2021【垂直于弦的直径】垂直于弦的直径教案设计.doc

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1、2021【垂直于弦的直径】垂直于弦的直径教案设计第一课时 垂直于弦的直径（一）教学目标：(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；(3)通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱教学重点、难点：重点：垂径定理及应用；从感性到理性的学习能力 难点：垂径定理的证明教学学习活动设计： （一）实验活动，提出问题：1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题. 通过“演示实验观察感性理

2、性”引出垂径定理（二）垂径定理及证明：已知：在O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E求证：AE=EB， = ， = 证明：连结OA、OB，则OA=OB又CDAB，直线CD是等腰OAB的对称轴，又是O的对称轴所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合， 、 分别和 、 重合因此，AE=BE， = ， = 从而得到圆的一条重要性质垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧组织学生剖析垂径定理的条件和结论：CD为O的直径，CDAB AE=EB， = ， = .为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对

3、的优弧；平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.（三）应用和训练例1、如图，已知在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径分析：要求O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OEAB于E，而AEEB AB=4cm此时解RtAOE即可 解：连结OA，作OEAB于E则AE=EBAB=8cm，AE=4cm又OE=3cm，在RtAOE中， (cm)O的半径为5 cm说明：学生独立完成，老师指导解题步骤；应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h关系：r = h+d；r2

4、= d2 + (a/2)2 例2、 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点求证AC=BD（证明略） 说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成练习1：教材P78中练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流指导学生归纳：构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线弦心距.（四）小节与反思教师组织学生进行：知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有

5、关问题经常作的辅助线弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足过圆心；垂直于弦；则可得平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧（五）作业教材P84中11、12、13第二课时 垂直于弦的直径（二）教学目标：（1）使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用；（2）通过对推论的探讨，逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题，概括问题的能力促进学生创造思维水平的发展和提高（3）渗透一般到特殊，特殊到一般的辩证关系教学重点、难点：重点：垂径定理的两个推论；对推论的探究方法难点：垂径定理的推论1学习活动设计： (一)分解定理（对定理的剖析）1、复习提问：定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦

6、所对应的两条弧. 2、剖析： （教师指导）(二)新组合，发现新问题：（A层学生自己组合，小组交流，B层学生老师引导） ， ，（包括原定理，一共有10种）(三)探究新问题，归纳新结论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对应的两条弧.（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦对应的两条弧.（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.（4）圆的两条平行线所夹的弧相等.(四)巩固练习：练习1、“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?（在推论1（1）中，为什么要附加“不是直径”这一条件）练习2、按图填空：在O中， （1）若MNAB，MN

7、为直径，则_，_，_；（2）若ACBC，MN为直径，AB不是直径，则则_，_，_；（3）若MNAB，ACBC，则_，_，_；（4）若 = ，MN为直径，则_，_，_（此题目的：巩固定理和推论）（五）应用、反思例、四等分 （A层学生自主完成，对于其他层次的学生在老师指导下完成）教材P80中的第3题图，是典型的错误作.此题目的：是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法，通过学生自主操作培养学生的动手能力；通过与教材P80中的第3题图的对比，加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解培养学生的思维能力（六）小结：知识：垂径定理的两个推论能力：推论的研究方法；平分弧的作图（七）作业：教材P84中14题第三

8、课时 垂径定理及推论在解题中的应用教学目的：要求学生掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明，计算问题.培养学生严谨的逻辑推理能力；提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识.通过例4（赵州桥）对学生进行爱国主义的教育；并向学生渗透数学来源于实践，又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想教学重点：垂径定理及其推论在解题中的应用教学难点：如何进行辅助线的添加教学内容：(一)复习1垂径定理及其推论1：对于一条直线和一个圆来说，具备下列五个条件中的任何个，那么也具有其他三个： 直线过圆心 ； 垂直于弦 ； 平分弦 ； 平分弦所对的优弧 ； 平分弦所对的劣弧.可简记为：“知2推3”推论2：圆的两条平行弦所夹的

9、弧相等.2应用垂径定理及其推论计算（这里不管什么层次的学生都要自主研究） 涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h关系：r = h+d ; r2 = d2 + (a/2)2 3常添加的辅助线：（学生归纳） 作弦心距 ； 作半径 .-构造直角三角形4可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系；同时为圆中的计算、作图提供依据.(二)应用例题：（让学生分析，交流，解答，老师引导学生归纳）例1、1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米，拱高(弧中点到弦的距离，也叫弓形的高)为7.2米，求桥拱的半径(精确到0.1米)说明：对学生进行

10、爱国主义的教育；应用题的解题思路：实际问题（转化，构造直角三角形）数学问题例2、已知：O的半径为5 ，弦ABCD ，AB = 6 ，CD =8 .求：AB与CD间的距离.（让学生画图） 解：分两种情况：（1）当弦AB、CD在圆心O的两侧过点O作EFAB于E，连结OA、OC，又ABCD，EFCD（作辅助线是难点，学生往往作OEAB，OFAB，就得EF=OE+OF，错误的结论）由EF过圆心O，EFAB，AB = 6，得AE=3，在RtOEA中，由勾股定理，得，同理可得：OF=3EF=OE+OF=4+3=7（2）当弦AB、CD在圆心O的同侧同（1）的方法可得：OE=4，OF=3说明：此题主要是渗透分

11、类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形分析图形数形结合解决问题；培养学生作辅助线的方法和能力例3、 已知：如图，AB是O的弦，半径OCAB ，AB=24 ，OC = 15 .求：BC的长. 解：（略，过O作OEAE于E ，过B作BFOC于F ，连结OB.BC = ）说明：通过添加辅助线，构造直角三角形，并把已知与所求线段之间找到关系.（三）应用训练：P8l中1题在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后截面如图所示，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度学生分析，教师适当点拨分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的

12、一半可以构造直角三角形，然后利用垂径定理和勾股定理来解决（四）小结：1. 垂径定理及其推论的应用注意指明条件.2. 应用定理可以证明的问题；注重构造思想，方程思想、分类思想在解题中的应用.(五)作业：教材P84中15、16题，P85中B组2、3题探究活动 如图，直线MN与O交于点A、B，CD是O的直径，CEMN于E，DFMN于F，OHMN于H.（1）线段AE、BF之间存在怎样的关系？线段CE、OH、DF之间满足怎样的数量关系？并说明理由.（2）当直线CD的两个端点在MN两侧时，上述关系是否仍能成立？如果不成立，它们之间又有什么关系？并说明理由.（答案提示：（1）AE=BF，CE+DF=2OH，（2）AE=BF仍然成立，CE+DF=2OH不能成立.CE、DF、OH之间应满足） 第 9 页 共 9 页