(专科）ch6统计量与抽样分布教学ppt课件.ppt

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1、(专科）ch6统计量与抽样分布教学ppt课件第6章 统计量与抽样分布PPT模板下载：行业PPT模板：节日PPT模板：素材下载：PPT背景图片：图表下载：优秀PPT下载：教程： Word教程： 教程：资料下载：课件下载：范文下载：试卷下载：教案下载：论坛： 本章目录CONTENTS统计推断的基本概念01样本统计量02抽样分布定理04统计推断中的几个重要分布034引例：小样本的推断戈塞特和学生t分布； 小样本下样本均值的分布不遵循正态分布；戈塞特的做法（数值模拟，模特卡罗方法）；学生t分布：学生“t”的由来，以学生为笔名；戈塞特开创了小样本推断的先河。56.1 统计推断的基本概念为什么要抽样？数理

2、统计中总体的演化；总体分布未知，但是又需要了解总体分布；什么是抽样分布？总体和样本关系：样本和总体同分布；样本可以构造统计量：什么叫统计量？66.1.1 统计推断中的总体和个体统计推断中的总体和个体组成元素组成元素具体对象具体对象组成元素组成元素重复数字重复数字组成元素组成元素数字的取值数字的取值及其概率：及其概率：分布分布研究的标志研究的标志班级的同学的集合（全体同学）组成元素：每位同学（具体对象）同学身高的集合组成元素：身高的数字（重复数字）身高的取值及其概率组成元素：身高的分布例：班级同学的身高例：班级同学的身高数字的取值和数字的取值和重复的频率重复的频率76.1.2 总体和样本的关系总

3、体和样本的关系数理统计中，样本和总体具有相同的分布数理统计中，样本和总体具有相同的分布 取值取值1概率概率0.2取值取值2：概率概率0.4取值取值3：概率概率0.1分布分布总体总体样品样品X1总体的分布：总体的分布：总体中重复数字取各值的概率总体中重复数字取各值的概率 分布总体分布总体 总体各个值的概总体各个值的概率可以认为是有相应比重的个率可以认为是有相应比重的个体取该值。体取该值。 随机样本随机样本 由于每一个体都由于每一个体都有均等被抽中的概率，因而样有均等被抽中的概率，因而样本取总体各个值的概率即样本本取总体各个值的概率即样本分布与总体分布相同。分布与总体分布相同。样品样品X2样品样品

4、Xn。86.1.2 统计推断中样本及性质统计推断中样本及性质样本具有二重性：在抽样实施之前，样本是随机变量；抽样实施后，样本固定。 为区分二者，抽样实施之前称为样本，实施之后称为样本观测值样本与总体具有相同的分布样本点之间相互独立9总体和样本的关系总体和样本的关系数理统计中，样本和总体具有相同的分布数理统计中，样本和总体具有相同的分布 取值取值1概率概率0.2取值取值2：概率概率0.4取值取值3：概率概率0.1分布分布总体总体样品样品X1总体的分布：总体的分布：总体中重复数字取各值的概率总体中重复数字取各值的概率 分布总体分布总体 总体各个值的概总体各个值的概率可以认为是有相应比重的个率可以认

5、为是有相应比重的个体取该值。体取该值。 随机样本随机样本 由于每一个体都由于每一个体都有均等被抽中的概率，因而样有均等被抽中的概率，因而样本取总体各个值的概率即样本本取总体各个值的概率即样本分布与总体分布相同。分布与总体分布相同。样品样品X2样品样品Xn。1012,nXXX212( ,)nf x xx ；22()2112ixnie22()2221(2),ixnnexx 解：因为样本是简单随机样本，各样本点独立同正态分布。则样本的联合密度函数应该等于各样本点的密度函数之积，即.12,nX XX),(2N2, 例例6-1 设是来自正态总体的随机样本，其中是未知参数，求样本的联合密度函数。*6.1.

6、3 样本联合分布样本联合分布11X(1, )XBp1(,)nXX1(,)nXX例例6-2 设总体服从贝努利分布，即，为该总体的样本，试求样本的联合分布。12(1, )XBpX1( ; )(1)(0,1)xxf x pppx11(,; )( ; )nniiL xxpf x p11(1)iinxxipp11(1)nniiiixnxpp(0,1;1,2, )ixin解：因为，所以的概率分布可以表示为：则样本的联合密度函数为： 13总体参数未知总体其他信息未知总体分布未知抽样得到随机样本抽样得到随机样本利用统计量推断总体信息利用统计量推断总体信息样本统计量样本统计量T=T(X1,X2,Xn)两个要点：

7、两个要点：1、是样本的函数、是样本的函数2、不含未知的总体参数、不含未知的总体参数.抽样分布就是样本统计量的分布！抽样分布就是样本统计量的分布！样本样本X1,X2,Xn 样本统计量的概念样本统计量的概念6.2 样本统计量14判断下列是否为统计量判断下列是否为统计量1,nXX21()niiTX2211()1niiSXXn0XZ2121142nniiXXXbbacXXnna (1)( ),nXX12XX0.5m156.2.2 样本统计量的抽样分布样本统计量的抽样分布统计量的分布称为抽样分布；必须要知道其抽样分布才能在统计推断利用概率论对总体的特征进行推断，并得到推断的概率P值；一项重要的工作就是寻

8、找统计量和导出统计量的抽样分布或渐近抽样分布。16例例6.3 总体X服从两点分布，概率分布列如下所示：(1)P Xp(0)1P Xpq 1niiTX从总体中抽样容量为n的样本，构造统计量求此统计量的抽样分布。17iXTn()kkn knP TkC p q0,1,2,.,kn解：由于样本是独立的，服从两点分布，统计量为随机变量，其取值是0到从上面的例子中，可以看出总体的分布未必是抽样分布。之间的所有整数，其分布恰好是二项分布，其分布律为：18(1,1)XNn11TX212TXX311niiTXXn例例6.4 总体抽取容量为求此三个统计量的抽样分布。构造如下三个统计量：的样本，19iX11( )(

9、)1E TE X11( )()1D TD X212()()()2E TE XE X212()()()2D TD XD X3()()1E TE X31()()D TD Xn1T2T3T1/n解：由于样本是独立的，服从均值和方差都为1的正态分布，三个统计量都是样本的线性函数，由正态分布的性质，三个统计量仍热服从正态分布，下面分别求其均值和方差：，服从均值和方差都为1的正态分布，这和总体的分布相同服从均值和方差都为2的正态分布服从均值为1，方差为的正态分布。20样本均值方差样本均值方差分位数统计量分位数统计量顺序统计量顺序统计量样本矩样本矩6.2.3 常用统计量21*6.2.4 顺序统计量的分布最小

10、顺序统计量的分布；最小顺序统计量的分布；最大顺序统计量的分布；最大顺序统计量的分布；一般顺序统计量的分布。一般顺序统计量的分布。222226.3.1分布1,nXX2221nXX22( )n6.3 统计推断中的几个重要抽样分布分布的定义 为独立同分布于标准总体总体N(0,1)的随机变量列，则称随机变量：所服从的分布为自由度是n的 分布，记为23随机变量服从标准正态分布独立同分布的随机变量序列构造原则：原随机变量平方和分布的三个要点：2241222221211,nnijijXY12,1,2,1,2,ijX Y injn1222222121211()nnijijXYnn分布的性质：222221122

11、(),(),nn2221212()nn1、且2212，独立，则：说明：设2212，独立，则：独立，由卡方分布的定义2522,2En Dn2(0,1), 0,1, 1iiiiXNEXDXEX2422()3 12,1,2,iiiDXEXEXin 22211().nniiiiEEXEXn22211()2 .nniiiiDDXDXn分布的性质：2证：所以：2、262(n)分布实质上就是参数为n/2,1/2的分布，即2(n)的密度函数为/211222( /2),0( )0,0nnxnxexf xx27例例: :设 为来自正态总体N(0,1)的样本，则称统计量：22221( )nXXn2( ,)N 1(,

12、)nXX22221( )nXXn说明：因为样本来自标准正态总体，所以是独立同分布于标准正态总体，满足第1、2两个条件，同时注意到统计量的构造为平方和形式，满足第3个条件，共是n个样本的平方和，故问问: :设 为来自正态总体 的样本，构造服从卡方分布的随机变量：1(,)nXX2822(01)( )Pn对于给定的，称满足条件：22( )( )nn的点为分布的上 分位点(1-分位点)2221( )(21)2nnznz当 充分大时，是标准正态分布的上 分位点。2916,XX(0,2)N222123456()()aXb XXc XXX2例例6-6 设是独立同服从分布的随机变量，求a，b和c使服从分布。3

13、016,XX(0,2)N解：因为独立同分布，所以1(0,2)XN1(0,1)2XN2211(1)2X，则且23(0,4)XXN23(0,1)2XXN22231() (1)4XX，且456(0,6)XXXN456(0,1)6XXXN224561() (1)6XXX，且。22222123456111()() (3)246XXXXXX12a 14b 16c 由于分布的可加性，则，自由度为3。且，和。31 t t 分布分布2(0,1),( ),. .T/ ( ).XXNYnX Yr vY nntTt n独立，则称所服从的分布为自由度是 的分布，记作32分子是标准正态随机变量分母是自由度为n的卡方随机变

14、量分子分母相互独立满足构造公式t 分布的三个要点：33t分布的图像基本性质: (1) (1) f(t)f(t)关于t t=0=0(纵轴)对称。 (2) (2) f(t)f(t)的极限为N(0N(0，1)1)的密度函数34(01)( )P ttn对于给定的，称满足条件：( )tnt的点为 分的上布分位点 。1( )( )tntn 由概率密度的对称性知：45( ).ntnz当时，( )tn1( )tn35t t分布的性质分布的性质122(1) ( )1()2 ( , )(1) ( )2(2) E(t)2 E(t) (3) lim ( , )(0,1) nnt nnxt x nxRnnntnnt x

15、 nN分布的密度函数为分布的密度是偶函数， =1,不存在，当，=03616,XX(0,2)N12222223456XcXXXXX(5)t例6-7 设是独立同服从分布的随机变量，如果随机变量服从自由度为5的，求c等于多少。3716,XX(0,2)N1(0,2)XN1(0,1)2XZN解：因为独立同服从分布，所以，则。222222235624(5)22222XXXXXZ2又因为而与相互独立，则由t分布的构造，有122222234562/522222XtXXXXX212222223456/5XXXXXX2122222234565XXXXXX5C 所以。386.3.3 6.3.3 F F 分布分布22

16、1122121212/(),(),. . F/( ,)( ,). XnXnYnX Yr vY nn nFFF n nnn独立，称所服从的分布为自由度是的分布记作称为第一自由度, 为第二自由度39分子是自由度为n1的卡方随机变量分母是自由度为n2的卡方随机变量分子分母相互独立满足构造公式F分布的三个要点：401221 ( ,),1/( , ).FF n nFF n n若则),(/1),(12211nnFnnF结论：12(01)( ,)P FFn n对于给定的，称满足条件：12( ,)Fn nF的点为 分的上布分位点12( ,)F n n410.95(15,20)F例例6-8 给定显著水平，查的上

17、侧分位点。420.95F0.950.05(20,15)2.328F解：对于给定的，因为分布并未给出的上侧分位点。则要根据F分布的性质，首先查，然后根据公式112211( ,)(,)Fn nF n n0.951(15,20)0.42962.328F计算对于下侧分位数， 即。436.4 抽样分布定理2211()1niiSXXn一个总体的统计量的分布一个总体的统计量的分布11,niiXXn设总体X有E(X)=，D(X)=* ，X1， ，Xn 为来自总体X的一个容量为n的样本，则222(),(),.E XD XESn6.4.1 单正态总体样本统计量的抽样分布44定理定理6-1：总体 ，X1， ，Xn

18、为来自总体X的一个容量为n的样本，则2(1)( ,)XNn(2)(0,1)/XNn2( ,)XN 45222211(1)() = niinSYXX定理定理6-1：总体XN(，2)，X1Xn 为来自总体X的一个容量为n的样本，记222(1)( -1) nSn则：并且与样本均值相互独立并且与样本均值相互独立462( ,)N 25122)(241iiXXS2例例6-9 在正态总体中抽出一个容量为25的样本， 为样本修正方差，这里和均为未知。求 22(0.5771.5173)SP2()D S2.3(| 1)0.9PX（1）；（3）当时，若要求，那么样本容量至少要多大？ （2）；472( ,)N 25n

19、 222222(1)(25 1)(24)nSS22(0.5771.5173)SP2(0.577 24(24)1.5173 24)P2(13.848(24)36.415)P2(13.848(24)36.415)P22(24)13.848)(24)36.415)PP0.950.050.902解：（1）因为样本来自于总体，样本容量，所以则 (查分布表得出)4822224(24)S2(24)48D222224()()24SD SD444222(24)48122424D（2）因为，所以而 2( ,)XNn2.3(| 1)P X1(|)2.3/2.3/XPnn2(/2.3) 1n 2(/2.3) 10.9

20、n (/2.3)0.95n/2.31.96n20.32n (| 1)0.9PX（3）因为，所以当时，有 根据题意，有，则，故，则，则至少取容量为21的样本才能满足的要求。49 (1)/Xt nSn定理定理6-2：设总体XN(，2)，X1， ，Xn 为来自总体X的一个容量为n的样本，则502(1) (,)(2) (0,1) /XNnXNSn设X1， ，Xn 为来自任意总体X的一个容量为n的样本，若E(X)=，D(X)=20存在，当n较大时，近似地有51X2( ,)N 11,nnXXX11niiXXn2211()1niiSXXn11nnXXnnS例例6-10设总体 服从正态分布，是来自总体的一个样

21、本，记和，试求的分布。5211,nnXXX2( ,)N 21( ,)nXN 2( ,)nXNn1nXnX211(0,)nnnXXNn12(0,1)1nnXXZNnn222(1)(1)nSYnZY2122(1)(1)/(1)1nnXXZntnSYnnn1 (1)1nnXXnt nnS解：由于来自总体的简单随机样本，则分别有和，且和相互独立，则，且由定理6-1，而且根据定理6-1的结论有和相互独立， 所以5312121112222212111211 11()()11nniiiinniiiiXXYYnnSXXSYYnn 22112222121212(,), (,) (,)XNYNXYNnn设 则6.

22、4.2 两独立总体样本统计量的抽样分布5422121212(,)XYNnn定理定理6-3：设两独立总体XN(1，12)， YN(2，22) ，则统计量12221212()(0,1)XYNnn从而有：5512121222112212( )() (2) 11(1)(1) 2wwXYTt nnSnnnSnSSnn 定理定理6-3：设两独立且等方差总体XN(1，2)， YN(2，2) ，则统计量其中562211122222/ (1,1) /SF nnS定理定理6-4：设两独立且等方差总体XN(1，2)， YN(2，2) ，则统计量57本章小结01 总体可抽象为所感兴趣的变量及其取值的分布，通过观测或试验的方法，随机抽取的总体中一部分个体的取值，称为样本，样本中每个个体的取值称为样本点。02 统计量是样本 的函数且不含任未知参数。在统计推断问题中，经常需要利用取自总体的样本构造出合适的统计量，并使其服从或渐进地服从已知的分布，统计量的分布称为抽样分布。常用的统计量有样本均值和样本方差等。03 在正态分布假定下三种常用的分布 分布、t分布和F分布。本章介绍了三种分布的定义、构造原理和重要性质。以及相应分位数的含义和计算方法。04 本章介绍了抽样分布理论中的几个重要定理。这些定理对正态总体的均值、方差等参数进行统计推断的重要理论基础。1(,)nXX2