数) ，l与C相交于，两点，则【答案】【解析】因为，所以，所以，即；由，消去 得，联立方程组，解得或，即

11、，由两点间的距离公式得【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基础的计算题 三、解答题：共6题，共75分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（17）【2015年湖北，理17，11分】某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0050（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；（2）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象 若图象的一个对称中心为，求的最小值解：（1）根据表中已知数据，解得数据补全如下表：00500且函数表达式为 （2）由（1）知 ，得 因为的对称

12、中心为， 令，解得， 由于函数的图象关于点成中心对称，令，解得， 由可知，当时，取得最小值 【点评】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，函数的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查（18）【2015年湖北，理18，12分】设等差数列的公差为前n项和为，等比数列的公、比为q已知，（1）求数列，的通项公式；（2）当时，记，求数列的前n项和解：（1）由题意知：，即，得或，故或（2）由，知，故，于是 由-可得，故【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题（19）【2015年湖北，理19，12分】九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直

13、的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接（1）证明：试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面与面所成二面角的大小为，求的值解：解法一：（1）因为底面，所以，由底面为长方形，有，而，所以 而，所以 又因为，点是的中点，所以 而，所以平面 而，所以又，所以平面 由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为 （2）如图1，在面内，延长与交于点，则是平面与平面的交线 由（1）知，所以 又因为底面，所以 而，所以 故是面与面所成二面

14、角的平面角，设，有，在RtPDB中, 由, 得, 则 , 解得 所以 故当面与面所成二面角的大小为时， 解法二：（1）如图2，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角 坐标系 设，则， ，点是的中点，所以，于是，即 又已知，而，所以 因, , 则, 所以由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，四个面的直角分别为 （2）由，所以是平面的一个法向量；由（1）知，所以是平面的一个法向量 若面与面所成二面角的大小为，则，解得 所以 故当面与面所成二面角的大小为时， 【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题（

15、20）【2015年湖北，理20，12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品生产1吨 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨产品需鲜牛奶15吨，使用设备15小时，获利1200元要求每天产品的产量不超过产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W121518P030502该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利（单位：元）是一个随机变量（1）求的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率解：（1）设每

16、天两种产品的生产数量分别为，相应的获利为，则有 （1）目标函数为 当时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为 将变形为，当时，直线：在轴上的截距最大，最大获利当时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为将变形为，当时，直线：在轴上的截距最大，最大获利当时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为 将变形为，当时，直线：在轴上的截距最大，最大获利 故最大获利的分布列为81601020010800030502因此， （2）由（1）知，一天最大获利超过10000元的概率，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性

17、规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析问题解决问题的能力（21）【2015年湖北，理21，14分】一种作图工具如图1所示是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系（1）求曲线C的方程；（2）设动直线与两定直线和分别交于两点若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由解：（1）设点，依题意，且，所以，且即且 由于当点不

18、动时，点也不动，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得，即所求的曲线的方程为（2）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有 当直线的斜率存在时，设直线，由消去，可得因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，所以，即 又由 可得；同理可得由原点到直线的距离为和，可得 将代入得， 当时，；当时，因，则，所以，当且仅当时取等号所以当时，的最小值为8综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，OPQ的面积取得最小值8【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键综合性较强，运算量较大（22）【2015年湖北，理22，14分】已知数列的各项均为

19、正数，为自然对数的底数（1）求函数的单调区间，并比较与e的大小；（2）计算，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令，数列，的前项和分别记为,，证明：解：（1）的定义域为，当，即时，单调递增；当，即时，单调递减 故的单调递增区间为，单调递减区间为 当时，即 令，得，即 （2）； 由此推测： 下面用数学归纳法证明 当时，左边右边，成立 假设当时，成立，即当时，由归纳假设可得所以当时，也成立 根据（1）（2），可知对一切正整数n都成立（3）由的定义，算术-几何平均不等式，的定义及得 即【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法法证明数列不等式，是压轴题专心-专注-专业