14-2 导数的应用2.ppt

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1、14-2 导数的应用2 在工农业生产、工程技术及经济管理中，常常会遇到这样一类问题：在一定条件下，怎样使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等，这类问题在数学上归结为求某一函数的最大值或最小值问题.14.3 函数的最大值、最小值问题函数的最大值、最小值问题14.3.1 闭区间上连续函数的最大值与最小值的求法闭区间上连续函数的最大值与最小值的求法ba,)(xfy 闭区间上的连续函数值和最小值，其最大值与最小值可能在区间的端点处取得，也可能在区间内部的极值点处取得. 而极值点只可能是驻点和不可导点. 一定存在最大)(xfy ba, 在闭区间大值和最小值的一般步骤为：因此，求连续函

2、数上的最)(xfy )(xf （1）求出函数 的导数 ；0)( xf)(xf （2）求出使 的点和 不存在的点；ba,（3）求出驻点、不可导点和区间端点处的函数值，比较这些函数值的大小，最大的即为函数在 上的最大值，最小的即为最小值1261266)(2xxxxxf,15)2(f,12) 1 (f, 4)3(f,123)4(f,123)4(f.12) 1 (f最小值为)(xf5123223xxx4 , 3例例1 求函数 在上的最大值与最小值解解0)( xf令1, 221xx得到比较驻点和区间端点处的函数值:)(xf4 , 3所以 在 的最大值为)(xf32 x4 , 1例例2 求函数 在上的最大

3、值与最小值.02ln2)(xxf解解 因为)(xf4 , 1所以函数 在, 5 . 3) 1(f是单调递增函数. 故最小值为.19)4(f最大值为14.3.2 实际问题中最大值或最小值的求法实际问题中最大值或最小值的求法实际问题中最大值或最小值的一般方法： 1.根据题意建立函数关系，也称之为建立数学模型或目标函数. 2.求出目标函数在定义区间内的驻点. 3. 如果驻点唯一，且根据实际意义可以判定函数确有最大值或最小值，并且在定义区间内部取得，那么不必讨论，所求驻点一定就是函数的最大(小)值点. 如果驻点有多个，且函数既存在最大值点也存在最小值点，只需比较这几个驻点处的函数值，其中最大值即为所求

4、最大值；最小值即为所求最小值最后对解出的结果是否符合实际需要加以检验25122xl 例例3 一农场要围建一个面积为512平方米的矩形菜园. 一边可以利用原来的围墙, 其余三边需要篱笆围栏. 问菜园的长和宽各为多少米时所用的材料最省?xx512解解 设菜园的宽度为 ( m), 则长为 ( m), 围成菜园所需篱笆长为xxl5122 x( 0)xxl5122 问题转化为求目标函数 在区间，0内的最小值0 l令 , 得唯一驻点16xl由问题的实际意义知，0在区间 内必有最小值，故最小值必在唯一驻点宽为16米，长为32米时，可以使所用篱笆围栏的材料最省.16x处取得. 即当菜园的宽2102207200

5、)40(20)40)(10200(xxxxxyxy20220 例例4 某一汽车出租公司有40辆汽车要出租，当租金定为每天每辆车200元时，汽车可以全部租出；当每辆车每天租金提高10元时，出租数量就会减少1辆. 公司对已出租的汽车的维护费为每天每辆车20元. 问每天每辆车的租金定为多少元时，公司利润最大？最大利润是多少元？x解解 设租金每辆车每天提高 个10元，即现租金为x10200 x-40则租出量为， 此时公司收入为：0 y令 得唯一驻点11x 因为公司实际最大利润一定存在，而且驻点唯一，所以驻点为函数的最大值点.3101110200（元/辆 天）84101110-11220720011）（

6、f（元）， 所以当每天每辆车的租金为310元时，公司可获得最大利润为8410元.S22022rrVr2022rrVSrrV42200V 例例5 某工厂定制一批容积为 的圆柱形金属易拉罐，如果不考虑其他成本影响，只考虑材料使用方面，那么它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解解 设该圆柱的高为h，底面半径为r，则圆柱的表面积为hr20V20rVh222rrhS据题意， ，所以，表面积302Vr 3022Vh 令 ，解得 ，所以，0Srh2S 得 因为 只有一个极小值，那么该极小值即为函数的最大值因此,当易拉罐的高与底面直径相等时，所用的材料最省. 练一练：练一练：3.将一根长为1米的

7、铁丝围成一个矩形，问怎样围时面积最大？ 1 , 0, 322xxxxf1.求函数的最小值. 21, 322，xxxxf2.求函数的最大值.14.4 函数图形的凹凸性与拐点函数图形的凹凸性与拐点 我们研究了函数的单调性和极值，为描绘函数图形提供了重要依据. 但是仅有这些知识还不能准确描绘函数的图形. 例如图中有两条曲线弧, 虽然它们都是上升的, 但是图形却有显著的不同, 弧ACB与弧ADB的弯曲方向不同.为进一步研究函数图形弯曲的方向，需要建立一个判断函数图形弯曲方向的法则. 为此，我们先介绍曲线的凹凸性的概念.14.4.1 曲线的凹凸性及其判定曲线的凹凸性及其判定 在图中，可以看到，曲线上每一

8、点处的切线都在曲线的下方或上方，利用曲线与它的切线的这种关系，就可以给出曲线的凹凸性的定义.),(ba定义定义 在区间 内，)(xfy ),(ba切线都在曲线弧的下方，则称上每一点处的内是凹的；若曲线此曲线在)(xfy ),(ba切线都在曲线弧的上方，则称上每一点处的内是凸的；若曲线此曲线在xyOxyO下面再结合图形说明判定曲线的凹凸性的法则. (a) (b) )(xf )(xf 0)( xfx 如图示，曲线弧是凹的，随着 的逐渐增大，曲线在对应点处切线的倾斜角逐渐增大，根据导数的几何意义，函数是单调增加的，从而函数 的导数 (图 (a). x)(xf )(xf 0)( xf同样，曲线弧是凸的

9、，随着 的逐渐增大，曲线在对应点处切线的倾斜角逐渐减少，函数 是单调减少的，从而函数 导数 (图 (b). 从上面的直观分析，可见曲线的凹凸性与函数的二阶导数的符号有关，归纳为如下判断定理：)(xfba,),(ba定理（曲线的凹凸性的判定定理）定理（曲线的凹凸性的判定定理）设函数 在闭区间 上连续，在开区间 内具有一阶和二阶导数，),(ba0)( xf)(xfba,（1）如果在区间 内， 则曲线 在内是凹的；0)( xf),(ba)(xfba,（2）如果在区间 内， 则曲线 在内是凸的；这个判断法可列成如下表格： 注意：曲线的凹凸性判定定理的一个直观记忆方法，把曲线当作“碗”， 凹时，“碗”可

10、以“+”水，凸时，“碗”可以“-”水21,1xyxy 0)( xf因为xyln所以曲线xyln例例1 讨论曲线 的凹凸性.解解 函数的定义域为), 0 (在是凹的.), 0 (51262xxy1212 xy)12, 1 ( 在例2中，点 是曲线由凸变凹的分界点. 这样的点在描绘图形时很重要.156223xxxy例例2 判定曲线 的凹凸性.),解解 函数的定义域为(0)( xf1x令得判断法可列成表156223xxxy), 1 ( ) 1 ,(于是，曲线在在内是凸的.内是凹的拐点及其求法拐点及其求法 定义定义 连续曲线连续曲线 f (x)上凹与凸的分界点，称为曲线上凹与凸的分界点，称为曲线 f

11、(x)的拐点的拐点.(3) 求函数求函数 f(x)=0 0和和 f(x)不存在的点；不存在的点； (4) 这些点将定义域分成若干个区间，考察这些点将定义域分成若干个区间，考察 f(x) 在每个在每个区间上的符号，如在某分割点两侧异号，则该点就是拐点，区间上的符号，如在某分割点两侧异号，则该点就是拐点，否则不是拐点否则不是拐点.判定曲线凹凸性和拐点的一般步骤是：判定曲线凹凸性和拐点的一般步骤是：(1) 求函数求函数 f (x) 的定义域的定义域； (2) 求函数的二阶导数求函数的二阶导数 f(x) ； 例例3 求函数求函数2382)(34xxxxf的凹凸区间与拐点的凹凸区间与拐点.练一练练一练讨

12、论下列曲线的凹凸区间及拐点讨论下列曲线的凹凸区间及拐点14.4.3 曲线的渐近线曲线的渐近线定义定义 若曲线若曲线 C上的任一动点上的任一动点 P沿着曲线无限地远离原点沿着曲线无限地远离原点时，点时，点 P与某一固定直线与某一固定直线 L的距离趋近于零，则称直线的距离趋近于零，则称直线 L为曲线为曲线 C的渐近线的渐近线.OxyyxOx yO1.水平渐近线水平渐近线xyO222arctanlimxx2arctanlimxxxyarctancxfx)(limcxfx)(lim 若若或或则直线则直线 y = c 是曲线是曲线 y = f(x) 的的水平渐近线水平渐近线. 2y?直线直线xarcta

13、ny ?和和2y?是曲线是曲线的水平渐近线的水平渐近线若曲线若曲线 f (x) 的渐近线的渐近线L与与 x 轴平行，则称轴平行，则称L为为曲线曲线 f (x) 的水平渐近线的水平渐近线例例4 求下列曲线的水平渐近线求下列曲线的水平渐近线.112yx(1)(2)21yxx2.垂直渐近线垂直渐近线 若若 x = c 是函数是函数 y = f(x) 的的间断点，且间断点，且或或则直线则直线 x = c 是曲线是曲线 y = f(x) 的的垂直渐近线垂直渐近线. 直线直线 x = 0是曲线是曲线 y = ln x 的垂直的垂直渐近线渐近线若曲线若曲线 f (x) 的渐近线的渐近线L与与 x 轴垂直，则称轴垂直，则称L为为曲线曲线 f (x)的垂直渐近线的垂直渐近线1Oxyy = ln xxxlnlim0)(limxfcx)(limxfcx注意注意 (1) 求曲线的渐近线本质就是求函数的极限，可求曲线的渐近线本质就是求函数的极限，可用之前学过的求函数极限的各种方法；用之前学过的求函数极限的各种方法；求曲线的垂直渐近线时，要先求出函数的间断点，求曲线的垂直渐近线时，要先求出函数的间断点，然后再求该点的极限然后再求该点的极限例例5 求曲线求曲线21xxy的渐近线的渐近线练一练练一练求下列曲线的渐近线求下列曲线的渐近线