三角形中作辅助线的常用方法举例 .docx

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1、精品名师归纳总结三角形中作帮助线的常用方法举例一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中显现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例 1：已知如图 1-1 ： D、E 为 ABC内两点 , 求证:AB AC BD DE CE.证明：（法一） 将 DE两边延长分别交 AB、AC 于 M、N， 在 AMN中， AM AN MD DE NE。（ 1）在 BDM中， MB MD BD。（ 2）在 CEN中， CN NE CE。（ 3） 由（ 1）（ 2）（ 3）得：AM ANMB MDCN NE MD DE NE BD

2、 CE ABAC BDDE ECAAGFMDENDE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BC图11B图12C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（法二：） 如图 1-2 ， 延长 BD交 AC 于 F，延长 CE交 BF于 G， 在 ABF和 GFC和 GDE中有：AB AF BD DG GF（三角形两边之和大于第三边）（1） GF FC GE CE（同上）（2） DG GE DE（同上）（3） 由（ 1）（ 2）（ 3）得：AB AF GF FC DG GE BD DG GF GECE DE ABAC BDDE EC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如

3、直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如：如图 2-1 ：已知 D为 ABC内的任一点，求证： BDC BAC。分析： 由于 BDC 与 BAC 不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加帮助线构造新的三角形，使BDC 处于在外角的位置，ABAC处于在内角的位置。证法一 ：延长 BD 交 AC 于点 E，这时 BDC 是 EDC的外角，GE BDC DEC，同理 DEC BAC， BDC BACD证法二：连接 AD，并延长交 BC于 F BDF是 ABD的外角BFC可编辑资料 - - -

4、欢迎下载精品名师归纳总结 BDF BAD，同理， CDF CAD BDF CDF BAD CAD即： BDC BAC。图21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：例如：如图3-1 ：已知 AD为 ABC的中线，且 1 2, 3 4, 求证： BE CF EF。分析：要证BE CF EF ，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE， CF， EF

5、移到同一个三角形中，而由已知1 2， 3 4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN， FN， EF 移到同一个三角形中。A证明： 在 DA 上截取 DN DB，连接 NE， NF，就 DNDC，N在 DBE和 DNE中：DNDB 帮助线的作法 EF12已知 2 3EDED 公共边 14C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 DBE DNE （ SAS）B BENE（全等三角形对应边相等） 同理可得： CFNF在 EFN中 ENFN EF（三角形两边之和大于第三边） BECF EF。D图31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：当证题有角平分线

6、时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例如：如图 4-1 ： AD 为 ABC 的中线，且 1 2， 3 4，求证： BE CFEF证明 ：延长 ED至 M，使 DM=D，E 连接CM， MF。在 BDE和 CDM中，ABDCD中点的定义 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1CDM对顶角相等 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EDMD 帮助线的作法 EF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BDE CDM（ SAS）又 1 2， 3

7、4 （已知） 1 2 3 4 180（ 平角的定义 ） 3 2=90即： EDF 90 FDM EDF 90在 EDF和 MDF中1 2 3 4CBDM图41可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EDMD 帮助线的作法 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EDFFDM已证 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DFDF 公共边 EDF MDF （ SAS） EF MF （全等三角形对应边相等） 在 CMF中， CF CM MF（三角形两边之和大于第三边） BE CF EF注：上题也可加倍FD，证法同上。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：当涉及

8、到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图 5-1 ： AD为 ABC的中线，求证： ABAC 2AD。分析：要证AB AC 2AD，由图想到： AB BD AD,AC CD AD，所以有 AB AC BD CD AD AD 2AD，左边比要证结论多BD CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造 2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2AD证明：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 BE，就 AEA可编辑资料

9、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 AD为 ABC的中线（已知） BD CD（中线定义） 在 ACD和 EBD中BDCD 已证 BDCADCEDB 对顶角相等 ADED 帮助线的作法 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ACD EBD（SAS） BE CA（全等三角形对应边相等）在 ABE中有： AB BE AE（三角形两边之和大于第三边） AB AC2AD。（常延长中线加倍，构造全等三角形）练习：已知 ABC， AD是 BC 边上的中线，分别以ABE边、 AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图5-2， 求证 EF 2AD。六、截长补短法作帮助线。例如：已知如图6-1

10、 ：在 ABC 中， AB AC， 1 2，P 为 AD上任一点。求证： ABAC PBPC。分析：要证： AB AC PB PC，想到利用三角形三B边关系定理证之，由于欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB AC，故可在 ABE图51FADC图52可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上截取 AN 等于 AC，得 AB AC BN， 再连接 PN，就 PC PN，又在 PNB中， PB PN BN，即： AB AC PB PC。证明：（截长法）在 AB上截取 AN AC连接 PN ,在 APN和 APC中ANAC 帮助线的作法 12已知 APAP公共边 A

11、PN APC （ SAS） PC PN （全等三角形对应边相等）在 BPN中，有 PB PN BN（三角形两边之差小于第三边） BP PCAB AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：（补短法）延长 AC 至 M，使 AM AB，连接PM，A在 ABP和 AMP中1 2ABAM 帮助线的作法 P12已知 NDCAPAP公共边 M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ABP AMP （ SAS） PB PM（全等三角形对应边相等）B图61可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又在 PCM中有： CM PM PC三角形两边之差小于第三边 AB ACPB PC

12、。七、延长已知边构造三角形：例如：如图7-1 ：已知 AC BD， AD AC于 A ， BC BD于 B，求证： AD BC分析：欲证 AD BC，先证分别含有 AD， BC的三角形全等，有几种方案：ADC与 BCD， AOD与 BOC， ABD 与 BAC，但依据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。证明 ：分别延长 DA， CB，它们的延长交于E 点， AD ACBC BD（已知）E CAE DBE 90 （垂直的定义） 在 DBE与 CAE中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EDBEE公共角BCAE已证 A可编辑资料 -

13、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结BDAC已知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 DBE CAE（ AAS） EDEC EBEA （全等三角形对应边相等） EDEA ECEB即： AD BC。ODC图71可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（当条件不足时，可通过添加帮助线得出新的条件，为证题制造条件。） 八 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图8-1 ： AB CD， ADBC求证： AB=CD。分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关学问，必需把它转化为三角形来解决。证明 ：连接 AC（或 BD） AB CD AD BC（已知） 1

14、2， 3 4（两直线平行，内错角相等）在 ABC与 CDA中AD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1AC 32已证 13CA公共边 4已证 42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ABC CDA（ASA）BC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 AB CD（全等三角形对应边相等）九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。图81可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例如：如图9-1 ：在 Rt ABC中， AB AC， BAC90， 1 2，CE BD的延长于 E 。求证： BD 2CE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析

15、： 要证 BD 2CE，想到要构造线段2CE，同时 CE 与 ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。证明：分别延长 BA， CE交于点 F。F BE CF（已知） BEF BEC 90 （垂直的定义）AE在 BEF与 BEC中，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 BE2已知D1BE公共边 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BEFBEC已证1BC图91可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BEF BEC（ ASA） CE=FE=2CF（全可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等三角形对应边相等） BAC=90 BE CF （已知） BAC C

16、AF 90 1 BDA 90 1 BFC 90 BDA BFC在 ABD与 ACF中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BACCAF已证 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BDABFC 已证ABAC 已知 ABD ACF（ AAS） BD CF （全等三角形对应边相等）BD 2CE十、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图10-1 。 AC、BD 相交于 O 点，且 ABDC， ACBD，求证： AD。分析：要证 A D，可证它们所在的三角形ABO 和 DCO全等，而只有AB DC和对顶角两个条件，差一个条件，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB DC

17、，AC BD，如连接 BC，就 ABC和 DCB全等，所以，证得 A D。证明：连接 BC，在 ABC和 DCB中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABAC BCDC 已知 ADODB 已知 CB公共边 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ABC DCB SSS A D 全等三角形对应边相等 B十一、取线段中点构造全等三有形。例如：如图11-1 ： AB DC， A D 求证： ABC DCB。C图101可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：由 AB DC， A D，想到如取 AD的中点 N，连接 NB， NC，再由 SAS公理有 ABN DCN，故

18、 BN CN， ABN DCN。下面只需证NBC NCB，再取BC 的中点M，连接 MN，就由 SSS公理有 NBM NCM，所以 NBC NCB。问题得证。证明：取 AD，BC 的中点 N、M，连接 NB，NM， NC。就 AN=DN，BM=CM，在 ABN 和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ANDCN中A ABDN 帮助线的作法D 已知 DC 已知 ABN DCN （ SAS）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ABN DCNNBNC （全等三角形对应边、角相等） 在 NBM与 NCM中NBNC 已证 AND可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 B

19、M CM 帮助线的作法 NMNM 公共边 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 NMB NCM， SSS NBC NCB （全等三角形对应角B相等） NBC ABN NCB DCN即 ABC DCB。巧求三角形中线段的比值MC图111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1.如图 1，在 ABC中， BD： DC 1： 3， AE：ED2：3，求 AF：FC。解：过点 D作 DG/AC，交 BF于点 G所以 DG：FCBD： BC由于 BD： DC1：3 所以 BD：BC 1：4 即 DG： FC1：4， FC4DG由于 DG： AFDE：AE又由于 AE： ED2：

20、3 所以 DG： AF 3：2即所以 AF：FC：4DG1：6例 2.如图 2， BCCD，AF FC，求 EF：FD解：过点 C作 CG/DE交 AB于点 G，就有 EF：GC AF：AC由于 AF FC所以 AF：AC 1： 2 即 EF： GC1：2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 CG：DE BC：BD又由于 BCCD所以 BC： BD1：2CG： DE1：2 即 DE2GC由于 FD EDEF所以 EF：FD小结：以上两例中，帮助线都作在了“已知”条件中显现的两条已知线段的交点处，且所作的帮助线与结论中显现的线段平行。请再看两例，让我们感受其中的奥妙！例 3.如图

21、 3， BD：DC1：3，AE： EB2：3，求 AF：FD。解：过点 B 作 BG/AD，交 CE延长线于点 G。所以 DF：BGCD： CB由于 BD： DC1：3 所以 CD：CB 3：4 即 DF： BG3：4由于 AF：BGAE： EB又由于 AE：EB2： 3所以 AF： BG2：3 即所以 AF： DF例 4.如图 4， BD：DC1：3，AF FD，求 EF：FC。图 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：过点 D作 DG/CE，交 AB于点 G所以 EF： DGAF：AD由于 AF FD所以 AF：AD 1： 2即 EF：DG1：2由于 DG： CEBD：BC又由于 BD：CD 1： 3所以 BD： BC1：4即 DG：CE1：4 CE4DG由于 FC CEEF所以 EF： FC 1： 7练习：1.如图 5，BD DC，AE：ED 1： 5，求 AF： FB。2.如图 6，AD： DB1：3，AE：EC3：1，求 BF： FC。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： 1. 1 ：10。 2. 9 ： 1可编辑资料 - - - 欢迎下载