(专科）第二章 连续系统的时域分析教学ppt课件.ppt

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1、( (专科）第二章专科）第二章 连续系统的时域分析教连续系统的时域分析教学学pptppt课件课件l 微分方程的经典解微分方程的经典解l 关于关于0-0-和和0+0+初始值初始值l 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析 LTI LTI连续系统的时域分析，归结为：连续系统的时域分析，归结为： 建立并求解线性微分方程建立并求解线性微分方程 由于在其分析过程涉及的函数变量均为由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间时间t，故，故称为称为时域分析法时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，。这种方法比较直

2、观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。是学习各种变换域分析法的基础。 一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)微分方程的经典解：微分方程的经典解：完全解完全解 = = 齐次解齐次解 + 特解。特解。 1. 齐次解齐次解由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解形式写出齐次解形式nitihiCty1e)(注意重根情况处理方法。注意重根情况处理方法。举例举例齐次解举例齐次解举例 的

3、齐次解。的齐次解。求微分方程求微分方程tftytyttyttyt12dd16dd7dd2233解：解：系统的特征方程为系统的特征方程为01216723 03223 , 221重根 tthCCtCty33221ee特征根特征根对应的齐次解为对应的齐次解为2. 特解特解的特征根）重为有0)(0111rPtPtPtPtmmmmr等于特征单根）（()e01tPtP 根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式解函数式代入原方程代入原方程，比较系数定出特解。，比较系数定出特解。激励激励f(t)响应响应y(t)的特解的特解yp(t)(常数F)(常数Pmt

4、）特征根均不为 0(0111PtPtPtPmmmmt e不等于特征根）(etPtcostsin)j(sincos21特征根不等于tPtP重特征根）等于（rPtPtPtrrrr()e011举例举例特解举例特解举例如果已知：如果已知： 分别求两种情况下此分别求两种情况下此方程的特解。方程的特解。 tfttftyttyttydd3dd2dd22 ,e 2 ; 12ttfttf例：例：给定微分方程式给定微分方程式 0122pPtPtPty解解: (1)由于由于f(t)=t2，故特解函数式为故特解函数式为 将此式代入方程得到将此式代入方程得到 ttPPPtPPtP2322 34320121222这里，这

5、里，P2， P1， P0，等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有032223413012122PPPPPP联解得到联解得到2710 ,92 ,31012PPP所以，特解为所以，特解为 271092312pttty(2)(2)当当f(t)= et 时时 特解为特解为yp(t)=P et ，这里，这里，P是待定系数。是待定系数。 代入方程后有：代入方程后有：tttttPPPeee3e2e31P。于是，特解为于是，特解为te31 3. 全解全解完全解完全解 = = 齐次解齐次解 + + 特解特解由由初始值初始值定出齐次解中的待定常数定出齐次解中的待定常数Ci。举

6、例举例 齐次解齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的的函数形式无关，称为系统的固有响应固有响应或或自由响应自由响应； 特解特解的函数形式由激励确定，称为的函数形式由激励确定，称为强迫响应强迫响应。全解举例全解举例例例 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)求（求（1）当）当f(t) = 2e-t，t0；y(0)=2，y(0)= -1时的全解；时的全解； （2）当）当f(t) = e-2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0时的全解。时的全解。 解

7、解: (1) 特征方程为特征方程为2 + 5+ 6 = 0 其特征根其特征根1= 2，2= 3。齐次解齐次解为为 yh(t) = C1e 2t + C2e 3t当当f(t) = 2e t时，其特解可设为时，其特解可设为 yp(t) = Pe t将其代入微分方程得将其代入微分方程得 Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 解得解得 P=1于是于是特解特解为为 yp(t) = e t全解全解为：为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t其中其中 待定常数待定常数C1,C2由初始条件确定。由初始条件确定。 y(0) = C1+

8、C2+ 1 = 2，y(0) = 2C1 3C2 1= 1 解得解得 C1 = 3 ，C2 = 2 最后得全解最后得全解 y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0 （2）齐次解齐次解同上。当激励同上。当激励f(t)=e2t时，其指数与特征根时，其指数与特征根之一相重。故其之一相重。故其特解特解为为 yp(t) = (P1t + P0)e2t 代入微分方程可得代入微分方程可得 P1e-2t = e2t 所以所以 P1= 1 但但P0不能求得。不能求得。特解为特解为 yp(t) = (t + P0)e2t 全解全解全解全解为为 y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t

9、 + P0e2t = (C1+P0)e2t +C2e3t + te2t将初始条件代入，得将初始条件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0解得解得 C1 + P0 = 2 ,C2= 1 最后得微分方程的全解为最后得微分方程的全解为 y(t) = 2e2t e3t + te2t , t0上式第一项的系数上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分，不能区分C1和和P0，因而，因而也不能区分自由响应和强迫响应。也不能区分自由响应和强迫响应。 二二关于关于0-和和0+初始值初始值 若输入若输入f(t)是在是在t=0时接入系统，则确定待定系数时

10、接入系统，则确定待定系数Ci时时用用t = 0+时刻的时刻的初始值初始值，即，即y(j)(0+) (j=0,1,2，n- -1)。 而而y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。历史信息。 在在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映了反映了系系统的历史情况统的历史情况而与激励无关。称这些值为而与激励无关。称这些值为初始状态初始状态或或起起始值始值。 通常，需要从已知的初始状态通常，需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得设法求得y(j)(0+)。例例1 1例例2 2当微分方程右端含有冲

11、激函数时，响应当微分方程右端含有冲激函数时，响应y(t)及其各阶导及其各阶导数中，有些在数中，有些在t=0处将发生跃变。否则不会跃变处将发生跃变。否则不会跃变。 0-和和0+初始值初始值举例举例1例例1：描述某系统的微分方程为：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知已知y(0-)=2，y(0-)= 0，f(t)=(t)，求，求y(0+)和和y(0+)。 解解：将输入：将输入f(t)=(t)代入上述微分方程得代入上述微分方程得 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6(t) （1）利用系数匹配法利用系数匹配法

12、分析：上式对于分析：上式对于t=0-也成立，在也成立，在0-t 0 （2）零状态响应）零状态响应yzs(t) 满足满足 yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 2(t) + 6(t) 并有并有 yzs(0-) = yzs(0-) = 0由于上式等号右端含有由于上式等号右端含有(t)，故，故yzs”(t)含有含有(t)，从而，从而yzs(t)跃变，即跃变，即yzs(0+)yzs(0-)，而，而yzs(t)在在t = 0连续，即连续，即yzs(0+) = yzs(0-) = 0，积分得，积分得yzs(0+)- yzs(0-)+ 3yzs(0+)- yzs(0-)+2 0000d

13、)(62d)(ttttyzs因此，因此，yzs(0+)= 2 + yzs(0-)=2 对对t0时，有时，有 yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 6不难求得其齐次解为不难求得其齐次解为Czs1e-t + Czs2e-2t，其特解为常数，其特解为常数3，于是有于是有 yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e-2t + 3代入初始值求得代入初始值求得 yzs(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0 四四. 微分方程的求解微分方程的求解MATLAB提供提供 lsim 函数，可以从给定的微分方程直接计算函数，可以从给定的微分方程直接计算系统的响应，其调用格式为：系统的

14、响应，其调用格式为：y=lsim(sys, f, t)式中，式中，t表示取值范围表示取值范围；f是系统输入信号是系统输入信号，sys是是LTI系统模系统模型型,可以用来表示微分方程、差分方程和状态方程。可以用来表示微分方程、差分方程和状态方程。在求解微分方程时，微分方程的在求解微分方程时，微分方程的LTI系统模型系统模型sys要借助要借助tf函函数获得，其调用方式为：数获得，其调用方式为：sys=tf(b,a)式中，式中，b和和a分别为微分方程的分别为微分方程的右端和左端右端和左端各项的系数。各项的系数。解：解： a = 1,5,6; % 方程左端各项系数方程左端各项系数b=1; % 方程右端

15、各项系数方程右端各项系数t = 0:0.08:10;% 确定确定t的取值范围的取值范围e = exp(-t); % 输入激励信号输入激励信号sys=tf(b,a); % 构造系统模构造系统模 lsim(sys,e,t); % 画出激励和响应的波形画出激励和响应的波形四四. 微分方程的求解微分方程的求解2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 冲激响应冲激响应 阶跃响应阶跃响应一、冲激响应一、冲激响应1定义 0T t th 由单位冲激函数由单位冲激函数(t)所引起的所引起的零状态响应零状态响应称为称为单位冲单位冲激响应激响应，简称，简称冲激响应冲激响应，记为，记为h(t)。 h(t)=T0,

16、(t) 2系统冲激响应的求解冲激响应的数学模型响应及其各响应及其各阶导数阶导数(最最高阶为高阶为n次次)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d0111101111tfbttfbttfbttfbtyattyattyattymmmmmmnnnnn对于对于LTILTI系统系统, ,可以用一可以用一n阶微分方程阶微分方程表示表示 )()()()()()()()(0111101111tbtbtbtbthathathathmmmmnnn激励及其各激励及其各阶导数阶导数(最最高阶为高阶为m次次)令令 f(t)= (t) 则则 y(t)=h(t) h(t)解答的形式例例: :当特征根均为单根时

17、当特征根均为单根时)(e)(1tCthnitii 由于由于 ( (t t) )及其导数在及其导数在 t0+ 时都为零，因而方程式右端时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解冲激响应形式与齐次解的形式相同。的形式相同。 及其各阶导数。及其各阶导数。应包含应包含时，时，当当；中应包含中应包含时，时，当当及其各阶导数；及其各阶导数；不含不含时，时，当当tthmntthmntthmn 与与n, m相对大小有关相对大小有关 与特征根有关与特征根有关举例举例冲激响应求解冲激响应求解举例举例解：解：)(2d)(d)(3d)(d4d)(d22tt

18、tthtthtth 求特征根求特征根3, 1034212冲激响应冲激响应)()ee()(321tCCthtt求系统求系统 的冲激响应。的冲激响应。 )(2d)(d)(3d)(d4d)(d22tfttftyttyttymnmn , 1, 2 中不包含冲激项中不包含冲激项th将将f f( (t t) ) ( (t t) )，y y( (t t) )h h( (t t) )带带( (t t) )两种求待定系数方法：两种求待定系数方法： 求求0 0+ +法法 奇异函数项相平衡法奇异函数项相平衡法法一：求0+值确定系数 trthtrtatthtrtbtatth32122dddd 设 20,10 hh代入

19、代入h h( (t t) )，确定系数，确定系数C C1 1, ,C C2 2，得，得)()e(e21)(3tthtt法二：用奇异函数项相平衡法求待定系数)(ee)(321tCCthtt)(e3e)()(e3e)(ee)( 32121321321tCCtCCtCCtCCthtttttt tCCtCCtCCthtt e9e33212121 )(),(),(代入原方程代入原方程将将ththth )(2)()(0)(3)(2121ttttCCtCC2121231212121CCCCCC)( ee21)(3tthtt根据系数平衡，得根据系数平衡，得解法三：线性时不变性质法)(ee)(3211tCCth

20、tt解：解：求系统求系统 的冲激响应。的冲激响应。 )(2d)(d)(3d)(d4d)(d22tfttftyttytty设设h h1 1( (t t) )满足简单方程满足简单方程)()(3d)(d4d)(d11212tthtthtth00 1011hh)(ee213ttt将边界条件代入将边界条件代入h h1 1( (t t) )式，解得式，解得 C C1 1=1/2=1/2， C C2 2= =- -1/21/2，)(2d)(d)(11thtthth则由系统的线性时不变特性则由系统的线性时不变特性)(ee21)(31tthtt冲激响应求解冲激响应求解举例举例2 2 例例2 描述某系统的微分方程

21、为描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t)求其冲激响应求其冲激响应h(t)。 解解 根据根据h(t)的定义的定义 有有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) (1) h(0-) = h(0-) = 0 先求先求h(0+)和和h(0+)。由方程可知，由方程可知， h(t) 中含中含(t)故令故令 h”(t) = a”(t) + b(t) + c(t)+ r1(t) h(t) = a(t) + b(t) + r2(t) h(t) = a(t) + r3(t) ri(t) 为不含为不含(t) 的

22、某函数的某函数代入式代入式(1)，有，有a”(t) + b(t)+ c(t) + r1(t) + 5a(t) + b(t) + r2(t) + 6a(t) + r3(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t)整理得整理得a”(t)+ (b+5a)(t)+(c +5b+6a)(t) + r1(t)+5 r2(t)+6 r3(t) = ”(t) + 2(t) + 3(t) 利用利用(t) 系数匹配，得系数匹配，得 a =1 ，b = - 3，c = 12所以所以 h(t) = (t) + r3(t) （2） h(t) = (t) - 3(t) + p2(t) （3） h”(t) = ”(t) - 3

23、 (t) + 12(t)+ r1(t) （4）对式对式(3)从从0-到到0+积分得积分得 h(0+) h(0-) = 3对式对式(4)从从0-到到0+积分得积分得 h(0+) h(0-) =12故故 h(0+) = 3， h(0+) =12微分方程的特征根为微分方程的特征根为 2， 3。故系统的冲激响应为。故系统的冲激响应为 h(t)= C1e2t + C2e3t ， t0代入初始条件代入初始条件 h(0+) = 3， h(0+) =12求得求得C1=3，C2= 6, 所以所以 h(t)= 3e2t 6e3t , t 0结合式结合式(2)得得 h(t)= (t) + (3e2t 6e3t)(t

24、)对对t0时，有时，有 h”(t) + 6h(t) + 5h(t) = 03. 基本单元的冲激响应 af (t)af (t)(a) 数乘器h(t) = a(t)Tf (t)f (t -T)(b) 延时器h(t) =(t-T)f (t)(c) 微分器h(t) =(t)tddttfd)(dtxxfd)(f (t)(d) 微分器h(t) =(t)二阶跃响应g(t)= T (t) ，0tt0,对因果系统：积分，注意积分限：阶跃响应是冲激响应的线性时不变系统满足线性时不变系统满足微、积分微、积分特性特性ttttd)()(ttgthhtgtd)(d)(,d)()(三. 冲激响应和阶跃响应的求解解：解： a

25、=7 4 6; % 微分方程左边各项系数微分方程左边各项系数b=1 1; % 微分方程右边各项系数微分方程右边各项系数subplot(2,1,1)impulse(b,a); % 计算冲激响应计算冲激响应subplot(2,1,2) step(b,a); % 计算阶跃响应计算阶跃响应三三. . 冲激响应和阶跃响应的求解冲激响应和阶跃响应的求解2.3 卷积积分卷积积分 信号的时域分解信号的时域分解与与卷积积分卷积积分 卷积的图解法卷积的图解法一、信号的时域分解与卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分1信号的时域分解信号的时域分解 预备知识预备知识p(t)1t022(a)f1(t)At022(b)问问

26、 f1(t) = ? p(t)直观看出直观看出)(A)(1tptf任意信号分解任意信号分解22f(t)t023-1 0 1 2)(tff(0)(f)( f“0”号脉冲高度号脉冲高度f(0) ,宽度为，宽度为，用用p(t)表示为：表示为：f(0) p(t)“1”号脉冲高度号脉冲高度f() ,宽度为宽度为，用，用p(t - - )表示为：表示为： f() p(t - - )“- -1”号脉冲高度号脉冲高度f(- -) 、宽度为，用、宽度为，用p(t + +)表示为：表示为： f ( - - ) p(t + + )nntpnftf)()()(d)()()()(lim0tftftf2 .任意信号作用下

27、的零状态响应任意信号作用下的零状态响应LTI系统LTI系统零状态零状态yzs(t)f (t)根据根据h(t)的定义：的定义：(t) h(t) 由时不变性：由时不变性：(t - -)h(t - -)f ()(t - -)由齐次性：由齐次性：f () h(t - -)由叠加性：由叠加性：d)()(tfd)()(thff (t)yzs(t)d)()()(thftyzs卷积积分卷积积分3 .卷积积分的定义卷积积分的定义 已知定义在区间（已知定义在区间（ ，）上的两个函数）上的两个函数f1(t)和和f2(t)，则定义积分，则定义积分 dtfftf)()()(21为为f1(t)与与f2(t)的的卷积积分卷

28、积积分，简称，简称卷积卷积；记为；记为 f(t)= f1(t)*f2(t)注意注意：积分是在虚设的变量：积分是在虚设的变量下进行的，下进行的，为积分变量，为积分变量，t为参变量。结果仍为为参变量。结果仍为t 的函数。的函数。 )(*)(d)()()(thtfthftyzs例例用定义计算卷积用定义计算卷积举例举例例：例：f (t) = e t,（-t)，h(t) = (6e-2t 1)(t)，求求yzs(t)。解：解： yzs(t) = f (t) * h(t)d)( 1e6e)(2tt当当t t时，时，(t -) = 0ttttzstyd)eee6(d 1e6e)(32)(2ttttttttt

29、teeee2ee2eded)e6(e323232二、卷积的图解法二、卷积的图解法dtfftftf)()()(*)(2121卷积过程可分解为卷积过程可分解为四步四步：（1）换元换元： t换为换为得得 f1()， f2()（2）反转平移反转平移：由：由f2()反转反转 f2()右移右移t f2(t-)（3）乘积乘积： f1() f2(t-) （4）积分积分： 从从 到到对乘积项积分。对乘积项积分。注意：注意：t为参变量。为参变量。例例h()f (t - )2013图解法计算卷积图解法计算卷积举例举例例例 f (t) ,h(t) 如图所示，求如图所示，求yzs(t)= h(t) * f (t) 。解

30、解 采用图形卷积采用图形卷积 。 f ( t -)f ()反折反折f (-)平移平移t t 0时时 , f ( t -)向左移向左移f ( t -) h() = 0，故故 yzs(t) = 0 0t 1 时时, f ( t -)向右移向右移2041d21)(ttytzs 1t 2时时4121d21)(1ttyttzs 3t 时时f ( t -) h() = 0，故故 yzs(t) = 0f ( t )t0211th ( t )22h(t)函数形式复杂函数形式复杂 换元为换元为h()。 f (t)换元换元 f ()f (- )f (t - )t-1 tt-1 ttyzs(t )20134143t

31、 2t 3 时时432141d21)(221tttytzs0求某一时刻卷积值求某一时刻卷积值图解法图解法一般比较繁琐，一般比较繁琐，确确定积分的上下限是关键。定积分的上下限是关键。但若只求某一时刻卷积值但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。时还是比较方便的。例例：f1(t)、 f2(t)如图所示，已知如图所示，已知f(t) = f2(t)* f1(t)，求，求f(2) =？tf 2( t )-1131-1f 1( t )t2-22f1(- -)f1(2- -)f 1(2- -) f2( )22-2解解：d)2()()2(12fff（1）换元）换元（2） f1()得得f1()（3） f1()右

32、移右移2得得f1(2)（4） f1(2)乘乘f2()（5）积分，得）积分，得f(2) = 0（面积为（面积为0）2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质 卷积代数运算卷积代数运算 与冲激函数或阶跃函数的卷积与冲激函数或阶跃函数的卷积 微分积分性质微分积分性质 卷积的时移特性卷积的时移特性 相关函数相关函数 卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。一、卷积一、卷积代数运算1交换律2分配律3结合律)()()()(1221tftftftf )()()()()()()(3

33、121321tftftftftftftf )()()()()()(2121tftftftftftf 系统并联运算系统并联运算系统级联运算系统级联运算证明证明证明交换律证明交换律 tftf21 d)()(21 tff d)()(12 tff，令令 t dd: ，则则卷积结果与交换两函数的次序无关。卷积结果与交换两函数的次序无关。一般选比较简单函数进行反转和平移。一般选比较简单函数进行反转和平移。 tftf21 tftf12 二、与冲激函数或阶跃函数的卷积1. f(t)*(t)=(t)*f(t) = f(t) 证：证：)(d)()()(*)(tftftftf(t)*(t t0) = f(t t0)

34、2. f(t)*(t) = f(t) 证：证：)( d)()( )(*)( tftftftf(t)*(n)(t) = f (n)(t)3. f(t)*(t)tftfd)(d)()(t) *(t) = t(t)三、卷积的微积分性质三、卷积的微积分性质1.nnnnnnttftftfttftftftd)(d*)()(*d)(d)(*)(dd212121证：上式证：上式= (n)(t) *f1(t)* f2(t) = (n)(t) *f1(t) * f2(t) = f1(n)(t) * f2(t) 2.d)(*)()(*d)(d)(*)(212121tttftftffff证：上式证：上式=(t) *f

35、1(t)* f2(t) = (t) *f1(t) * f2(t) = f1(1)(t) * f2(t) 3. 在在f1( ) = 0或或f2(1)() = 0的前提下的前提下， f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) 例例卷积性质例卷积性质例)()(thtf 例例：f1(t) 如图如图, f2(t) = et(t)，求，求f1(t)* f2(t) )()e1 ()(e)(ded)(e)(00)1(2ttttfttttf 1(t)t201解：解： f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t)f1(t) = (t) (t 2) f1(t)* f2(t)=(1-

36、 et)(t) 1- e(t-2)(t-2) 注意注意：当：当 f1(t)=1 ， f2(t) = et(t)，套用套用 f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) = 0* f2(1)(t) = 0 显然是错误的显然是错误的。四、卷积的时移特性四、卷积的时移特性若若 f(t) = f1(t)* f2(t)，则则 f1(t t1)* f2(t t2) = f1(t t1 t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t t1 t2) = f(t t1 t2) 例例求卷积是本章的重点与难点。求卷积是本章的重点与难点。求解求解卷积的方法卷积的方法可归纳为：可归纳为：（1）利用定义

37、式，直接进行积分利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。（2）图解法图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。特别适用于求某时刻点上的卷积值。（3）利用性质利用性质。比较灵活。比较灵活。三者常常结合起来使用。三者常常结合起来使用。卷积性质例卷积性质例)()(thtf 例：例：f1(t), f2(t)如图，求如图，求f1(t)* f2(t) t11-1f 1(t)t102f 2(t)0解解： f1(t) = 2 (t) 2 (t 1) f2(t) = (t+1) (t 1) f1(t)* f2(t)

38、 = 2 (t)* (t+1) 2 (t)* (t 1) 2 (t 1)* (t+1) +2 (t 1)* (t 1) 由于由于 (t)* (t) = t (t) 据时移特性，有据时移特性，有f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) (t+1) - 2 (t 1) (t 1) 2 t (t) +2 (t 2) (t 2)1. 1. 系统级联系统级联)()()()()()(2121ththtfththtf )()(21ththth 系统级联，框图表示：系统级联，框图表示： )(tf)(1th)(2th)(ty)()(1thtf )()()(21ththtf )(ty)(tf)(th结论结论：

39、子系统级联时，总的冲激响应等于子系统：子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。冲激响应的卷积。 五、复合系统的响应五、复合系统的响应2. 2. 系统并联系统并联 ththth21 系统并联，框图表示：系统并联，框图表示： )(ty)(tf)(th)(ty)(tf)(tf)(tf)(th)(1th)(2th)()(1thtf )()(2thtf )()()()()()(21thtfthtfthtf结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于各子系统冲激响应之和。各子系统冲激响应之和。复合系统的响应例复合系统的响应例图图(a)系统由三个子系统构成，已

40、知各子系统的冲激系统由三个子系统构成，已知各子系统的冲激响应响应 如图如图(b)所示。求复合系统的冲激响所示。求复合系统的冲激响应应 ，并画出它的波形。，并画出它的波形。 thth21, tht th1O11t th2O112t thO1123(a)(b)解：解： thththth211 如图（如图（c）所示）所示 th1 th1 th2 tf ty(c)六、相关函数六、相关函数 相关函数是鉴别信号的有力工具，被广泛应相关函数是鉴别信号的有力工具，被广泛应用于雷达回波的识别，通信同步信号的识别等领用于雷达回波的识别，通信同步信号的识别等领域。域。 相关是一种与卷积类似的运算。与卷积不同相关是一

41、种与卷积类似的运算。与卷积不同的是没有一个函数的反转。的是没有一个函数的反转。 相关函数的定义相关函数的定义 相关与卷积的关系相关与卷积的关系 相关函数的图解相关函数的图解1.定义定义ttftfttftfRd)()(d)()()(212112实能量有限函数实能量有限函数f1(t)和和f2(t)的互相关函数的互相关函数ttftfttftfRd)()(d)()()(212121 互相关是表示两个不同函数的相似性参数。互相关是表示两个不同函数的相似性参数。可证明可证明，R12()=R21()。若若f1(t)= f2(t) = f(t)，则得自相关函数，则得自相关函数ttftfttftfRd)()(d

42、)()()(显然，显然，R(- -)= R()偶函数。偶函数。注注2. 相关与卷积的关系相关与卷积的关系xtxfxftRd)()()(2112R12(t)= f1(t)* f2(t)R21(t) = f1(t)* f2(t) 。xxtfxftftfd)()()(*)(2121可见，可见，若若f1(t)和和 f2(t)均为实偶函数，则卷积与相均为实偶函数，则卷积与相关完全相同。关完全相同。3. 相关函数的图解相关函数的图解 (0t12)Of1()f2()O2221Of2(-)f2()O2222Of1()212f2(t1-)Of1()21f2(-t1)t1t1-2t1t1+2f1() f2(t1-

43、)tOt1t1O2f1() f2(-t1)t2t1f1(t)*f2(t)O-2O2t1R12(t)4阴影部分面积阴影部分面积(a) 卷积(b) 相关22-24. 实功率有限信号相关函数的定义实功率有限信号相关函数的定义f1(t)与f2(t)是功率有限信号相关函数：相关函数： 222112d)()(1lim)(TTTttftfTR 221221d)()(1lim)(TTTttftfTR 自相关函数：自相关函数： 22d)()(1lim)(TTTttftfTR 例例 的自相关函数。的自相关函数。求周期余弦信号求周期余弦信号tEtf1cos 解：解：对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有 12221212221111122211222cos2dcoscoslimdsinsincoscoscoslimdcoscoslimd1limEttTEttttTEtttTEttftfTRTTTTTTTTTTTT 此例结论1. 周期信号自相关函数仍为周期信号周期信号自相关函数仍为周期信号,且周期相同。且周期相同。2.自相关函数是一偶函数，自相关函数是一偶函数，R(0)为最大值。为最大值。3.余弦函数自相关函数仍为余弦余弦函数自相关函数仍为余弦;同理可证，任意相位的同理可证，任意相位的正弦，余弦之自相关函数仍为余弦。正弦，余弦之自相关函数仍为余弦。