二重积分的换元（变换） 计算二重积分时，由于某些几分区域.ppt

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1、二重积分的换元,主讲人：汪凤贞,六、二重积分的换元（变换） 计算二重积分时，由于某些几分区域的边界曲线比较复杂。仅仅将二重积分化为累次积分并不求出二重积分，就是定积分中的换元积分公式。在二重积分计算中也有相应的换元法则。,定理3 若(x,y)在有界闭区域R连续，函数组 x=x(u,v),y =y(x,y）将uv坐标面上的区域R一对一变换成xy坐标面上的区域R且x=x( u,v），,y=y（u,v）在 R上存在连续偏导数。（u,v ） R,有 则：,证：因为f(x,y)在R 连续。所以可积。用任意分法T将 R分成n个小区域：R1,R2 ，Rn。又由于复合函数的连续性知 f(x,(u,v),y(u

2、,v) )在R 连续，所以可积 。设其面积为,于是在R上有对应的分法T，将R分成n个小区域 R1,R ,设其面积为 则根据函数行列式的几何性质，,又由已知得,于是积分和,再根据隐函数组确定的反函数组存在定理 知函数组 x=x(u,v), y=y(u,v)在R上存在有连续偏导数。反函数组u=u(x,y)， v=v(x,y) 由连续知必一致连续。 因此当分法T的细度|T| 0时，分法T的细度|T|也趋于0。,对（*）式两边取极限|T|-0时，有|T|-0。故有：,例求两条抛物线与两条直线y= x，y= x 所围成的区域的面积。其中， 矩形域：,u,v,0,解：根据二重积分的性质知： 作变换： v=

3、y/x则此函数组将做表面上变换成平面上的矩形域：； ,根据定理3：,例2 ： 证明,其中R：|x|+|Y|=1证明：如图所示，R是由直线X+Y=1。X+Y=-1，X-Y=1，X-Y=-1所组成。作变换得：u=x+y，v=x-y。则此函数组将xy面上的正方形R：|x|+|y|=1，变换成uv面上的正方形R：-1=u=1，-1=v=1。且,x,y,-1,1,-1,1,x,y,o,o,2、事实上，若 P（u0，v0） R。使J(u0,v0)=0。 而在其他点上J=0。则在R上作面积为 的 小邻域U（P, ）。则根据变换T，在XY面上 也得到面积为 的小邻域U（p， ）。,两点说明：1、若变换T：X=X（u，v），Y=Y（u，v）。在R 的个别点上有J=0。则结论依然成立。,