高等数学电子教案偏导数.ppt

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1、第二节第二节 偏偏 导导 数数一一, 偏导数的定义及其计算法偏导数的定义及其计算法1.偏导数的定义及其计算方法 上册学过一元函数导数及其计算.对于多元函数类似建立偏导数及其计算.先给出二元函数偏导数的定义.考虑二元函数z=f(x,y),如固定一个变量假如y.令y=y0当作常数,使x变化,这时函数只是x的一元函数f(x,y0),该函数在x0处的导数称为二元函数z在p0(x0,y0)处对x的偏导数 定义 设函数z=f(x,y)在区域D内有定义,(x0,y0)是D内一点.如果函数(x)=f(x,y0)在点x0处可导,即极限00000),(),().,(,00000 xxxxxyyxxyyxxyxfy

2、xfyxfxfxz对y的偏导数同样定义hyxfyhxfhxhxhh),(),(lim)()(lim00000000存在,则称这个极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数,记作00000),(),().,(,00000 xxxxxyyxxyyxxyxfyxfyxfxfxz同样定义z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为kyxfkyxfyxfky),(),(lim),(0000000这个偏导数也可以记作0000000),(),().,(,00000yyyyyyyyxxyyxxyxfyxfyxfzyfyzyyxx 若函数z=f(x,y)在区域D内的每一点(x,y)处对x的

3、偏导数都存在,那么对于D内的每一点(x,y)都有一个fx(x,y)与它对应,这样在D内就定义了一个新的函数,这函数称为z=f(x,y)对x的偏导数,记作),().,(,yxfyxfzxfxzxxx 同样,函数z=f(x,y)对y的偏导数记作),().,(,yxfyxfzyfyzyyy由定义可知hyxfyhxfyxfhx),(),(lim),(0kyxfkyxfyxfky),(),(lim),(0 偏导函数也称为偏导数.显然,f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数fx (x0,y0)等于偏导函数fx(x,y)在点(x0,y0)处的函数值.2.偏导数的计算 由定义知,z=f(x,y)对某一自

4、变量的偏导数,是把另一自变量看作常量时的导数.因此,求偏导数在方法上和一元函数求导完全相同.求xfyf时,只要把y看作常量而对x求导;求时,只要把x看作常量而对y求导.偏导数的定义及求法可以推广到三元及三元以上的函数.求f(x,y)在某一点(x0,y0)处的偏导数有两种方法.(1)求极限. 0| ),(0 xxxyxf例1 求z=xxxxfxffxxx46122)1 (3)1 (lim)2 , 1 ()2 ,1 (lim)2 , 1 () 1 (2200223yxyx86)(2lim20 xxxxx在(1,2),(1,0)处对x及y的偏导数.(2)借助一元函数求导运算. 2|2|)()0 ,

5、1 (112xxxxxf. 8)62()46()2 ,()2(1121)2, 1 (xxxxxxxxfxz 同理可得到 . 7|23|)31 () 2 , 1 (222yyyyyyf3|23|)31 ()0 , 1 (002yyyyyyf不同点的偏导数不同,称为偏导函数例2 设.,)(22yzxzyxzxy求对幂指函数的求导(或求偏导数)可用下述方法:幂指数对某一变量的导数(或偏导数)由两部分组成,一部分是把该函数看成指数函数而求得的导数,一部分是把导数看成幂函数而求得的导数.)ln(22yxxyez)ln(2)(222222yxyxyyxxyxxzxy)ln(2)(2222222yxxyxx

6、yyxyzxy的偏导数作为指数函数，求对 xyxzxy)(22yyyxxyzyxxzxzln(,1指数函数）幂函数）)ln(2)(222222yxyxyyxxyxxzxy。)ln()(2222yxyxyxy的偏导数作为幂函数，求对xyxzxy)(22222221222)(2)(yxyxyxxyxxyxyxy例3 已知42),(yxyxfxxxxxfxffxxxx02200lim0)(lim)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(故极限不存在此极限为时当此极限为时当. 1,0, 1,0 xx0)(lim)(0lim)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(204200yyyyyfyffyy

7、yy求:fx(0,0), fy(0,0)分析:本题的解法有二种:(1)利用定义求(2)利用一般的求导公式计算.coslimcoslimlim)0 , 0(00sincos42002故极限不存在trtryxxfrrtrytrxyxx02lim2lim)0 , 0(2220004230023423yyxyfyyyyxyyxyxy例4zryrxrzyxr,222求rxzyxxzyxzyxxrx222222222222)(ryzyxyzyxzyxyry222222222222)(rzzyxzzyxzyxzrz222222222222)(例5 已知理想气体的状态方程PV=RT(R为常数),求证1pTTV

8、Vp;,;,2pRTVpRTVVRTVpVRTp1,2VpRTRVpRVRTpTTVVpRVpTRpVT3. 偏导数的几何意义 设M0(x0,y0,f(x0,y0)为曲面z=f(x,y)上一点,z=f(x,y0)是过M0的平面y=y0与曲面z=f(x,y)的交线,它是x的一元函数, 从而偏导数fx(x0,y0)=0),(0 xxyxfdxd所以偏导数fx(x0,y0)在几何上表示曲线0),(yyyxfzM0z=f(x,y0)z=f(x0,y)TyTxoxyzx0y00),(xxyxfz 在点M0(x0,y0,f(x0,y0)处的切线M0Tx对x轴的斜率.同理, fy (x0,y0)是曲线在点M

9、0(x0,y0,f(x0,y0)处的切线M0Ty对y轴的斜率4.偏导数存在与函数连续的关系 对于一元函数y=f(x)来说,在 0 x处可导表示函数在该点连续.但对于多元函 数 来说,偏导数的存在并不保证多元函数连续.这是因为连续是一个全面性的概念,它要求p沿任何方式趋近0p时都要保证它的极限存在.而偏导数的存在表示它沿某一个方向(例如x方向)的极限存在并等于它的函数值,它不能保证沿所有方向的极限存在和等于函数值.自然如果函数在某点连续,也不能保证偏导数的存在.例如,函数),(yxf0, 00,222222yxyxyxxy处处都有偏导数,但它在点(0,0)是不连续的.在下一讲里我们可知道若偏导数

10、存在并连续,则多元函数一定连续.00)(0lim)0 , 0()0 ,0(lim|200)0,0(xxxxfxffxxx00)(0lim)0 , 0()0 , 0(lim|200)0, 0(yyyyfyffyyy一般对分段定义的函数,在连续处要用定义来求偏导数.在上例中若x,y不同时为零求偏导数,就可直接来求,即2222222222)()()(2)(yxxyyyxxxyyxyfx22222)()(yxxyy如果合并可写成fx=fy=2222222222)()()(2)(yxyxxyxyxyyxxfy022222)()(yxyxx0二二. 高阶偏导数高阶偏导数 1. 高阶偏导数及计算 设函数z=

11、f(x,y)在区域D内具有偏导数),(),(yxfyzyxfxzyx这两个偏导数在D上仍然是x,y的函数.如果它们的偏导数也存在,就称它们的偏导数是函数z=f(x,y)的二阶偏导数,分别用下面记号表示:;);,()();,()(222yxfyxzxzyyxfxzxzxxyxx 其中yxz2xyz2),()();,()(222yxfyzyzyyxfxyzyzxyyyx叫做二阶混合偏导数.同样,若上述四个和二阶偏导数的偏导数也存在,可以定义三阶偏导数,依次类推,可以定义三阶以上的偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.而一阶偏导数就叫做偏导数.例5 验证函数22lnyxz满足方程02222

12、yzxz)ln(21ln2222yxyxz证明: 因为;,),ln(21ln22222222yxyyzyxxxzyxyxz;)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxz0;)()(2)(2222222222222222yzxzyxyxyxyyyxyz例6 设222zyxr证明函数u=1/r,满足方程0222222zuyuxu证明;1;2232222rxrxrxrruxurxzyxxxr5232252322523432231.31.3131rzrzuryryurxrxrrxrxu033)(333352223222222rrrzyxrzuyuxuxyyxyxyzyxyyxxz21

13、24;862232322可以看出,二阶的混合偏导数相等.一般二阶混合偏导数在什么情况下相等呢?下面我们研究例7 设z=2x3 y2-4x2y3-xy2+3 求.,33222222xzyzxyzyxzxz;22412;224122222222yxzyxyyxxyzyxyyxyxz2332322322212;2244;812yxzxyxxyzyxyxz2.混合偏导数的求导次序定理 如果函数z=f(x,y)的两个混合偏导数,22xyzyxz 上述定理可推广到更高阶的及更多元的情况.例如在连续条件下有 fxyxy=fxxyy=fxyyx=fyyxx=fyxyx=fyxxy 上式表示,只要对x求导两次,

14、对y求导两次,不论求导次序如何,结果是一样的. 注意(1)若不假设二阶偏导数fxy和fyx的连续,定理中的结果就不一定成立.例如函数 在区域D内连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数相等. (证明从略),(yxf 此函数所有二阶偏导数都存在,但在(0,0)处不连续.由偏导数定义知yyhhyhhyhyfyhfyfhhx)(lim), 0(),(lim), 0(222200(2).今后若不注明,我们认为混合偏导数是连续的,从而与求导次序无关,即这样的偏导数相等.0. 0. 0,22222222yxyxyxyxxyxkxkxxkxfkxfxfkky)(lim)0 ,(),(lim)0 ,(222200).0 , 0()0 , 0(. 1)0 , 0(, 1)0 , 0(yxxyyxxyffff