《经济数学基础》作业讲评 .docx

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1、精品名师归纳总结（一）填空题经济数学基础作业（二）讲评可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 如f xdx2 x2 xc ，就f x .答案：2x ln 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：此题主要是考察原函数的概念，由不定积分f xdxF xc 知， fx 是 Fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的导数，而FX 是 fx 的一个原函数，所以，已知fx 求其原函数是对fx 求积分，已知Fx 求 fx ，是对等式右端求导数。可编辑资料 - - - 欢

2、迎下载精品名师归纳总结正确解答：f x2 x2 xc2x ln 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. sinxdx .答案：sin xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： sin x dxsin xc分析：此题主要考察导数（微分）与不定积分互为逆运算的性质。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xdxf x,df xdxf xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xdxf xc,dfxf xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

3、师归纳总结可能显现的错误：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinx dxcos xc ，没有用性质进行求解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinx dxsinx ，留意，我们的性质是先积分后求导结果为一个函数，即被积函数，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结先求导再积分结果为无穷多函数，即被积函数加任意常数C。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 如f xdxF xC,就e x f ex dx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

4、纳总结解： ex f ex dxf ex de xF e x C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：此题主要考察不定积分是函数，其对应关系可看成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f dF c;或看成 fuduF uC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其次考察凑微分e x dxdex这里的e-x 就是上述公式中的 u ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此题也是 2021 年 1 月的考题 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例（ 09年7月考题）如f xdxF xC, 就x

5、f 1x2dx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： xf 1x2 dx1f 1x2 d 1x2 1 F 1x2 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22摸索一下，下面的例题结果是怎么求出的？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：如 fxdxF xC,就sinxf cos xdx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结结果填： -Fcosx+C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：如 fxdxF xC或说: 如F x是f x的原函数）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

6、归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 f ln xx dx .结果填： Flnx+C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24. 设函数de ln1x dx _ .答案： 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dx 1分析：定积分是确定的数值，所以对定积分求导数，结果为0。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e可能显现的错误：运算定积分ln11x2 dx 。 当然能做，但运算量要大的多，其可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结结果仍是 0，所以要明白定积分的结果是“数值”，而常数的

7、导数为0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结deln1dx1x2 dxln1x2 ， 将不定积分的性质用到这里。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结de22e2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dx1ln1x dx01ln1x ln11e ln 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 如P xdt ，就P x .答案：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1t 21x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：此题主要考查变上限定积分的概念，即变上限定积分结果是被积函数的原函数， 所以，对变上限定积分求导数结果

8、应是被积函数再乘以上限的导数。同时，应留意：交换积分上下限，其结果应变号。（二）单项挑选题1. 以下函数中，（）是xsinx2 的原函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1A cosx22B 2cosx2C -2cosx21D -2cosx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： D分析：这道题目是求四个被选函数哪个是xsin2x 的原函数，即哪个函数的导数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xsinx2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

9、正确解答：由于1 cos x21sin x22 xxsinx2 ，所以1 cos x2 是xsinx2 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222原函数，即答案 D 正确。挑选 A ，错误。由于12122cos x sin x 2 xxsin x 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结挑选 B ，错误。由于222cos x22sin x22x4xsin x2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结挑选 C，错误。由于 2cos x2 2sin x2 2x4xsin x2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 以下等式成立的是（）1可编辑资

10、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A sinxdxdcosx B lnxdxd x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C 2答案： Cx dx1ln 2d2 x D 1 dxdxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：此题主要考查的是一些常见凑微分的类型：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xdx12 xx1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dx , e dxde ,2dxdln x,dx xx2dx,2 dxd, xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin xdx

11、d cosx,cos xdxd sin x, 等有意识记住以上类型，对下面的作业题（不定积分的运算）就简洁把握了。3. 以下不定积分中，常用分部积分法运算的是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A cos2x1dx ，Bx 1x2 dxC. x sin 2 xdxD xdx 1x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： C分析： A,B,D都是凑微分（第一换元法），对这种常见且基本的积分运算题要娴熟把握，是考试的重点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos2x1) dx1cos2x1d2 x11 sin2x1) C;可编辑资料 - - - 欢迎下

12、载精品名师归纳总结22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 1x2 dx111x2 2 d 1x21 13x2 2C;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xdx11d 1x2 1 ln1x2 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x221x22而 C 是分部积分，同样，对这种常见且基本的积分运算题要娴熟把握，被积函数是幂函数与三角函数乘积的积分、幂函数与指数函数乘积的积分、幂函数与对数函数乘积的积分是考试的重点x sin 2 xdx1xd cos 2 x1 x cos 2 x1cos 2 xdx1 x

13、cos 2x1 sin 2 xC222244. 以下定积分运算正确选项（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1A 2xdx162 B dx15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1Cx21x3 dx0 Dsin xdx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： D分析：由定积分的几何意义我们有重要推论：奇函数在对称区间的定积分结果为0，故D 对。5. 以下无穷积分中收敛的是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 1答案： B1 dx Bx11 dx Cx 20ex dx D1sinxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析

14、：利用无穷积分的定义运算。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正确解答：1 dx1x211 ， 收敛。所以 B 正确。x 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结请记住结论： （ 1）11 dx ，当 p x p1收敛，当 p1 时发散。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）0sin xdx 和0cosxdx ，sin xdx ，0cos xdx 发散。0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）敛。0 ekxdx 当 k0 发散， k0 收敛。ekxdx 当 k00 发散， k0 收可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如能够

15、记住上述结论，就可以直接判定而免去运算。三解答题1. 运算以下不定积分分析：娴熟把握基本积分公式是学好这部分内容的基础，且要留意把公式中的x 当成 u来背 ,娴熟把握基本积分方法：直接积分法（用公式和性质）。第一换元法（凑微分）。分部积分法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）x3dx 答案： ex3xexcln 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：将被积函数3变形为xex3 x ， 利用积分公式e，a xaxdxc 求解，这里ln aa3 .e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x33x可编

16、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正 确 解 法 ：x3 dx ex3 x dx e eCln 3exln 31C （ 利 用 对 数 的 性 质 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ln 3 eeln 3ln eln31,lne13 x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可能显现的错误：不能将被积函数看成为ex x ， 因此不知用什么公式求积分。e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 3 dx ex3 exdx3exc 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用错公式，3xx dx3xxc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

17、师归纳总结（ 2）ee1x2dx答案： 2xx34 x 2352 x 2c5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1x212xx2113可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：dxdx2x 2x2 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xxx43252xx2x 2C 35分 析 ： 注 意 利 用 不 定 积 分 性 质 去 做 ， 即 分 项 积 分 最 简 单 ， 这 里 仍 要 注 意 把可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 dx x2xC当公式记，同理1 dx x21C也当公式记 ， 计 算 速 度 就 会 加x可编辑资料 - - -

18、 欢迎下载精品名师归纳总结快。（ 3）x24dxx2答案：1 x 22 xc2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解： x4 dx x2dx1 x22xC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）112 xdx 答案：1 ln 12 xc2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：这是一个复合函数的积分运算，采纳的方法是凑微分法.这里 u12x ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结du2 dx ，于是 dx1 du ，代入积分式中进行换元

19、，再对u 直接用公式求积分.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正确解法：1 dx =112dx11d12 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 2 x u12 x1 ln 12 xc221u 1 2 x2 x1 1 du =2 u212 x1 ln uc 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可能显现的错误：不能正确的找出微分因子2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用错积分公式，如112 xdx =11212x2) dx11212 xd12 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

20、纳总结u 1 2 x11du =2u1 ln1c212 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这里关键要记住常见的凑微分类型速度才能快起来，像下面这样做：dx1 d kxC , 且娴熟后应当直接凑微分k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1dx11d 12 x1 ln 12 xC12x212 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5） x2x2 dx 答案：11 2313x 2 2c13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： x2x2 dx2x2 2d 2x2 2x2 2C可编辑资料 - -

21、 - 欢迎下载精品名师归纳总结23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 6）sinx dx 答案：x2cosxc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： sinx dxx2 sinxdx2cosxC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 7）xsinx dx 答案： 22 x cos x24 sin xc2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解： xsinx dxx2 x cos xx2 xcos x4sin xC可编辑资料 - - - 欢迎下载精

22、品名师归纳总结xd cos2cosdx222222分析：题做娴熟后，像下面的简洁凑微分的题应直接看出结果，在心里边凑微分，如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin2x dx1 cos 2 xC;21 xe2 dx1 x2e 2C;1dxx1ln x1C;等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（8）ln x1dx 答案： x1 ln x1xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：这是用分部积分法运算积分的题目，且uln x1,vx,可编辑资料 - - - 欢

23、迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ln x1dxx ln x1xdln x1x ln x1xdxx ln x1 x1x1 1 dxx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x ln x1dx1dxxln x1dx x11dx1x1x ln x1xln x1c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意这里用到了“在分子加1 减 1”的技巧。2.运算以下定积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2（ 1）112xdx答案： 52121122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：11xdx =1xdx1x1dx =11

24、dx1xdx1xdx11dx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1= x 11 x 2 1211 x2 2212315 .x20122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：留意到被积函数是一个带有肯定值的函数，积分时必需把肯定值符号去掉，依据肯定值函数的定义，就要看看1x 在积分区间 1,2 是否有变号（即由正变负或由负变正）的情形 .1xx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 1x，即 xx1x11 是使函数转变符号的点，因此利用积分区间的可加性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此定

25、积分分为两个积分的和，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结211xdx =111xdx2 x1dx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可能发生的错误：221xdx =111xdx ，这是将 1x 等同于 1x ，需要指出的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是，定积分中的积分变量是与积分区间有关的，积分区间的不同，可能被积函数的表达式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就不同，此题就是一个典型的例子。运算错误.12 e xxee可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）2 d1x1

26、答案：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12 ex211 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1解： x2e3dxex dexee1x11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）1x 1ln xdx 答案： 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e31解：e311e3dxdx1d1ln x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x 1ln xe311ln x x11ln x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21ln x1422可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：这是一个换元积分法求积分的题目，其中

27、u1lnx ， du1 dx ，设法将积分x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数变为1 ，然后对 u 求积分即可 .u可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（此法没有换元，所以就不用换限）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法二：换元换限， 令 u1lnx ，当 x1 时 u1，当 xe 3时 u4 ，于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e31dx1x 1ln xe3111ln x1 dx xe3111lnd1x41ln xdu1u可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4= 2u1

28、2412可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意，定积分的换元积分法进行运算时，换元肯定要换限，积分变量要和自己的积分限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结相对应，此题中，变量x 的区间是1, e3 ，而变量 u 的积分区间是1,4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在换元换限时 , 新积分变量的上限对应于旧积分变量的上限, 新积分变量的下限对应于旧积分变量的下限 , 当以新的变量求得原函数时可直接代入新变量的积分上、下限求积分值即可无须在仍原到原先变量求值.3可能显现的错误：换元不换限。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运算错误，如1 l

29、n e32 ，正确选项：1ln e13 ln e42 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公式用错，没有把11视为 u 2 .u可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）2 xcos 2 xdx 答案：102可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：2 x cos2xdx = 12xsin 2 x12 sin 2 xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结001 cos 2 x 24020201 111

30、421可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：这是用分部积分法运算积分的题目，且 ux, vcos 2 x ，得出 vsin 2 x .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可能显现的错误：由vcos 2x 得出 v2sin 2 x ，留意 v 是 v 的一个原函数，当你写可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结出 v时，要求导，验证一下是否正确.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三角函数值计记错。正确选项sin 0sin0 ， cos 01,cos1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

31、结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）ex ln xdx 答案：11 e 214可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e解： x ln xdx1e ln xdx21 x2 ln x e1e x211 2dxe1 x2 e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12 12121x241可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 e21 e211 e2124444分析：这是幂函数与对数函数乘积的积分，肯定要记住公式：bbbbuv dxudvuvvduaaaaeee1e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：ln xdxx ln xxdxexee11 直接看成分部积分公式去做。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14（ 6）11x1xe x dx4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1答案： 55e0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 4x44x44-x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1xedxdxxedxxxde00000可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4xe x 4 044e xdx=4-4e -4e x0