(本科）第1章[7]教学ppt课件.ppt

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1、(本科）第1章7教学ppt课件第1章 偏好与消费者选择本章学习目标1、理解消费者的偏好等概念；2、掌握效用函数和消费者的效用最大化问题及支出最小化问题；3、会求解马歇尔需求函数和希克斯需求函数以及掌握它们的性质；4、掌握斯勒茨基方程及消费者的福利变动的问题；5、掌握罗伊恒等式和谢泊德引理；本章重点及难点消费者的效用最大化及支出最小化、马歇尔需求函数、希克斯需求函数、罗伊恒等式、谢泼德引理、斯勒茨基方程。 第一节 消费者的环境 消费者会面对各种可能的商品来进行，这些商品可以是各种各样的，而且数量也可以从 到一个很大的值不等。消费者可以想象到的所有商品的集合，称之为消费集，用 表示。令 表示一个包

2、含 种商品，其中第 种商品的数量为 的消费向量，这个消费向量可以称之为是一个消费束或消费计划。X0),.,(21Nxxxx Niix我们称消费集中那些可以为消费者所可能得到的消费束组成的集合为消费可行集，令 表示消费可行集，称以下的集合为消费者的预算集：其中 这里 表示的是该消费者的收入。 B0,/mRxmpxxBNmxpxpxpNN.2211m 第二节 消费者的偏好关系 任意两个消费集中的消费束 和 ，消费者必然能给出以下两种判断之一： “ 至少和 一样好”或者“ 至少和 一样好”，用 表示“至少一样好”，则前面两个判断可以写为 或 。“至少一样好”有两种含义，一种是“优于”，一种是“无差异

3、”。如果“ 优于 ”，或“ 优于 ”，那么 与 就不可能同时成立。如果 成立，但 不成立，我们称“ 优于 ”，记为“ ”。1x2x1x2x2x1x1x2x2x1x1x2x1x1x2x2x2x1x1x2x21xx 2x1x1x2x 如果 优于 成立，且 优于 成立，我们称“ 无差异于 ”，记为“ ”。 公理1.1：（完备性）对于消费集 中的任意两个消费束 和 ，必有下列关系之一成立： ，或 ，又或者两者同时成立。 公理1.2：（传递性）对于消费集 中的三个消费束 ， ，如果 ， ，那么 。 1x2x2x1x1x2x12xxX1x2x1x2x2x1xX0 x1x2x0 x1x1x2x0 x2x 公

4、理1.3：（局部非饱和性）对于 中的消费束 和 ，如果 中至少有一个商品在数量上多于 中相应商品的数量，其他商品在数量上都一样，那么 。 如果公理1.3中的条件，结果是 ，我么就说该偏好满足严格单调性假设，这是一个比局部非饱和性假设更为严格的假设。 X1x2x1x2x1x2x21xx 公理1.4：（连续性）令 表示消费集 中任取的一个消费束，则无差异集 是一个连续的曲面。 在两种商品的情况下，无差异集就是一条曲线，在多维的情况下，我们可以把它想象成一个曲面。 公理1.5：（严格凸性）对于消费集 中的任意两个消费束 和 ，如果 ，那么对于 ， 。Xx 0XX0 x1x0 x1x) 1 , 0(t

5、010)1 (xxttx 如果 ，上述中的结论为 ， 我们称该偏好具有凸性而非严格凸性。 公理1.1-1.5的消费者偏好定义为良性偏好。 1 , 0t10)1 (xttx0 x 第三节 效用函数定义1.1：对于消费集 中的任意两个消费束 和 ，存在实值函数 有： 则称该函数 表征了定义在消费集 的偏好 。 定理1.1：定义在消费集 上的连续性偏好 必然存在一个连续的效用函数 表征。这就是著名的Debreu定理。X0 x1xRXu:010)()(xxuxu1xRXu:XX)(xuDebreu定理是一个存在性定理，就是说表达同一个偏好的连续性函数可能不止一个，而是一个函数族，这个函数族中的任何一个

6、函数都可以表达同一个偏好。例1.2：（序数效用）甲，乙两位同学面试，有以下三种结果： A 面试失败 B 面试失败，归途中被汽车溅了一身泥点 C 面试失败，归途中不但被汽车溅了一身 泥点，还被蚂蚁咬了一口。根据序数效用理论，甲同学肯定排序 但却不能知道 优于 的程度和 优于 的程度的大小的比较，另外我们也不能比较甲和乙相对于 谁更喜欢 一些，或者相对于 谁更喜欢 一些。由此，我们有以下定理：定理1.2:如果函数 是定义在消费集 上的偏好的效用表征，对于任一 有 = ，函数 是严格单调函数，那么 与 表达了同样的偏好。CBAABBABACB)(xuXXx)(xv)(xufRRf:)(xv)(xu

7、第四节 消费者效用最大化问题在定义了效用函数之后，每个消费者都会尽可能在其预算集内选择他最偏爱的组合，从而使其效用达到最大化，这就是消费者追求效用最大化假设。我们把消费者最大化问题写成如下形式： 其拉格朗函数可以写为： )(max0 xuxmpx )()(pxmxuL 其库恩-塔克一阶条件为： ，且 ，且 在存在内点解的条件下，最优条件可以写为： 这里会有 个方程，任取两个商品 ，可得两个方程，代入可得下式： 0)(*iipxu, 0)(*iiipxux(1,.,)iN 0* pxm0)* pxm（0)(*iipxuNji,Njippxuxujijjii,.,1,)()(*4.1 马歇尔需求函

8、数及其性质给定消费者所面对的商品价格和财富，我们已经证明 是消费者效用最大化的点，因此我们可以将 写成价格和财富的函数，即 。我们用来表示消费者的效用最大化的解。用 来表示这个解的一般形式，称之为马歇尔需求函数，这个需求函数本身就隐含着消费者效用最大化的假设在内。*x*x),(),.,(),(),(21mpxmpxmpxmpxN),(*mpx),(mpx 首先，马歇尔需求函数满足预算平衡； 其次，马歇尔需求函数在价格-财富对 上满足零次齐次性。所谓零次齐次性，即 和有 。4.2 拉格朗日乘子的解释 拉格朗日乘子最优值 是约束条件的影子价值它意味着放松约束条件一点点所带来的目标函数的增加量。),

9、(mpmp,0),(),(mpxmpx* 将马歇尔需求函数代入效用函数 ，即可得到： ，约束条件是： 。 对 取 的微分，可以得到： 又 所有上式 可以写成： 由马歇尔需求函数 预算平衡性质，即 ，两边对 求 导，可以得到 ，所以，我们可得到 。 )(xu),(mpxumxp),(mpxumNiiiidmdxdxdumpxudmd1),(iiipdxduNiNiNiiiiiiiidmdxpdmdxpdmdxdxdu111mmpxp),(mNiiidmdxp11*),(mpxudmd4.3 间接效用函数及其性质我们将马歇尔需求函数代入原来的效用函数，得到的效用水平必然是在给定的价格和财富上的最高

10、效用，由此得到以下函数： ，我们称该函数为间接效用函数。间接效用函数具有以下性质： 首先，是零次齐次性。因马歇尔需求函数具有此性质， ),(),(mpxumpv),(),(),(),(mpvmpxumpxumpv 其次， 在财富水平 上是严格递增的，在某一商品价格 上是非增的。 此外，间接效用函数 是连续函数，而且在价格-财富对 上是拟凸的，即对于任一效用水平 ，集合 是一个凸集。 我们可以找出间接效用函数 和马歇尔效用函数 之间的关系。我们从定义出发： 两边取某一商品价格 的微分： 根据消费者效用最大化的 一阶条件可得： ),(mpvmip),(mpv),(mpvvmpvmp),(/ ),(

11、),(mpv),(mpx),(),(mpxumpvipNjijjipxxupv1 以及对拉格朗日乘子的解释即 可将上式重写为： ，又 ，两边求 的导数，可以得到 ，由此可得： 综合上式，可得： 这个等式就是罗伊恒等式。ijpxu),(mpxudmdNjijjipxpmvpv1mmpxp),(ip0),(1mpxpxpiijNjjNjijjipxpmpx1),(mvpvmpxii),( 第五节 消费者支出最小化问题 现在我们考虑给定价格和某一个效用水平，消费者需最少要用多少支出才可以达到这样的效用水平呢？这就是消费者的支出最小化问题。可表示如下： （1-1） 使用拉格朗日方法，首先构造拉格朗日函

12、数： 假设存在内点解，其一阶条件为：在给定的假设下，对任一价格-效用对 该问题都有唯一的解，我们用 表示。 这个解 就xpxminuxuts)(:.)(uxuxpLNixupii,.,1, 0)()21 ( 0)(uxu)31 ( ),(up),(uph),(uph是希克斯需求函数，也叫补偿需求函数。 由于希克斯需求函数 是消费者支出最小化的解，把 代入目标函数，就可以得到一个函数，用 表示： 这个 就是支出函数。比较效用最大化的一阶条件和支出最小化的一阶条件，可以发现它们是相同的：),(uph),(uph),(upe),(),(uphpupe),(upeNjippxuxujijjii,.,1

13、,)()(*)51 ( 这意味着效用最大化的解是在消费者效用无差异曲线族和给定的预算线相切的切点上取得的，同时，这个点也是在预算线族和给定的无差异曲线相切的切点。我们可以从以下图 和图 中观察到。 图 ：效用最大化问题的解aba 图 ：支出最小化问题的解b 由此我们可以看出，消费者效用最大化问题和支出最小化问题可以看成是对偶问题。 由这种对偶关系我们有下列等式： （1-6） （1-7） 这两个等式是上面两幅画的总结，我们还可以将上面的等式用间接效用函数和支出函数的形式给出，即： （1-8） （1-9）),(),(,(mpxmpvph),(),(,(uphupepx),(,(upepvu ),(

14、,(mpvpem 5.1 希克斯需求函数和指出函数的性质 就如马歇尔需求函数和间接效用函数一样，我们可以推导出希克斯需求函数和支出函数的性质。 首先，希克斯需求函数 对价格是零次齐次的，也即 ， 。要特别注意，这里的零次齐次性仅仅是对价格而言，而不是对价格和既定效用水平都是零次齐次的。 其次，与马歇尔需求函数必然会穷尽所有用于消费的收入类似，希克斯需求函数则会达到既定的效用 效用水平， 即 。 最后，因为我们假定偏好是严格凸的也即效用函数是严格拟凹的，所以可以肯定 是单值的。 接下来，我们再来考察支出函数的性质。 首先，支出函数 在价格 上是一次其次的。 由于 在价格上是零次齐次的，所以所有商

15、品价格乘以 不会影响消费者想要的消费束，根据支出函数定义有： ),(upep),(uph0),(),(),(),(upeuphpuphpupe 其次，支出函数 在效用水平上严格递增，在某一个商品价格 上不递减。 第三，支出函数 在价格 上是凹 的。假设价格从 增加到了 ，令 ),(upeip),(upeppp )1 (ppp由支出函数的定义有 ： 然后，根据 ，上式等于： 再根据支出最小化问题的解 ，不可能是 和 下的最小支出消费束，可以得到： 这就证明了支出函数 在价格水平上是凹的。),(),( uphpupe )1 (ppp),()1 (),( uphpuphp),( uph),(up),

16、(up),()1 (),(),()1 (),( uphpuphpuphpuphp),(upe5.2 希克斯需求函数和支出函数的关系 支出函数和希克斯需求函数之间也存在一些特定的关系，根据支出函数的定义，我们推导如下： （1-13） 对这个等式两边分别取 的微分： （1-14） 再把支出最小化问题的一阶条件 代入此式： 由于在最优解处消费者支出最小化问题的约束条件是紧的，也即： (1-16) 对此式两边取 的微分： (1-17)代入（5-2-1）式，可以得到： (1-18)151 ( 这个式子告诉我们支出函数对某一商品价格的导数正是该商品的希克斯需求函数，该式即谢泼德引理的结论。 我们还可以推导

17、出若干其他的性质，如 果没有特别说明，我们总是假定希克斯需求 函数是可微函数。 （1） 。这个式子可以直接从（1-18）式两边取某商品的价格导数得到。 （2） 是一个对称的半负定矩阵。 （3） 。这一点可以从希克斯需求函数在价格上的零次齐次性得到，对 两边取 微分，然后再令 就可以得到这一结果。1 第六节 斯勒茨基方程 支出函数可以为我们提供一种以财富的形式来衡量价格变化福利效应的工具，当价格水平从 变化到 时，消费者的福利可以用保持效用不 变时的货币支出来度量，即 但是， 这还会受到另外一个问题的困扰。支出函数是以 希克斯需求函数为基础的，而希克斯需求函数的 大小取决 于价格和给定的目标效用

18、水平。问题在 于，价格水平容易观察，但是效用水平却观察不 到。 由于马歇尔需求函数是建立在一切都可观察的价格和财富水平上的，所以它倒是没有这类问题，可是它又不能用作福利比较的工具。而希克斯需求函数是可以用于福利比较，但是又是建立在不可观察的变量之上。对这一矛盾问题的解决，我们需要从马歇尔需求函数中导出希克斯需求函数。这样，我们就可以用可以观察到的价格水平和财富水平来导出希克斯需求函数，然后再用希克斯需求函数去进行消费者福利的评价了。我们来看如何推导才能得到这样的结果。 我们先令 ，这也就是意味着 ，考虑下面的等式： （1-19） 对该等式两边对 商品的价格取微分，可得： （1-20） 根据谢泼

19、德引理，可以知道 ， 所以（1-20）式可以变形为（1-21）： （1-21） 再根据（1-19）式，有（1-22）式： （1-22） 又因为 并以间接效用函数 代入，所以（1-20）式最终可以写成下式（1-23）： （1-23） 这个等式就是著名的斯勒茨基方程。斯勒茨基方程为我们提供了马歇尔需求函数和希克斯需求函数之间的一个联系。 第七节 福利变动的评估 现在，我们可以考虑消费者面对价格变化时的福利变动评价了。 假设消费者面对财富为 ，初始的价格为 ，此时该消费者的效用水平用间接效用函数表示即： 。如果价格变化到 ，则在新的价格水平下消费者的效用水平为 。那么价格变化之后，消费者福利的变化情

20、况就要视下式的具体取值而定： （1-24）1u00),(umpv 如果式（1-24）为正，则消费者的效用提高了；为负，则消费者的效用下降了；为零，则说明消费者在价格变化前后效水平并未改变。 假如我们将价格水平固定在 上，且 意 即所有商品的价格均大于零，我们称此价格为参 考价格。那么，在参考价格 上消费者要达到效 用水平 所必须做出的支付为： 。如此一 来，我们就可以比较在 和 两个效用水平上的 消费者支出了，判断下式的正负情况：0u1u （1-25） 如果（1-25）式为正，则说明要想在参考价格 上达到 的效用水平，就需要比达到 的效用水平付出更多的财富。式（1-25）为负或者零可以有类似的

21、解释。这样一来，这个式子的单位就有意义了，因为它是用货币度量的，而货币是具有基数性质的一个测量尺度。因此， 常被称为是货币量度间接效用函数。 我们可以将任意一个严格正的价格水平定为参考价格 ，但是，一般而言有两种价格经常用来作为参考价格，一个是初始价格 或新价格 。当 时，消费者支出的变化等于使得消费者在新价格-旧财富对和旧价格-新财富对上表现得无差异的财富变化，我们把这种福利变动成为是等价变化，即 ，它被定义如下： ),(,(),(,(),(001010mpvpempvpemppEVmmpvpe),(,(10 等价变化 补偿变化 ab 由于 ，所 以，我们也可以把等价变动写成： 这相当于告诉

22、我们在原价格和新价格下为达到新的 效用水平 所作出的支付的差值。 现在假设只有第 一种商品的价格提高了，那么利用谢泼德引理和微 积分基本定理，我们有： ),(,(),(,(),(111010mpvpempvpemppEVdzmpvpzhpp),(,(10110111 等价变化 补偿变化 )(a)(b 另外一种情况则是将新价格作为参考价格， 即令 。此时，支出的变化等于财富的 变化，以满足消费者在原有境况 和新 境况 之间无差异这一要求。这 也就等于是在问，由于价格变化，有多少财 富需要补偿给该消者，我们称这种变动为补 偿变化，即CV。),(,(),(,(),(011110mpvpempvpem

23、ppCV),(,(01mpvpem 同样，我们可以用希克斯需求曲线下方的区域来解释CV。不同的是，这次的希克斯需求曲线是根据原来的效用水平 而取定的。假设只有商品1的价格发生了变化，原来的财富 故有： 如果 ，则上式为正；如果 ，则上式 为负。 0111),(,(0011ppdzmpvpzh),(,(00mpvpem ),(,(),(,(),(010010mpvpempvpemppCV 只要商品 是正常物品，那么提高目标效用水平 ，一定可以将 在 空间中向右移动。 因此，当商品是正常品时， 。而如果 商品是劣等品，随着 的增加，就会推动 在 空间中向左移动因此 只有对于该 商品 不存在财富效应，也即： 才有 。ii 前面两幅图也给出了马歇尔需求曲线，在 上它与 相交，在 上它与 相交。之所以会如此，乃是源于效用最大化和支出最小化之间的对偶关系也即我们有： 这一结果是从恒等式 得出的，从这里看，马歇尔需求曲线的下方在给定的两个价格之间的面积，必然处在 和 之间， 这个面积就是我们在经济学入门教材中学习到的所谓的马歇尔消费者剩余，即 。假定和之前一样，只有第一种商品的价格发生了变化，则此一价格变化的马歇尔消费者剩余用积分表示即： 谢谢大家！