不等式及不等式选讲 .docx

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1、精品名师归纳总结概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结不等式及不等式选讲（ 4-5 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一不等式的性质 ：1. 同向不等式可以相加。 异向不等式变向相加 ：如 abc,d,就 a c b d（如ab, cd ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 a cbd ）,但异向不等式不行以直接相加。同向不等式不行以相减。2. 左右同正不等式：同向的不等式可以相乘,但不能相除。 异向不等式取倒相乘 ,但不能可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结相除：如 ab0, cd0 ,就 acbd （如 ab0,0cd ,就 a1b1 ）。可编辑

2、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：如 ab0 ,就 anbn 或 n an b 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 如ab0 , ab ,就 11 。如 abab0 , ab ,就 11 。如ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） 对于实数 a, b, c 中,给出以下命题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如ab, 就ac 2bc 2 。 如ac2bc2 ,就ab 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如ab0, 就a

3、 2abb 2 。 如ab0,就 11 。ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如ab0, 就baa 。 如abb0,就ab 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如caab0, 就cab。 如ab, 11 cbab,就 a0, b0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中正确的命题是 （答：）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 已知 1xy1 ,1xy3 ,就 3xy 的取值范畴是 （答： 13xy7 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二不等式大小比较的常用方法 ：1. 作差：作差后通过分解因式、配方等手段

4、判定差的符号得出结果。2. 作商（常用于分数指数幂的代数式） 。3. 分析法。4. 平方法。5. 分子（或分母）有理化。6. 利用函数的单调性。7. 查找中间量或放缩法。8. 图象法。 其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） 设 a0且a1, t0 ,比较1 loga2t和 log at1 的大小2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（答：当 a1时, 1 logtlogt1t1时取等号）。当 0a1时, 1 logtlogt1t1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时取等号）。aa（22aa（22可编辑资料 -

5、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 设 a2 , pa1, qa22 a24a 2 ,试比较p, q的大小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（答： pq ）。（3） 比较 1+ log x 3 与 2 log x2 x0且x1 的大小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（答：当 0x1或 x4 时,1+ log3x 3 2log x 2 。当1x4 时,1+ logx343 2log x 2 。当 x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时, 1+ log x 3 2log x 2 ）三利用基本不等式求函数最值时,你是否留意到： “一正二定三相等,和

6、定积最大,积定和最小”这 17 字方针。 如（1） ）以下命题中正确选项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A、 yx12xB、 yx的最小值是 23的最小值是 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C、 yD、 yx223x23x24 x x4 x x0 的最大值是 2430 的最小值是 243（答： C）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ）如 x2y1 ,就 2x4y 的最小值是 （答： 22 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） ） 正数x, y 满意 x2 y1,就 1x1 的最小值为 y（答： 322 ）。可编辑资

7、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四. 常用不等式 有：（1）a 2b22abab 22 依据目标不等式左右的运算结构选用 。11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）a、b、cR, a 2b 2c2ababbcca （当且仅当 abc 时,取等号 本质就是排序不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结你看出来了吗？ ）。（3）如 ab0, m0 ,就 bbmaam（糖水的浓度问题）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 假如正数 a 、 b 满意 abab3 ,就 ab 的取值范畴是 （答： 9,）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

8、结五证明不等式的方法 ：比较法、分析法、综合法和放缩法 比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判定符号或与1 的大小,然后作出结论。 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结常用的放缩技巧有：1111111nn1nn1n2nn1n1n（ 裂项法）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k1k111kk1 （ 有理化）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k1k2kk1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如（ 1）已知 abc ,求证：a 2 bb 2 cc 2 aab 2bc 2ca 2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

9、归纳总结2已知a,b, cR ,求证：a 2b 2b 2 c 2c 2 a 2abc abc 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） 已知 a, b, x,yR ,且 11 , xy ,求证：xy。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abxayb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 如 a、b、c 是不全相等的正数,求证： lg ab2lg bc 2lg ca 2lg alg blg c。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（5） 已知 a, b, cR ,求证：a 2b 2b 2c2c2 a2abc abc 。可编辑资料 - - - 欢

10、迎下载精品名师归纳总结6 如nN*,求证： n121n1n21n 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7 已知| a | |b | ,求证： | a |b | a |b | 。| ab | ab |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（8）求证： 11112 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2232n2六简洁的一元高次不等式的解法 ：根轴法：其步骤是：（ 1）分解成如干个一次因式的积, 并使每一个因式中最高次项的系数为正 。（2）将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右可编辑资料 - - - 欢迎下

11、载精品名师归纳总结2上方依次通过每一点画曲线。并留意 奇穿偶不穿 。（3）依据曲线显现写出不等式的解集。 如f x的符号变化规律,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）解不等式 x1x20 。（答： x | x1 或x2 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 不等式 x2x22x30 的解集是 （答： x | x3 或 x1 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） 设函数f x 、g x的定义域都是 R,且f x0 的解集为 x |1x2 ,gx0 的解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

12、名师归纳总结集为,就不等式f xg x0 的解集为 （答： ,12, ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4） 要使满意关于 x 的不等式2 x 29xa0 （解集非空）的每一个 x 的值至少满意不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 24 x30和x 26 x80 中的一个,就实数 a 的取值范畴是.（答：7,81 ） 8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结七分式不等式的解法 ：分式不等式的一般解题思路是 先移项 使右边为 0,再通分并将分子分母分解因式, 并使每一个因式中最高次项 的系数为正 ,最终用根轴法求解。解分式不等式时, 一般不能去分

13、母,但 分母恒为正或恒为负时可去分母 （或者说在已知条件给出的范畴内分母符号可判定,也可去分母） 。如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2（1） 解不等式5x1x2x3（答： 1,12,3 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ） 关于 x 的不等式 axb0 的解集为1, ,就关于 x 的不等式axbx20 的解集为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结八肯定值不等式的解法 ：（答： , 12, ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 零点分段法（ 最终结果应取各段的并集 ）：如解

14、不等式 | 22. 利用肯定值的定义。3 x |42| x1 | 2（答： xR）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 数形结合。 如解不等式 | x | x4. 两边平方： 如1|3（答： ,12, ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如不等式 | 3x2 | | 2xa |对 xR恒成立,就实数 a 的取值范畴为。（答： 4 ）3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结九含参不等式的解法 ：求解的通法是“ 定义域为前提,函数增减性为基础,分类争论是关键 ”留意解完之后要写上： “综上,原不等式的解集是” 。留意：按参数争论,最终应按参数取值分别说明其

15、解集。 但如按未知数争论, 最终应求并集即 争论变量一样时先交后并, 否就不予交并 .如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2（1） 如 log a31 ,就 a 的取值范畴是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（答： a1 或0aax22 ）。3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 解不等式ax1xaR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（答： a0 时, x | x0 。 a0 时, x | x1 或 x a0 。 a0 时, x | 1ax0 或 x0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下

16、载精品名师归纳总结提示：（1）解不等式是求不等式的解集,最终务必有集合的形式表示。（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范畴的端点值。如关于 x 的不等式 axb0的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解集为 ,1,就不等式 x2axb0 的解集为（答：（ 1,2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结十含肯定值不等式的性质：a、b 同号或有 0| ab | | a |b |a、b 异号或有 0|ab | | a | b |a | b | | ab |。| a | b | | ab |.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如设 f xx

17、2x13 ,实数 a 满意| xa |1 ,求证： |f xf a |2| a |1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结十一不等式的（恒成立、能成立、恰成立）等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分别变量法”转化为最值问题,也可抓住宅给不等式的结构特点, 利用数形结合法）1). 恒成立问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如不等式 fx如不等式 fxA在区间 D 上恒成立 , 就等价于在区间 D 上B 在区间 D 上恒成立 , 就等价于在区间 D 上fx minAfx maxB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如（ 1）设实数x

18、, y 满意 x2 y121,当xyc0 时, c 的取值范畴是 （答：21,）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 不等式 x4x3a 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范畴 （答： a1 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） 如不等式 2x1mx21) 对满意 m2 的全部 m 都成立,就 x 的取值范畴 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 n 1（答：（71 ,31 ）。22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4）

19、 如不等式 1 n a2对于任意正整数 n 恒成立,就实数 a 的取值范畴是 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（答：32, ）。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（5） 如不等式x22mx2m10 对0x1的全部实数 x 都成立,求 m 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2). 能成立问题（答： m1 ）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f xA成立, 就等价于在区间 D 上 fxmaxA 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如在区间 D 上存在实数 x 使不等式

20、 f xB 成立, 就等价于在区间 D 上的fx minB . 如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知不等式 x4x3a 在实数集 R 上的解集不是空集,求实数 a 的取值范畴 （答： a1 ）3). 恰成立问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如不等式 fx如不等式 fxA在区间 D 上恰成立 ,就等价于不等式 fx B 在区间 D 上恰成立 ,就等价于不等式 fxA 的解集为 D 。B 的解集为 D .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结十二二维柯西不等式1. 定理 1 （代数形式）：如 a、b、c、

21、 dR ,就a2 b22 d2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c ac bd（当且仅当 adbc 时,等号成立）20如 已知 2x 4y 3,就 x2 y2 的最小值是（答： 9 ）【析】 x2 y2 x2 y24 16 1 1 x2 y42 9 .当且仅当 4x 2y,即 y 2x,即 x 3 ,y3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结20202010 5时等号成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 定理 2 （向量形式）：设 、是两个向量,就 | |（当且仅当 是零向量或存在实数k,使 k时即 共线,等号成立）11223. 定理 3 （三

22、角形式）：设 x1, y1, x2, y2 R,那么x2 y2x2 y2x1 x2 2 y1 y2 220（ 当且仅当 P1 x1, y1, P2x2, y2,O 0,0三点共线且 P1, P2 在 O 两侧 时,等号成立） 例 已知 2x 4y 3,就 x2 y2 的最小值是（答： 9 ）十三排序不等式1. 次序和、乱序和、反序和的概念设 a1 a2 a3 an, b1 b2 b3 bn 为两组实数, c1, c2, cn 是 b1, b2, bn 的任一排列,就称 ai 与 bi i 1,2 ,n 的相同次序相乘所得积的和 a1b1 a2b2 anbn 为次序和, 和 a1c1 a2c2

23、ancn 为乱序和,相反次序相乘所得积的和a1bn a2bn 1 anb1 称为反序和2. 排序不等式 排序原理 设 a1 a2 an, b1 b2 bn 为两组实数, c1, c2, cn 是 b1, b2, bn 的任一排列,就a1bn a2bn 1 anb1 a1c1 a2c2 an cna1 b2a2 b2 anbn,当且仅当 a1 a2 an 或 b1 b2 bn 时,反序和等于次序和,此不等式简记为反序和乱序和次序和 2 2 c2 2 a2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 已知 a、b、c 是正数,求证： b ca a bcb abc.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（提示：不妨先证b2c2 c2a2 a2b2abc2 ab2c a2bc）十四数学归纳法一般的,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0 的全部正整数 n 都成立时,可以用以下两个步骤：(1) 证明当 nn0 时命题成立。 （n0 不肯定是 1,指适合命题的第一个正整数,不是肯定从1 开头）(2) 假设当 nkk N *, k n0时命题成立,证明_n k 1 时命题也成立在完成了这两个步骤后,就肯定命题对于不小于n0 的全部正整数都成立,这种证明方法称为数学归纳法如 用数学归纳法证明： 3n1 7n 1 能被 9 整除 n N *可编辑资料 - - - 欢迎下载