一元二次方程知识点和易错点总结.docx

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1、精品名师归纳总结一元二次方程学问点总结学问结构梳理（1）含有个未知数。（ 2）未知数的最高次数是1、概念（ 3）是方程。（ 4）一元二次方程的一般形式是。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）法,适用于能化为 xm 2n n0的一元二次方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一（2）法,即把方程变形为 ab=0 的形式,元二2、解法（ a, b 为两个因式） ,就 a=0 或次程方（3）法（4） 法,其中求根公式是根的判别式当时,方程有两个不相等的实数根。（5） 当时,方程有两个相等的实数根。当时,方程有没有的实数根。可用于解某些求值（1）一元二次方程的应用（2）（

2、3） 可用于解决实际问题的步骤（4）（5）（6） （6）学问点归类学问点一一元二次方程的定义假如一个方程通过移项可以使右边为0,而左边只含有一个未知数的二次多项式, 那么这样可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的方程叫做一元二次方程。留意：1、一元二次方程必需同时满意以下三点： 方程是整式方程。 它只含有一个未知数。未知数的最高次数是2、同时仍要留意在判定时,需将方程化成一般形式。例 以下关于 x 的方程,哪些是一元二次方程？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 x 253 。 x 26x0 。（3）xx5 。（4） x20 。（5） 2 x x32 x21可编辑资料

3、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学问点二 一元二次方程的一般形式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2一元二次方程的一般形式为 axbxc0 （a, b,c 是已知数, a0 ）。其中 a, b, c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。留意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数,常数项都包括它前面的符号。（2） ）要精确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必需把它先化为一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结般形式。（3） ）形如ax2bxc0 不肯定是一元二次方程,当且仅当a0 时是一元

4、二次方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x例 1已知关于 x 的方程 m1m2 2m1 x20 是一元二次方程时,就 m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学问点三一元二次方程的解使方程左、 右两边相等的未知数的值叫做方程的解, 如：当 x2 时, x 23 x20 所可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以 x2 是 x 23 x20 方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。可编辑资料 - - - 欢迎

5、下载精品名师归纳总结学问点四建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。留意：（ 1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系。 （ 2）设未知数要带单位。 （3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。例 如图（ 1）,有一个面积为 150 的长方形鸡场,鸡场一边靠墙（墙长 18m）,另三边用竹篱笆围成,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如竹篱笆的长为 35m,求鸡场的长和宽各为多少？鸡场因式分解法、直接开平方法学问点一因式分解法解一元二次方程假如两个因式的积等于0,那么这两个方程中至少有一个等于0,即如 pq=0 时,就 p=0 或 q=0

6、。用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1） ）将方程的右边化为 0。（2） ）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3） ）令每个因式分别为 0,得两个一元一次方程。（4） ）解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解。关键点：（1）要将方程右边化为 0。（ 2）娴熟把握多项式因式分解的方法,常用方法有：提公式法,公式法（平方差公式,完全平方公式）等。例 用因式分解法解以下方程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） 5 x 24 x 。（2） 2 x 23250 。 （3） x 26 x9252 x。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学问点二直接开平方法

7、解一元二次方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 x 2a a0,就 x 叫做 a 的平方根,表示为 xa ,这种解一元二次方程的方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2法叫做直接开平方法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） x 2a a0的解是 xa 。（ 2） xmn n0的解是 xnm 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2（ 3） mxnc m0 , 且 c0的解是 x。cnm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22例 用直接开平方法解以下一元二次方程可编辑资料

8、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） 9 x 2160 。 （2） x5160。 （3） x53 x12（因式分解）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学问点三敏捷运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2形如 axbk0 k0的方程,既可用因式分解法分解,也可用直接开平方法解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 运用因式分解法和直接开平方法解以下一元二次方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） 4 x5 23620 。（ 2） 12 x30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

9、结学问点四用提公因式法解一元二次方程把方程左边的多项式 （方程右边为 0 时）的公因式提出, 将多项式写出因式的乘积形式, 然后利用“如 pq=0 时,就 p=0 或 q=0”来解一元二次方程的方法,称为提公因式法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 ： 0.01t 22 t0, 将 原 方 程 变 形 为t 0.01t20, 由 此 可 得 出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结t0或 0 .0t20,即 t10, t 2200可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：在解方程时,千万留意不能把方程两边都

10、同时除以一个含有未知数的式子,否就可能可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结丢失原方程的根。 学问点五形如“ x 2ab xb0 a , b 为常数”的方程的解法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于形如“ x 2ab xb0 a , b 为常数”的方程（或通过整理符合其形式的） ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可 将 左 边 分 解 因 式 , 方 程 变 形 为 xaxb0 , 就 xa0或 xb0 , 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1a , x 2b 。可编辑资料 - - -

11、 欢迎下载精品名师归纳总结留意： 应用这种方法解一元二次方程时,要熟识“x 2a b xb0 a , b 为常数”型方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结程的特点。例 解以下方程：（1） x 25 x60 。（2）x 2x120可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结配方法学问点一 配方法解一元二次方程时,在方程的左边加上一次项系数一半的平方,再减去这个数,使得含未知数的项在一个完全平方式里,这种方法叫做配方,配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了,这样解一元二次方程的方法叫做配方法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

12、归纳总结留意：用配方法解一元二次方程x 2pxq0 ,当对方程的左边配方时,肯定记住可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后,仍要再减去这个数。例 用配方法解以下方程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） x 26 x50 。（ 2） x 27 x202可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学问点二用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程的步骤：（1） ） 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方,再减去这个数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ） 把原方

13、程变为xm 2n 的形式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） ） 如n0 ,用直接开平方法求出x 的值,如 n 0,原方程无解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 解以下方程： x 24 x30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学问点三用配方法解二次项系数不是 1 的一元二次方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当一元二次方程的形式为ax 2bxc0 a0, a1 时,用配方法解一元二次方程的步可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结骤：（ 1）先把二次项的系数化为 1：方程的左、右两边同时除以二项的系数。2移项：在方程的

14、左边加上一次项系数的一半的平方,再减去这个数,把原方程2化为 xmn 的形式。（3）如n0 ,用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。例 用配方法解以下方程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） 3 x 29 x20 。（2）x 24 x30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公式法学问点一一元二次方程的求根公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一元二次方程ax 2bxc0 a0 的求根公式是： xbb 22a4 ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用求根公式法解一元二次方程的步骤是

15、： （ 1）把方程化为ax 2bxc0 a0 的形式,确定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的值 a,b.c （留意符号）。（2）求出 b 24ac的值。（3）如 b24ac0 ,就a,b.把及 b 24ac 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值代人求根公式 xb b 22 a4ac,求出x1, x2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例 用公式法解以下方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） 2 x 23 x10 。 （2） 2

16、x x10 。 （ 3）x 2x250可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学问点二挑选适合的方法解一元二次方程直接开平方法 用于解左边的含有未知数的平方式,右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程因式分解 要求方程右边必需是 0,左边能分解因式。 公式法是由配方法推导而来的,要比配方法简洁。留意：一元二次方程解法的挑选,应遵循先特别,再一般,即先考虑能否用直接开平方法或 因式分解法,不能用这两种特别方法时,再选用公式法,没有特别要求,一般不采纳配方法, 由于配方法解题比较麻烦。2例 用适当的方法解以下一元二次方程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2（ 1）

17、2 x39 2 x23。 （2） x8 x60 。 （3） x2 x1 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学问点三一元二次方程根的判别式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一元二次方程ax 2bxc0 a0 根的判别式 =b 24ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运用根的判别式,不解方程,就可以判定一元二次方程的根的情形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） =b 24ac 0方程有两个不相等的实数根。（2） =b 24ac =0方程有两个相等的实数根。（3） =b 24ac 0方程没有实数根。利用根的判别式判定一元二次方程根的情

18、形的步骤：把全部一元二次方程化为一般形式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结确定a, b.c 的值。运算 b 24ac 的值。依据 b 24ac 的符号判定方程根的情形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例 不解方程,判定以下一元二次方程根的情形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） 2 x 23 x50 。（2） 9 x30 x25 。（ 3） x 26 x100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学问点四根的判别式的逆用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在方程ax 2bxc0 a0 中,可编辑资料 - - - 欢迎

19、下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）方程有两个不相等的实数根b 24ac 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）方程有两个相等的实数根b 24ac =0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3）方程没有实数根b 24ac 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范畴,但不能忽视二次项系数不为 0这一条件。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例m 为何值时,方程

20、2m1 x24mx2m30 的根满意以下情形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）有两个不相等的实数。（ 2）有两个相等的实数根。（3）没有实数根。学问点五一元二次方程的根与系数的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 x1, x2是一元二次方程ax2bxc0 a0 的两个根,就有 x1x2bb, x1x2aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22（1） x1x22x1x22 x1 x211（2）x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

21、纳总结x1x2x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） x1a x2ax1x2a x1x2a 2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4）x1x2 =x1x2=22x1x24 x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 已知方程2 x 25 x30 的两根为x1 , x2,不解方程,求以下各式的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2（ 1） x12x2 。（2）2x1x2。可编辑资料

22、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学问点六依据代数式的关系列一元二次方程利用一元二次方程解决有关代数式的问题时,要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程）,然后将方程整理成一般形式求解,最终作答。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 当 x 取什么值时,代数式x 2x60 与代数式 3 x2 的值相等？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一元二次方程的应用学问点一列一元二次方程解应用题的一般步骤（ 1） 审题,（2）设未知数,（3）列方程,（4）解方程,（5）检验,（6）作答。关键点：找出题中的等量关系。学问点二用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关得

23、到问题增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：（1）如基数为 a,增长率 x 为,就一次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结增长后的值为 a 1x ,两次增长后的值为a 1x。（2）如基数为 a,降低率 x 为,就一次降可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2低后的值为 a 1x ,两次降低后的值为2a 1x。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 某农场粮食产量在两年内由 3000 吨增加到 3630 吨,设这两年的年平均增长率为 x ,列出关于 x 的方程为学问点三用一元二次方程解与市场经济有关的问题与市场

24、经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有：（1）每件利润 =销售价- 成本价。（2）利润率 =（销售价进货价）进货价 100%。（ 3）销售额 =售价销售量例 某商店假如将进货价为8 元的商品每件 10 元售出,每天可售 200 件,现在实行提高售价,削减进货价的方法增加利润,已知这种商品每涨价元,其销量削减10 件。（1） 要使每天获得 700 元,请你帮忙确定售价。（2） 当售价定为多少时,能使每天获得的利润最多？并求出最大利润。易错学问辨析：（1） 判定一个方程是不是一元二次方程,应把它进行整理,化成一般形式后再进行判定,留意一元二次方程一般形式中 a

25、0 .（2） ）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） ）用配方法时二次项系数要化 1.（4） ）用直接开平方的方法时要记得取正、负.一元二次方程测试题一、挑选题1、如关于 x 的一元二次方程 m-1x 2+5x+m2 -3m+2=0有一个根为 0,就 m的值等于（）A 、1B、2C、1 或 2D、02、巴中日报讯： 今年我市小春粮油再获丰收, 全市产量估量由前年的 45 万吨提升到 50 万吨, 设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为x ,就可列方程为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 452x50B

26、451x250C 501x) 245D 4512 x50可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、已知 a,b 是关于 x 的一元二次方程 x2nx10 的两实数根,就式子 baab的值是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. n22B. n22C. n22D. n 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24、 已知 a、b、c 分别是三角形的三边,就方程 a + bx+ 2cx + a + b 0 的根的情形是（）A没有实数根B可能有且只有一个实数根C有两

27、个相等的实数根D有两个不相等的实数根5、已知是方程的两根,且,就的值等于（）A 56、已知方程有一个根是,就以下代数式的值恒为常数的是（）A. BCD7、的估量正确选项 （）A. BCD8、关于的一元二次方程的两个实数根分别是,且,就的值是（）A1B12C 13D259、某校九年级同学毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念,全可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结班共送了 2450 张相片,假如全班有x 名同学,依据题意,列出方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A、 x x12450B、 x x12450C、 2x x12450D、 x x12

28、2450可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10、如关于 x 的一元二次方程k1 x2xk 20的一个根为 1,就 k 的值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 1B 0C1D 0 或1 11、设是方程的两个实数根,就的值为（）A2006B 2007C 2022D2022212、对于一元二次方程 ax +bx+c=Oa0 ,以下说法：2如 a+c=0,方程 ax +bx+c=O必有实数根。2如 b2+4ac0,就方程 ax +bx+c=O肯定有实数根。2如 a-b+c=0 ,就方程 ax +bx+c=O肯定有两个不等实数根。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

29、归纳总结22如方程 ax +bx+c=O有两个实数根,就方程 cx其中正确选项 A BCD二、填空题+bx+a=0肯定有两个实数根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、如一元二次方程x2 a+2x+2a=0 的两个实数根分别是 3、b,就 a+b=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、设x1, x2是一元二次方程x2 +4x3=0 的两个根,就 2x2 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x213、方程（ x 1）（x + 2 ） = 2 （x + 2 ）的根是4、已知关于 x 的一元二次方程有两个相等的实数根,求的值为 5、在等腰 ABC中,三边分别为、,其中,如关于的方程有两个相等的实数根,就ABC的周长为6、已知关于的一元二次方程（为常数） 设 x1, x2 为方程的两个实数根,且,就K 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为7 、 已 知m、 n是 方 程x22003 x200402的 两 根 , 就 n2004n2005与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m22004m2005 的积是.可编辑资料 - - - 欢迎下载