函数定义域与思维品质.doc

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1、函数定义域与思维品质函数定义域与思维品质摘要：在求解函数函数关系式、最值摘要：在求解函数函数关系式、最值(值域值域)、单调性、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变义域有无改变(指对定义域为指对定义域为 R 来说来说)，对解题结果有无影响，对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的思维品质，就能提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生思维能力，进而有利于培养学生思维的从而不断提高学生思维能力，进而有利于培养学生思维的创造性。创造性。关键词：数学教学；思维关键词：数学教学

2、；思维思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现。它包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批判性和思维的敏捷性等品质。函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。一、函数关系式与定义域函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：例 1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为 100m，求矩形的面积 S 与矩形长 x 的函数关系式？解：设矩形的长为 x 米，则宽为(50x)米，由题意得：S=x（50-x）故函数关系式为：S=x（50-x） 如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少

3、自变量的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量取负数或不小于 50 的数时，S 的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：00）在R 上适用，而在指定的定义域区间p，q上，它的最值应分如下情况：当-b2aq 时，y=f（x）在p，q上单调递减函数f（x）max=f（p） ，f（x）min=f（q） ；当 p-b2aq 时，y=f（x）在p，q上最值情况是：f（x）min=f（-b2a）=4ac-b24a，f（x）min=maxf（p） ，f（q）即最大值是 f（p） ，f（q）中最大的一个值。故本题还要继续做下去：-215f（-2）=（-2）2-2

4、（-2）-3=-3f（5）=52-25-3=12f（x）min=maxf（-2） ，f（5）=f（5）=12函数 y=x2-2x-3 在2，5上的最小值是-4，最大值是 12这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。三、函数值域与定义域函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：例 3：求函数 y=4x-5+2x-3 的值域错解：令 t=2x-3，则 2x=t2+3y=2（t2+3）-5+t=2t2+t+1=2（t+14）2+787

5、8故所求的函数值域是78，+） 剖析：经换元后，应有 t0，而函数 y=2t2+t+1 在0,+)上是增函数，所以当 t=0 时，ymin=1故所求的函数值域是1,+） 以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。四、函数单调性与定义域函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：例 4：指出函数 f（

6、x）=1og2（x2+2x）的单调区间解：先求定义域：x2+2x0x0 或 x-2函数定义域为（-，-2）（0，+） 令 u=x2+2x，知在 x（-，-2）上时，u 为减函数，在 x（0，+）上时，u 为增函数。又f（x）=1og2u 在0，+）是增函数函数 f（x）=1og2（x2+2x）在（-，-2）上是减函数，在（0，+）上是增函数。即函数 f（x）=1og2（x2+2x）的单调递增区间（0，+） ，单调递减区间是（-，-2） 。五、函数奇偶性与定义域判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。

7、否则要用奇偶性定义加以判断。如：例 5：判断函数 y=x3，x-1，3的奇偶性解：2-1，3而-2-1，3定义域区间1,3关于坐标原点不对称函数 y=x3，x-1，3是非奇非偶函数若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：f（-x）=（-x）3=-x3=-f（x）函数 y=x3，x-1，3是奇函数错误剖析：因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因。综上所述，在求解函数函数关系式、最值(值域)、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变(指对定义域为 R 来说)，对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生思维能力，进而有利于培养学生思维的创造性。