函数项级数.ppt

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1、学习任务三 幂级数,“级数”就是“无限多项相加”, 无限多个函数相加就是函数数项级数. 幂级数是较简单的函数项级数. 要求大家了解较简单的幂级数的收敛半径及收敛域的计算方法.1. 幂级数的收敛性,对于函数项级数若x = x0时, 级数收敛, 则称x = x0是函数项级数的收敛点,所有收敛点组成的集合就是函数项级数的收敛域.,幂级数的常见形式为其中每一项都是幂函数. 对于幂级数, 其收敛域是一个区间, 该区间除端点外是关于原点对称的.,幂级数收敛半径的计算方法 对于幂级数(1) 当 1时, 幂级数发散. 由此可以求出幂级数的收敛半径R： 若x = 0, 则R = 0；若|x| R(实数), 则R

2、就是收敛半径;若|x| , 则R = . 进一步,通过考虑区间端点的收敛情况得出收敛域.,例(幂级数收敛半径和收敛域的计算) 求幂级数 的收敛半径和收敛域.Solution 因为由于是只有x = 0. 所以只有在x = 0时, 所给幂级数才收敛. 因此所求的收敛半径R = 0, 收敛域为x = 0.,例(幂级数收敛半径和收敛域的计算) 求幂级数 的收敛半径和收敛域.Solution 因为由于是 . 因此所求的收敛半径当 时, 是收敛的交错级数. 当 时, 是发散的调和级数. 因此,幂级数的收敛域为,例(幂级数收敛半径和收敛域的计算) 求幂级数 的收敛半径和收敛域.Solution 因为由于是x

3、 可任意取值. 所以所给幂级数的收敛半径R = , 收敛域为(-, +).,2. 幂级数的和函数设幂级数 的收敛域为I, 则对于任意的x I, 有唯一的和. 因此, 是关于x的函数, 记为S(x), 称S(x)为幂级数的和函数. 例如, 根据等比级数的敛散性知道,学习任务四 函数的幂级数展开,将一个函数展开成幂级数是我们最需要的结论. 要求大家了解函数的幂级数展开方法和常见函数的幂级数展开.1. 麦克劳林级数给定函数f(x), 若存在幂级数 , 在指定的区间它收敛到f(x), 即则称为函数f(x)的幂级数展开.,若函数f(x)在x = 0具有任意阶导数，则在指定的区间有它就是函数f(x)的麦克劳林级数展开.2. 函数的幂级数展开根据可以得到函数的幂级数展开.,可以验证,下列等式成立.(1)(2),