电力系统分析习题集(第三章)(共15页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上电力系统分析习题集（第三章）【例3-1】某发电系统有2台发电机组，其容量分别为30MW和40MW，强迫停运率FOR分别为0.04和0.06。试求该发电系统的停运表。【解】发电系统的停运表是指指整个系统各种容量状态的概率表，是由各发电机组的停运表按上节的递推公式求出的。因此，应首先建立各发电机组的停运表。取步长=10MW，可以得到这2台发电机组的停运表，见表32和表3-3。表32 30MW发电机组的停运表 000.E+010.E+001100.E-010.E+002200.E-010.E+003300.E-010.E-01表3-3 40MW发电机组的停运表 000.E+

2、010.E+001100.E-010.E+002200.E-010.E+003300.E-010.E+004400.E-010.E-01有了各发电机组的停运表后，就可利用递推公式形成发电系统的停运表，如表34所示。表34 30MW和40MW发电机组并联后的停运表0 00.E+010.E+001100.E-010.E+002200.E-010.E+003300.E-010.E-014400.E-010.E-015500.E-020.E+006600.E-020.E+007700.E-020.E-02为了说明计算过程，我们以表34中，时，为例介绍递推公式的具体应用。令30MW发电机组为元件，40M

3、W发电机组为元件。则知，因此根据式（3-51）可以写出组合后等效机组在时的累积概率为：将30MW及40MW发电机组停运表中相应的数值代入上式，得对于并联的输电线路或变压器也可以形成其停运表。有了电力系统元件的停运表，就可以简化系统运行可靠性的评估过程。【例3-2】 应用蒙特卡洛模拟法对图2.6所示的5节点系统进行可靠性评估。该系统元件的容量与可靠性参数如表3-5和表3-6所示。【解】 该系统由5个节点、7条支路组成，共2个发电厂，以标幺值表示的总装机容量11，负荷为7.3。表3-5 发电元件可靠性参数发电厂G1发电厂G2可用容量(p.u.)累积概率可用容量(p.u.)累积概率5.04.03.0

4、2.01.00.0-1.000.060.040.020.010.01-6.05.04.03.02.01.00.01.000.080.060.040.020.010.01表3-6 输电元件可靠性参数支路节点号容量FOR122.00.05132.00.05232.00.05245.00.05355.50.05表中FOR为强迫停运率。根据图3-5所示的流程计算所示系统的可靠性指标。首先，应用蒙特卡洛模拟法抽样系统状态。对每个元件，我们用计算机产生一个随机数，利用此随机数按照3.4.2节的方法确定该设备的状态。表3-7和表3-8给出了某次系统状态选择过程中，对每个元件所生成的随机数及由随机数所确定元件

5、的状态向量。表3-7 根据均匀分布随机数所确定的发电厂出力发电厂随机数发电厂可用容量（p.u.）G10.65025.0G20.13256.0表3-8根据均匀分布随机数所确定的支路状态支路节点号1-21-32-32-43-5随机数0.320.20.460.750.017支路故障率0.050.050.050.050.05支路状态运行运行运行运行故障至此，可得到一个系统的抽样状态。首先对该状态下的网络拓扑进行分析，判断系统是否连通。从图2-6中可以看出，在变压器5（支路3-5）故障后，发电厂G2与系统解列，此时系统的可用容量只有发电厂G1的出力5.0 p.u.。比较系统的出力和负荷，系统总的发电厂出

6、力5.0 p.u.小于系统的总负荷7.3 p.u.，系统的有功功率平衡无法满足，因此系统必须切负荷。此时，该状态对可靠性指标有贡献，系统停电1次，切负荷量为2.3 p.u.。这样我们就完成了对系统的一次抽样。重新进行抽样，可以得到一个新的系统状态。该状态下，发电厂G1和G2的出力均为5.0 p.u.，除支路1-2故障外，其余支路都正常运行。对进行状态评估：1）分析状态下网络的拓扑，判断系统的连通性。从图2-6中可以看出，在输电线路1-2故障后，系统仍然是连通的。2）判断系统的有功功率是否平衡。状态下，系统的有功出力是10.0 p.u.，负荷是7.3 p.u.，所以系统有功出力大于系统负荷。因此

7、，系统的有功功率平衡可以满足。3）判断支路潮流是否满足支路的传输容量约束。这里应用直流潮流模型计算支路潮流。所计算出的发电厂G1和G2的出力分别为5.0 p.u.和2.3 p.u.，支路潮流数据如表3-9所示：表3-9支路的传输功率支路节点号1-32-32-43-5传输功率(p.u.）1.6352.3传输容量(p.u.)2255.5是否满足约束满足不满足满足满足从表3-9中可以看到，支路2-3出现过负荷，需进行发电厂出力调整。4）调整发电厂出力进行系统状态校正。系统状态校正根据3.4.3节中式（3-68）的系统的状态评估模型进行调整。调整后的发电厂G1和G2的出力分别为4.0 p.u.和3.3

8、 p.u.，支路潮流如表3-10所示：表3-10 调整后各支路的功率支路节点号1-32-32-43-5传输功率(p.u.)1.6243.3传输容量(p.u.)2255.5是否满足约束满足满足满足满足由上面的计算可以看出，尽管该抽样状态下，有线路过负荷，但经过发电厂出力的调整，可以消除线路的过负荷，因此，对本抽样状态而言没有负荷被切除。重复以上步骤，对系统进行多次抽样，统计每次计算结果，将系统停电的次数和停电量进行累计，即可得到系统的可靠性指标。根据公式（3-67）可以得到系统切负荷概率(LOLP)。根据公式（3-68）可以得到系统电量不足期望值(EENS)。5节点系统的计算结果如表3-11所示

9、：表3-11 5节点系统的可靠性指标系统的可靠性指标计算结果LOLP0.13345EENS（104kWh/a）30038.478从表中可以看出，系统切负荷概率为0.13345，每年停电量的期望值为30038.478 104kWh，大约占整个系统全年电量的4.7%。系统的可靠性指标偏差，因此应采取加强措施进一步提高系统的可靠性。下面对可靠性指标的收敛速度进行进一步的统计与分析。图3-63-7是可靠性指标EENS的收敛曲线，LOLP有类似的特点，不再赘述。 图3-6 EENS的收敛曲线 图3-7 EENS相对误差的收敛曲线从图3-6可以看出， EENS经过20000次的抽样才会收敛到一个稳定的数值

10、。这从EENS相对误差的收敛曲线中可以更清楚地看出。当抽样次数为20000次时， EENS的相对误差为0.02，因此EENS基本收敛在一个稳定的数值，可以满足电力系统可靠性评估的需要。如果我们进一步的提高计算的精度，减小计算的误差，就需要增加抽样的次数，例如，抽样40000次时，得到的EENS指标的相对误差为0.014。从这儿也可以看出，蒙特卡洛模拟法的计算量与估计精度的平方成反比，在一定的精度下，减少抽样次数的唯一途径就是减小方差。【例3-3】马尔可夫链蒙特卡洛方法，对IEEE-RTS 24节点可靠性试验系统13进行可靠性评估计算。【解】应用Gibbs抽样器共进行55000次抽样，前5000

11、次抽样用于“退火”，消除初始值的影响，后50000次抽样结果作为样本值进行可靠性指标的评估。利用MCMC方法所得到可靠性指标如表3-12所示。表3-13为MCMC方法与其它几种计算方法结果的比较。表3-12 IEEE-RTS 24节点系统的可靠性指标系统的可靠性指标 数值LOLP0.08464EENS/104kWh12785.97336表3-13 不同方法对IEEE-RTS 24节点系统计算结果比较可靠性指标卷积法状态枚举法随机采样MC方法MCMC方法LOLP0.0.0.0.EENS/104kWh12871.66212869.5312978.18612785.97 从表3-13可以看出，MCM

12、C方法与其它几种计算方法的结果非常相近，说明了MCMC方法的有效性。下面根据算例的计算结果分别讨论MCMC方法的收敛速度和稳定性。1） 算法的收敛速度比较图3-8 两种方法的LOLP相对误差收敛曲线图3-8为指标LOLP相对误差的收敛速度示意图。从图3-8中可以计算出同样采样次数下MCMC方法LOLP指标的方差系数约是MC方法的0.35倍，即在抽样次数相同的情况下，使用MCMC方法时，LOLP的收敛速度比使用MC方法提高了近7倍。同时从图3-8还可以看出，MCMC方法采样10000次时，LOLP指标的方差系数已达到0.01。即：使用MCMC方法时，只需要进行10000次的采样就可以获得较精确的

13、计算结果，减少了采样时间，加快了评估速度。【例3-4】 对IEEE-14节点系统进行随机潮流分析计算。其节点和支路的原始数据如表3-14所示。为了突出随机潮流的计算全过程，本例未考虑支路故障的情况。表3-14 节点和支路数据（系统基准值为 100MVA）线路数据节点数据两端节点电阻电抗或节点有功注入功率有功注入功率电压120.019380.059170.013201*2.32401.06130.054030.223040.0132020.18301.04230.046990.197970.010953-0.94201.01240.058110.176320.009354-0.4780.039*

14、250.056950.173880.008505-0.076-0.016340.067010.171030.008656-0. 11201.07450.013350.042110.003207-0.0047*0.000000.209120.978008-0.001.0949*0.000000.556180.969009-0.2950.04656*0.000000.252020.9320010-0.090-0.0586110.094980.198900.0000011-0.035-0.0186120.122910.255810.0000012-0.061-0.0166130.066150.130

15、270.0000013-0.135-0.058780.000000.176150.0000014-0.149-0.050790.000000.110010.000009100.031810.084500.000009140.127110.270380.0000010110.082050.192070.0000012130.220920.199880.0000013140.170930.348020.00000*为变压器支路，最后一列数值为变比*节点1为松弛节点。*“”表示PQ节点，电压未知。反映节点注入功率随机性的数据如下。发电机组的有关数据如表3-15所示。表3-15 发电机组的有关数据 节

16、 点容量（MW）台 数 FOR 出力期望值（MW）12.5100.0823.002220.0940.04负荷有关参数如标-16，3-17所示。节点 9 的负荷为离散分布，其值如表3-16 所示，其余节点的负荷均为正态分布，其期望值和均方差见表3-17。表3-16节点9负荷随机分布有功负荷（MW）13.419.630.234.837.3概率0.100.150.300.250.20无功负荷（MVAR）7.511.017.019.621.0概率0.100.150.300.250.20表 3-17节点负荷随机数据节 点有功负荷 （MW）无功负荷 （MVAR）期 望 值均 方 差 （%）期 望 值均 方

17、 差 （%）10.00.00.00.0221.70.0912.70.092394.200.1019.00.105447.800.11-3.90.09757.600.051.60.05611.200.067.50.06370.00.00.00.080.00.00.00.0109.00.105.80.10113.50.0951.80.095126.10.0761.60.0861313.50.1055.80.0951414.90.0865.00.086【解】根据随机潮流计算流程图3-11，我们可进行如下计算：（1） 用牛顿拉夫逊法计算正常情况潮流：所得正常情况下的节点状态向量和支路潮流如表3-18所

18、示。和将作为随机潮流计算的期望值。雅可比矩阵和灵敏度矩阵也已同时求出，受篇幅所限略去不写。表3-18牛顿拉夫逊法潮流计算结果支路潮流节点电压两端节点（）节点幅值相角121.5694-0.1893-1.52640.291411.060000.00000130.75470.0550-0.72710.030521.04500-4.98429230.73270.0475-0.70950.027331.01000-12.73054240.5614-0.0041-0.54460.035141.01714-10.30872250.41520.0259-0.4062-0.016451.01873-8.7648

19、534-0.23250.04550.2363-0.053761.07000-14.2190045-0.61100.16080.6161-0.151171.06128-13.35621470.2806-0.0983-0.28060.115481.09000-13.35621490.1607-0.0049-0.16070.017991.05571-14.93501560.44110.1210-0.4411-0.0769101.05080-15.094016110.07370.0361-0.0731-0.0349111.05681-14.787886120.07790.0251-0.0772-0.0

20、236121.05517-15.073696130.17760.0724-0.1754-0.0682131.05035-15.15407780.0000-0.17300.00000.1777141.03539-16.03092790.25060.0576-0.2806-0.04969100.52120.0418-0.0520-0.04149140.09420.0358-0.0930-0.03341011-0.0380-0.01660.03810.016912130.01620.0076-0.0161-0.007513140.05650.0178-0.0560-0.0166（2）计算各节点注入功

21、率的半不变量：根据3.3.1介绍的求取随机分布半不变量的方法，我们可以求出发电机节点1、2和离散分布负荷节点9的八阶半不变量，其结果如表3-19所示（表中均为标幺值）。对正态分布的注入功率，其一阶半不变量等于期望值，二阶半不变量为正态分布的方差，三至八阶半不变量为零，例如节点2的有功负荷期望值为0.2174，均方差百分数为0.09，则其各阶半不变量为节点2有功负荷的半不变量与发电机输出功率的各阶半不变量对应相加后显示在表3-19中的第3列。同理开求出其它各节点注入功率的各阶半不变量。表 3-19节点1，2，9的注入功率半不变量阶数节 点 1节 点 2节 点 9有 功无 功10.E+10.E+0

22、-0.E+0-0.E+020.E-10.E-20.E-20.E-23-0.E-2-0.E-20.E-20.E-440.E-20.E-3-0.E-4-0.E-55-0.E-4-0.E-5-0.E-4-0.E-66-0.E-3-0.E-4-0.E-5-0.E-770.E-40.E-50.E-60.E-78-0.E-4-0.E-60.E-60.E-8（3）求节点状态变量的各阶半不变量因为在正常情况潮流计算时已求出灵敏度矩阵，所以根据式（3-104）可以由节点注入功率的八阶半不变量直接求出各节点状态变量的八阶半不变量。表3-20给出了节点电压和相角的期望值和均方差，其中期望值即为一阶半不变量，均方差则

23、为二阶半不变量的开方。表 3-20节点状态变量的期望值和均方差节 点电 压 （p.u）角 度 （。）期望值均方差期望值均方差11.060000.000000.000000.0000021.045000.00000-4.984290.4429831.010000.00000-12.730540.9975741.017140.00202-10.308720.6897951.018730.00164-8.764850.5788361.070000.00000-14.219000.8495271.061280.00286-13.356210.9752781.055710.00000-13.356210

24、.9752791.090000.00519-14.935011.101.050800.00441-15.094011.09751111.056810.00231-14.787880.97113121.055170.00069-15.073690.88307131.050350.00120-15.154070.90842141.035390.00368-16.030921.06123（4）求支路潮流的各阶半不变量当正常情况下雅可比矩阵元素和支路潮流已知时，由式（3-99）不难形成，这是一个稀疏矩阵，然后根据式（3-101）形成矩阵。例如对线路5-6而言，它在中的位置为第19、20行，每行有28个

25、数据，其中前14个对应于有功注入功率，后14个对应于无功注入功率，即支路潮流的八阶半不变量可按式（6-145）由节点注入功率的八阶半不变量求出。相应于线路5-6的八阶半不变量为本例系统各支路潮流的期望值和均方差如表3-21所示。表3-21支路潮流的期望值和均方差支 路有 功 潮 流（MW）无 功 潮 流 MVAR）期 望 值均 方 差（%）期 望 值均 方 差 （%）12156.936613.3943-18.93343.12951575.46824.78715.50200.50542373.27215.75714.75250.56512456.14193.3318-0.40930.656625

26、41.52202.40942.59140.500434-23.25354.46194.55012.065445-61.09464.489816.07911.43914728.06063.5716-9.82910.85844916.07052.0367-0.48910.78955644.11102.663612.10280.55866117.36631.47583.60531.03066127.78900.41552.50890.195361317.75561.23407.23980.6805780.00000.0000-17.30211.67407928.06073.57165.763*92.

27、34319105.21501.56544.17531.00129149.41611.25033.58180.68511011-3.79781.4467-1.65871.008812131.61720.36850.75940.182213145.65401.10011.77510.6725（5）求状态变量的随机分布：下面我们以节点4为例求其电压的概率密度函数。已知节点4电压的八阶半不变量为取离散点步长为0.01，根据Gram-Charlier 级数式（3-106），可得节点4电压的概率密度函数如图3-12实线所示。若节点4的电压上界为1.02，则该电压大于上界的概率为图3-12 节点4 电压概率

28、密度函数在图3-12中，虚线为采用六阶半不变量获得的结果，实线为采用八阶半不变量的计算结果。同上过程还可以的其它节点状态变量以及支路潮流的概率密度分布以及越限概率。【例3-5】求图3-16所示网流图的最小路集和网流可行解。【解】图3-16（a）所示简单电力系统共有5个节点、5条支路、2个电源、3个负荷（，）。有关电气参数见例1-1。图3-16（b）中括弧中的数字为相应支路的容量，为了提高计算效率，所有支路容量都增大10倍取为整数。在图3-16（b）中除原有5条支路外，又增加了与虚拟源点S相联系的两条支路（支路6，7），分别表示发电机组G1和G2。首先由图3-16（b）所示网的关联矩阵求到各负荷

29、点的最小路17，18，共得到10条最小路，如表3-22所示G23.71.623132G1534（a） 简单例系统 (20)(37)5(16)(20)(20)(20)(55)(55)(50)(50)762134ST （b）网络模型图3-16 例系统的网络模型表3-22 最小路集 Tab.1 set of minimal paths 序号包 含 支 路供给负荷11357负荷214632-34642575-1257负荷63577468-2146负荷9-3461057*表中正负号是和规定的支路的正方向相对应的。然后按照图3-15所示流程用隐枚举法根据式（5），式（6）求出可行解集。结果共得到45个可行

30、解，如表3-23所示。由于系统负荷为73，故所有各可行集的最小路输送容量之和均为73。与各可行解相应的支路状态（潮流）如表3所示。该表显示了在给定的发电和输电资源的情况下，能满足向负荷供电的所有可能的运行方式与接线方式，提供了全面的系统运行信息。表中画阴影的支路潮流为零，表示在相应支路停运情况下仍然存在可行解。例如，当支路停运时仍有序号为29，31，32，41，44的可行解能满足输电系统供电要求；当支路停运时仍有可行解6，9，10，16，19等可满足输电系统供电要求；当支路停运时仍有可行解12，18，22，等可满足输电系统供电要求；甚至当支路和同时停运时仍有可行解20可满足输电系统供电要求；当

31、支路和同时停运时仍有可行解45可满足输电系统供电要求。表3-23 网流可行解集Tab.2 Set of feasible solutions序号f1f2f3f4f5f6f7f8f9f10116202413216202413316203614164164303516416433616416343716204267816204339162030710162037111620241031216202413131620201714162043031516204331616203431716204102318162043319162014232016203721164162410322164162413

32、2316416201724164161819251641643326164163727162020143281620201729162024133016201423311620433321620373316416241334164162413351641636136164162410337164162413381641620173916202017401620201741162037421620201074316202017441620201745162037表3-24 网流可行解中各支路的状态Branch states of feasible solutions序号b1b2b3b4b5序号b

33、1b2b3b4b5120433736241421650232204162449254202036373420203637264201632414204105023272041050235204202053282044363761614502329162040337204105023301421650238204162449311620403391614502332161636371016162053332043373611204105023342041624491220440333542020363713420203637362041050231420410502337204403315204

34、202053384202036371616145023392043373617204105023402042020531820440334116173736191614502342204105023201636374320440332120410502344162040332220440334516205323420203637根据不同的接线方式和发电机组的运行方式。可将表3-24简化为表3-25。由表3-24和表3-25可以看出，当支路1、2、3分别停运时，以及支路2和3、支路1和3同时停运时，仍有可行解。这就意味着在这些情况下系统仍能满足用户的供电要求。在所有可行解中，支路4和支路5是不可

35、或缺的。因此可以断定支路4或支路5事故停运必然引起负荷限电或连锁反应故障，这两条支路在维持系统连续供电中显得特别重要；而其余支路1，2，3分别停运时，不致影响供电，故其重要性次于支路4，5。支路3在整个输电系统中对可靠性的贡献最小，因为在支路3停运时，即使支路1或支路2故障，系统仍能维持满足负荷供电。从网架结构的观点来看，支路4，5最重要，支路1，2次之，支路3最不重要。网络各支路的重要程度还可以进一步用量化指标表示，参见第3.6.4节数字例。表3-25 接线方式与网流可行解Feasible solutions for different network configurations 接线方式发电机出力可行解的序号G1G2无停运支路3724365020323649372353411，33，392，8，343，13，23，25，28，35，384，7，11，14，17，21，24，27，30，36，425，15，4020支路1停运40363733373629，31，443241支路2停运502023536，9，16，1910支路3停运 403312，18，22，37，43支路2,3停运36