定积分的应用.ppt

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第六章,定积分的应用,一、元素法,回顾,曲边梯形求面积的问题,元素法,考察： 被积表达式,一般步骤：,这个方法通常叫做元素法,应用方向：,平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等我们只介绍几何方面的应用,二、几何应用,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,1、直角坐标系情形,（一）、平面图形的面积,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,面积元素,曲边扇形的面积,2、极坐标系情形,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,解,利用对称性知,旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,（二）、旋转体的体积,旋转体的体积为,解,直线 方程为,解,（三）、平行截面面积为已知的立体的体积,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,（四）、平面曲线弧长的概念,弧长元素,弧长,1、直角坐标情形,解,所求弧长为,解,曲线弧为,弧长,2、参数方程情形,解,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,曲线弧为,弧长,3、极坐标情形,解,平面曲线弧长的概念,直角坐标系下,参数方程情形下,极坐标系下,弧微分的概念,求弧长的公式,小结,