2007年天津市高考数学试卷(理科)(共24页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2007年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）i是虚数单位=（）A1+iB1+iC1iD1i2（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+y的最大值为（）A4B11C12D143（5分）“”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4（5分）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）ABCD5（5分）函数的反函数是（）Ay=4x2x+1（x2）By=4x2x+1（x1）Cy=4x2x+2（x2）Dy=4x2x+2（x1）

2、6（5分）设a，b为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A若a，b与所成的角相等，则bB若a，b，则abC若a，b，b，则D若a，b，是ab7（5分）在R上定义的函数f（x）是偶函数，且f（x）=f（2x）若f（x）在区间1，2上是减函数，则f（x）（）A在区间2，1上是增函数，在区间3，4上是增函数B在区间2，1上是增函数，在区间3，4上是减函数C在区间2，1上是减函数，在区间3，4上是增函数D在区间2，1上是减函数，在区间3，4上是减函数8（5分）设等差数列an的公差d不为0，a1=9d若ak是a1与a2k的等比中项，则k=（）A2B4C6D89（5分）已知a、b、c均为

3、正数，且满足，则（）AabcBcabCcbaDbac10（5分）设两个向量和，其中，m，为实数若，则的取值范围是（）A6，1B4，8C（，1D1，6二、填空题（共6小题，每小题4分，满分26分）11（4分）若（x2+）6的二项展开式中x3的系数为，则a=（用数字作答）12（4分）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为13（4分）设等差数列an的公差d是2，前n项的和为Sn，则=14（4分）已知两圆x2+y2=10和（x1）2+（y3）2=20相交于A，B两点，则直线AB的方程是15（4分）如图，在ABC中，BAC=120，AB=2，AC=1

4、，D是边BC上一点，DC=2BD，则=16（4分）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）三、解答题（共6小题，满分76分）17（12分）已知函数f（x）=2cosx（sinxcosx）+1，xR（）求函数f（x）的最小正周期；（）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值18（12分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球现在从甲、乙两个盒内各任取2个球（）求取出的4个球均为黑色球的概率；（）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（）设为取出的4个球中红球

5、的个数，求的分布列和数学期望19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC=60，PA=AB=BC，E是PC的中点（）证明：CDAE；（）证明：PD平面ABE；（）求二面角APDC的大小20（12分）已知函数f（x）=（xR），其中aR（）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）当a0时，求函数f（x）的单调区间与极值21（14分）在数列an中，a1=2，an+1=an+n+1+（2）2n（nN*），其中0（）求数列an的通项公式；（）求数列an的前n项和Sn；（）证明存在kN*，使得对任意nN*均成立22（14分）设椭圆=1（

6、ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，AF2F1F2，原点O到直线AF1的距离为（I）证明：；（II）设Q1，Q2为椭圆上的两个动点，OQ1OQ2，过原点O作直线Q1Q2的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程2007年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）（2007天津）i是虚数单位=（）A1+iB1+iC1iD1i【分析】化简复数的分子，同时对复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可【解答】解：故选C2（5分）（2007天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+y的最大值为（）A4B11C12D1

7、4【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=4x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可【解答】解：易判断公共区域为三角形区域，如图所示：三个顶点坐标为（0，1）、（2，3）、（1，0），将（2，3）代入z=4x+y得到最大值为11故选B3（5分）（2007天津）“”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据当时成立判断是成立的充分条件，当tan=0时不成立，进而可判断是成立的不必要条件【解答】可知充分，当=0时可知不必要故选A4（5分）（2010天津）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦

8、点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）ABCD【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程为x=6，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在x轴上，则双曲线的左焦点为（6，0），此时由双曲线的性质a2+b2=c2可得a、b的一个方程；再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=x，可得=，则得a、b的另一个方程那么只需解a、b的方程组，问题即可解决【解答】解：因为抛物线y2=24x的准线方程为x=6，则由题意知，点F（6，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=36，又双曲线的一条渐近线方程是y=x，所以，解得a2=9，b2=27，所以双曲线的方程为故选B5（5分）（2007天津）函数的

9、反函数是（）Ay=4x2x+1（x2）By=4x2x+1（x1）Cy=4x2x+2（x2）Dy=4x2x+2（x1）【分析】本题考查指数式与对数式的互化、反函数的求法、函数的值域的求法等相关的知识和方法；可以有两种方法：一种是常规方法，即将看做方程解出x，然后由原函数的值域确定反函数的定义域；另一种方法是针对选择题的特点，利用其图象关于y=x对称的特征，通过选取特殊点代入的方法进行验证获得【解答】解：法一：由得：由此解得：x=4y2y+2，即：y=4x2x+2又原函数的定义域为：x0原函数的值域为：y2函数的反函数是y=4x2x+2（x2）故选C法二：特值排除法，原函数过（4，1）其反函数过（

10、1，4）从而排除A、B、D，故选C6（5分）（2007天津）设a，b为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A若a，b与所成的角相等，则bB若a，b，则abC若a，b，b，则D若a，b，是ab【分析】根据题意，依次分析选项，A、用直线的位置关系判断B、用长方体中的线线，线面，面面关系验证C、用长方体中的线线，线面，面面关系验证D、由a，可得到a或a，再由b得到结论【解答】解：A、直线a，b的方向相同时才平行，不正确；B、用长方体验证如图，设A1B1为a，平面AC为，BC为b，平面A1C1为，显然有a，b，但得不到ab，不正确；C、可设A1B1为a，平面AB1为，CD为b，平面A

11、C为，满足选项C的条件却得不到，不正确；D、a，a或a又bab故选D7（5分）（2007天津）在R上定义的函数f（x）是偶函数，且f（x）=f（2x）若f（x）在区间1，2上是减函数，则f（x）（）A在区间2，1上是增函数，在区间3，4上是增函数B在区间2，1上是增函数，在区间3，4上是减函数C在区间2，1上是减函数，在区间3，4上是增函数D在区间2，1上是减函数，在区间3，4上是减函数【分析】根据函数的性质，作出函数的草图，观察图象即可得答案【解答】解：由f（x）=f（2x）可知f（x）图象关于x=1对称，又f（x）为偶函数，f（x）=f（x2）f（x）为周期函数且周期为2，结合f（x）在区

12、间1，2上是减函数，可得f（x）草图故选B8（5分）（2007天津）设等差数列an的公差d不为0，a1=9d若ak是a1与a2k的等比中项，则k=（）A2B4C6D8【分析】由ak是a1与a2k的等比中项，知ak2=a1a2k，由此可知k22k8=0，从而得到k=4或k=2【解答】解：因为ak是a1与a2k的等比中项，则ak2=a1a2k，9d+（k1）d2=9d9d+（2k1）d，又d0，则k22k8=0，k=4或k=2（舍去）故选B9（5分）（2007天津）已知a、b、c均为正数，且满足，则（）AabcBcabCcbaDbac【分析】由对数函数的真数一定大于0确定a、b、c的范围，再由，对

13、其范围再缩小即可【解答】解：a010ab001b10c1abc故选A10（5分）（2007天津）设两个向量和，其中，m，为实数若，则的取值范围是（）A6，1B4，8C（，1D1，6【分析】利用，得到，m的关系，然后用三角函数的有界性求解的比值，为了简化，把换元【解答】解：由，可得，设代入方程组可得消去m化简得，再化简得再令代入上式得（sin1）2+（16t2+18t+2）=0可得（16t2+18t+2）0，4解不等式得因而解得6k1故选A二、填空题（共6小题，每小题4分，满分26分）11（4分）（2007天津）若（x2+）6的二项展开式中x3的系数为，则a=2（用数字作答）【分析】利用二项展开

14、式的通项公式求出展开式的第r+1项，令x的指数为3，求出展开式中x3的系数，列出方程求出a【解答】解：通项Tr+1=C6rarx123r，当123r=3时，r=3，所以系数为C63a3=，得a=2故答案为212（4分）（2007天津）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为14【分析】由题意可知，长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，求出长方体的对角线长，就是求出球的直径，然后求出球的表面积【解答】解：长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即，由S=4R2=14故答案为：1413（4分）（2007天津）设等差数列an的公差d是2，前n项的

15、和为Sn，则=3【分析】由首项a1和公差d等于2，利用等差数列的通项公式及前n项和的公式表示出an和Sn，然后把表示的式子代入到极限中，求出极限的值即可【解答】解：由公差d=2，得到an=a1+2（n1）=2n+a12，Sn=na1+2=n2+n（a11）则=3故答案为314（4分）（2007天津）已知两圆x2+y2=10和（x1）2+（y3）2=20相交于A，B两点，则直线AB的方程是x+3y=0【分析】当判断出两圆相交时，直接将两个圆方程作差，即得两圆的公共弦所在的直线方程【解答】解：因为两圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标坐标既满足第一个圆的方程，又满足第二个圆的方程将两个圆方程作差

16、，得直线AB的方程是：x+3y=0，故答案为 x+3y=015（4分）（2007天津）如图，在ABC中，BAC=120，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，则=【分析】法一：选定基向量，将两向量，用基向量表示出来，再进行数量积运算，求出的值法二：由余弦定理得可得分别求得，又夹角大小为ADB，所以=【解答】解：法一：选定基向量，由图及题意得，=（）（）=+=法二：由题意可得BC2=AB2+AC22ABACcosA=4+1+2=7，BC=，cosB=AD=，=故答案为：16（4分）（2007天津）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色要求最多使用3种颜色且相

17、邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有390种（用数字作答）【分析】由题意选出 的颜色只能是2种或3种，然后分别求出涂色方法数即可【解答】解：用2色涂格子有C622=30种方法，用3色涂格子，第一步选色有C63，第二步涂色，从左至右，第一空3种，第二空2种，第三空分两张情况，一是与第一空相同，一是不相同，共有32（11+12）=18种，所以涂色方法18C63=360种方法，故总共有390种方法故答案为：390三、解答题（共6小题，满分76分）17（12分）（2007天津）已知函数f（x）=2cosx（sinxcosx）+1，xR（）求函数f（x）的最小正周期；（）求函数f（x）在区间上的最

18、小值和最大值【分析】（I）先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，然后利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期（II）根据正弦函数的单调性和x的范围，进而求得函数的最大和最小值【解答】解：（I）f（x）=2cosx（sinxcosx）+1=sin2xcos2x=因此，函数f（x）的最小正周期为（II）因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，故函数f（x）在区间上的最大值为，最小值为118（12分）（2007天津）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球现在从甲、乙两个盒内各任取2个球（）求取出的4个球均为黑色球的概率；（）求取出的4个球中恰有1

19、个红球的概率；（）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望【分析】（1）取出的4个球均为黑色球包括从甲盒内取出的2个球均黑球且从乙盒内取出的2个球为黑球，这两个事件是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果（2）取出的4个球中恰有1个红球表示从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，1个是黑球或从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球两种情况，它们是互斥的（3）为取出的4个球中红球的个数，则可能的取值为0，1，2，3结合前两问的解法得到结果，写出分布列和期望【解答】解：（I）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件

20、A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B事件A，B相互独立，且取出的4个球均为黑球的概率为P（AB）=P（A）P（B）=（II）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D事件C，D互斥，且取出的4个球中恰有1个红球的概率为P（C+D）=P（C）+P（D）=（III）可能的取值为0，1，2，3由（I），（II）得，又，从而P（=2）=1P（=0）P（=1）P（=3）=的分布列为0123P的数学期望19（12分）（2007天津）如图，在四棱锥PABCD中，P

21、A底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC=60，PA=AB=BC，E是PC的中点（）证明：CDAE；（）证明：PD平面ABE；（）求二面角APDC的大小【分析】（I）由题意利用线面PA底面ABCD得线线PACD，进而得线面CD平面PAC，即可得证；（II）由题意可得AEPC，由（I）知，AECD，进而得到AE平面PCD，在由线线垂直得PD平面ABE；（III）因为AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则EMPD因此AME是二面角APDC的平面角，然后再在三角形中求出即可【解答】解：（I）证明：在四棱锥PABCD中，因PA底面ABCD，CD平面ABCD，故PACDACCD，PAAC=

22、A，CD平面PAC而AE平面PAC，AECD（II）证明：由PA=AB=BC，ABC=60，可得AC=PAE是PC的中点，AEPC由（I）知，AECD，且PCCD=C，所以AE平面PCD而PD平面PCD，AEPDPA底面ABCD，PD在底面ABCD内射影是AD，ABAD，ABPD又ABAE=A，综上得PD平面ABE（III）过点A作AMPD，垂足为M，连接EM由（II）知，AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则EMPD因此AME是二面角APDC的平面角由已知，得CAD=30设AC=a，可得在RtADP中，AMPD，AMPD=PAAD则在RtAEM中，所以二面角APDC的大小是20（

23、12分）（2007天津）已知函数f（x）=（xR），其中aR（）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）当a0时，求函数f（x）的单调区间与极值【分析】（I）把a=1代入，先对函数求导，然后求f（2），根据导数的几何意义可知，该点切线的斜率k=f（2），从而求出切线方程（II）先对函数求导，分别解f（x）0，f（x）0，解得函数的单调区间，根据函数的单调性求函数的极值【解答】解：（I）解：当a=1时，又所以，曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为，即6x+25y32=0（II）解：=由于a0，以下分两种情况讨论（1）当a0时，令f（x）=0，得到当x变化时，

24、f（x），f（x）的变化情况如下表：xa （a，+）f（x）0+0f（x）极小值极大值所以f（x）在区间，（a，+）内为减函数，在区间内为增函数函数f（x）在处取得极小值，且函数f（x）在x2=a处取得极大值f（a），且f（a）=1（2）当a0时，令f（x）=0，得到当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x （，a）af（x）+00+f（x）增极大值减极小值增所以f（x）在区间（，a）内为增函数，在区间内为减函数函数f（x）在x1=a处取得极大值f（a），且f（a）=1函数f（x）在处取得极小值，且21（14分）（2007天津）在数列an中，a1=2，an+1=an+n+1+（2）2

25、n（nN*），其中0（）求数列an的通项公式；（）求数列an的前n项和Sn；（）证明存在kN*，使得对任意nN*均成立【分析】（）解法一：由题设条件可猜想出数列an的通项公式为an=（n1）n+2n然后用数学归纳法证明解法二：由an+1=an+n+1+（2）2n（nN*），0，可知为等数列，其公差为1，首项为0由此可求出数列an的通项公式（）设Tn=2+23+34+（n2）n1+（n1）n，Tn=3+24+35+（n2）n+（n1）n+1然后用错位相减法进行求解（）证明：通过分析，推测数列的第一项最大然后用分析法进行证明【解答】解：（）解法一：a2=2+2+（2）2=2+22，a3=（2+22

26、）+3+（2）22=23+23，a4=（23+23）+4+（2）23=34+24由此可猜想出数列an的通项公式为an=（n1）n+2n以下用数学归纳法证明（1）当n=1时，a1=2，等式成立（2）假设当n=k时等式成立，即ak=（k1）k+2k，那么，ak+1=ak+k+1+（2）2k=（k1）k+2k+k+1+2k+12k=（k+1）1k+1+2k+1这就是说，当n=k+1时等式也成立根据（1）和（2）可知，等式an=（n1）n+2n对任何nN*都成立解法二：由an+1=an+n+1+（2）2n（nN*），0，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0故，所以数列an的通项公式为an=（n1

27、）n+2n（）解：设Tn=2+23+34+（n2）n1+（n1）nTn=3+24+35+（n2）n+（n1）n+1当1时，式减去式，得（1）Tn=2+3+n（n1）n+1=，这时数列an的前n项和当=1时，这时数列an的前n项和（）证明：通过分析，推测数列的第一项最大下面证明：由0知an0要使式成立，只要2an+1（2+4）an（n2）因为（2+4）an=（2+4）（n1）n+（2+4）2n4（n1）n+42n=4（n1）n+1+2n+22nn+1+2n+2=2an+1，n2所以式成立因此，存在k=1，使得对任意nN*均成立22（14分）（2007天津）设椭圆=1（ab0）的左、右焦点分别为F

28、1，F2，A是椭圆上的一点，AF2F1F2，原点O到直线AF1的距离为（I）证明：；（II）设Q1，Q2为椭圆上的两个动点，OQ1OQ2，过原点O作直线Q1Q2的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程【分析】（1）先求得A点的坐标，再求得直线AF1的方程，利用点到直线的距离结合条件得到一个关于a，b的关系式，化简即得；（2）设点D的坐标为（x0，y0）欲求其轨迹方程，即寻找x，y的关系式，由直线Q1Q2的方程和椭圆的方程组成方程组，结合向量的垂直关系即可找到找x，y的关系式，从而问题解决【解答】解：（I）由题设AF2F1F2及F1（c，0），F2（c，0），不妨设点A（c，y），其中y0由于点A

29、在椭圆上，有，即解得，从而得到直线AF1的方程为，整理得b2x2acy+b2c=0由题设，原点O到直线AF1的距离为，即，将c2=a2b2代入上式并化简得a2=2b2，即（II）设点D的坐标为（x0，y0）当y00时，由ODQ1Q2知，直线Q1Q2的斜率为，所以直线Q1Q2的方程为，或y=kx+m，其中点Q1（x1，y1），Q2（x2，y2）的坐标满足方程组将式代入式，得x2+2（kx+m）2=2b2整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m22b2=0于是，由式得y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=由OQ1OQ2知x1x2+y1y2=0将式和式代入得，3m2=2b2（1+k2）将代入上式，整理得当y0=0时，直线Q1Q2的方程为x=x0点Q1（x1，y0），Q2（x2，y2）的坐标满足方程组所以由OQ1OQ2知x1x2+y1y2=0，即，解得这时，点D的坐标仍满足综上，点D的轨迹方程为参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；yhx01248；zhwsd；wzj123；liuerq；wodeqing；杨南；zlzhan；wsj1012；wdnah；sllwyn；caoqz；涨停；邢新丽；吕静（排名不分先后）菁优网2017年2月4日专心-专注-专业