东北师大附属中学高三第一轮复习教案不等式选讲.docx

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1、精品名师归纳总结一、基本学问点： 阅读选讲 4-5 1. 含有参数不等式的解法例 1: 解关于 x 的不等式x24 mx4m 2m3x2 m m3 解：原不等式等价于|x2 m|m3当m30即m3时x2 mm3 或x3 m3 或xm36 当m30即m3时| x6|0x当m30即m3时x R。2例 2、解关于 x 的不等式cotx23x2,1 0解：当cot1即0,4 时x23 x20x2 或 x1 当cot1即 =4时x 201x0,即x 在（ -1,1）上是增函数。5 、能成立问题 部分成立 （存在性问题）如在区间 D 上存在实数 x 使不等式 fxA 成立 , 即 fxA 在区间 D 上能

2、成立 , fx m ax A 。如在区间 D 上存在实数 x 使不等式 fxA 成立 , 即 fxA 在区间 D 上能成立 , xfx min1 0x1或 1xa,a如 0a1 时122xm0x当 m=1 时22x1 20x 1log2m当 0m1 时m2 2x12当 m0 时x0 （8）、反证法：但对于一些较复杂的不等式,有时很难直接入手求证,这 时可考虑接受间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从 正面确定论题的真实性,而是证明它的反论题为假,或转而证 明它的等价命题为真,以间接的达到目的。其中,反证法是间 接证明的一种基本方法。反证法在于说明：如确定命题的条件而否定其结论,就会 p 就

3、 q” ,而 导致冲突。具体的说,反证法不直接证明命题“ 如 是先确定命题的条件 p,并否定命题的结论 q,然后通过合理的规律推理,而得到矛 盾,从而确定原先的结论是正确的。利用反证法证明不等式,一般有下面几个步骤：第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论。于是原证不等其次步作出与所证不等式相反的假定。第三步从条件和假定动身,应用证确的推理方法,推出冲突结果。第四步确定产生冲突结果的缘由,在于开头所作的假定不正确,式成立。例 1、设二次函数fxx2pxq,求证：f,1f2 ,f 3 中至少有一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不小于1. f1 ,f2 ,f3 都小于1 ,就 2

4、（1）2证明：假设f 12f 2 f 3 .2另一方面,由确定值不等式的性质,有f1 2f22 f3 pf1 2f2f3 2（2）1pq42q93pq（1）、（2）两式的结果冲突,所以假设不成立,原先的结论正确。留意 ：诸如本例中的问题,当要证明几个代数式中,至少有一个中意某个不等式 时,通常接受反证法进行。议一议 ：一般来说, 利用反证法证明不等式的第三步所称的冲突结果,通常是指 所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式,以及与临时假定矛 盾等各种情形。试依据上述两例,争辩查找冲突的手段、方法有什么特点？例 2、设 0 a, b, c 1, 1 bc 1, 1 ca 1, 4

5、44就三式相乘： ab 1 ab.1 bc.1 ca 164又 0 a, b, c 1 0 1a a 1a a2124同理： 1b b1, 1c c144以上三式相乘：1 aa.1 bb.1 cc1与冲突64原式成立（9）、不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式所谓放缩法,即是把要证的不等式一边适当的放大（或缩小）,使之得出明显的 不等量关系后,再应用不等量大、小的传递性,从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法,特别在今后学习高等数学时用处更为广泛。下面我们通过一些简洁例证体会这种方法的基本思想。例 1、如 n 是自然数,求证1111.22 1222 3n2可编辑资料

6、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：12 1 1 1 , k 2 , ,3 4 , , n .k k k 1 k 1 k1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 21 2 3 n 1 1 2 2 3 n 1 n= 1 1 1 1 1 1 1 = 2 1 2 .1 1 2 2 3 n 1 n n留意 ：实际上,我们在证明1 12 2 12 3 12 n 12 2 的过程中,已经得到一个更强的结论1 12 2 12 3 12 n 12 2 1n,这恰恰在确定程度上表达了放缩法的基本思想。例 2、求证：1 1 1 1 1 .31 1 2 1 2 3 1 2 3 n证 明 ： 由1 2 3 1

7、k 1 2 2 12 2 1k 1 ,（ k 是 大 于 2 的 自 然 数 ） 得1 1 1 111 1 2 1 2 3 1 2 3 n11 1 12 2 122 132 1n 1 1 11 21 n32 1n 1 3 .2（ 10）柯西不等式定理 1：（柯西不等式的代数形式）设a,b ,c ,d均为实数,就a2b2c2d2acbd2,其中等号当且仅当adbc时成立。证明：几何意义：设,为平面上以原点 O 为起点的两个非零向量,它们的终点分别为 A（a, b）,B（c, d）,那么它们的数量积为 . ac bd,而 | | a 2b 2,| | c 2d 2,所以柯西不等式的几何意义就是：|

8、 | | | | . |,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。定理 2：（柯西不等式的向量形式）设,为平面上的两个向量,就| | | | | . |,其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。定理 3：（三角形不等式）设x 1,y 1,x2,y2,x3,y3为任意实数,就：x 32y 1y 32x 1x22y 1y 22x 2x32y2y 32x 1分析：摸索：三角形不等式中等号成立的条件是什么？定理 4：（柯西不等式的推广形式）：设 n 为大于 1 的自然数,a , ib i（ i 1,2, ,

9、n n n2 2 2n ）为任意实数,就：a i b i a i b i ,其中等号当且仅当i 1 i 1 i 1b 1 b 2 b n 时成立（当 ia 0 时,商定 ib 0, i 1,2, , n ）。a 1 a 2 a n2 2 2证明：构造二次函数：f x a 1 x b 1 a 2 x b 2 a n x b n n n n2 2 2即构造了一个二次函数：f x a i x 2 a i b i x b ii 1 i 1 i 1由于对任意实数 x ,f x 0 恒成立,就其 0,n n n即：4 a i b i 2 4 a i 2 b i 2 0,i 1 i 1 i 1n n n即：

10、 a i b i 2 a i 2 b i 2,i 1 i 1 i 1等号当且仅当 a 1 x b 1 a 2 x b 2 a n x b n 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即等号当且仅当b 1b2b n时成立（当ia0时,商定ib0, i1,a 1a2a n2, , n ）。假如ia （1in）全为 0,结论明显成立。柯西不等式有两个很好的变式：变式 1 设aiR,bi0i,12 ,n,inai2a i2i,等号成立当且仅当1b ib ib ia i 1in na ia i2,等号成变式 2 设 ai,bi 同号且不为0（i=1,2, , n）,就：1b ia ib i立

11、当且仅当b 1b2bn。（ 11）排序不等式排序不等式的一般情形一般的,设有两组实数：a ,a ,a , ,a 与 b ,b ,b , ,b ,且它们中意：a a a a ,b b b b ,如 1c,c ,c , ,c n是 1b ,b ,b , ,b 的任意一个排列,就和数 a 1 c 1 a 2 c 2 a nc n 在 a ,a ,a , ,a 与 1b ,b ,b , ,b 同序时最大,反序时最小,即：a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n a 1 c 1 a 2 c 2 a n c n a 1 b n a 2 b n 1 a n b 1,等号当且仅当 a 1 a 2 a n

12、 或 b 1 b 2 b n 时成立。分析：用逐步调整法2 2 2 2 2 2例 1、已知 a , b , c 为正数,求证：a b b c c a abc。a b c例 2、设 a ,a ,a , ,a 为正数,求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 12a22a n12a n2a 1a2an。a2a3a na 1（12）数学归纳法数学归纳法 : 是一个递推的数学论证方法,论证的第一步是证明命题在 n1 或n 0 时成立,这是递推的基础。其次步是假设在 nk 时命题成立,再证明 n k1时命题也成立,这是递推的依据。实际上它使命题的正确性突破了有限,达到无限。证明时,关键是

13、k1 步的推证,要有目标意识。1n2。nx。例 1、证明：3 12333n3 1231例 2、设x1,nN*,证明贝努利不等式：xn二、 方法提升：三、 反思感悟：四、 课时作业：1、利用不等式的图形解不等式：x1x11; 3x472、解以下不等式： （1）23x1（2） 1233解不等式：（1）2x1x14解不等式：（1）x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5利用确定值的几何意义,解决问题：要使不等式x4x3a 有解, a 要满足什么条件？6.解关于 x 的不等式x24mx4 m2m32 m m3 c2解：原不等式等价于|x2 m|m3当m30即m3时x2 mm3 或x6

14、 x3 m3 或xm3当m30即m3时| x6|0xcd当m30即m3时x R。7、如 a, b, c, dR +,求证：1aad cbba dcbcdbda证：记 m =aaba, b, c, dR+ bdbcacdbdacmabacdabbcacdcabdadbc1maababbccdddc21 m 2 时,求证：lognn1lognn1 10证： n 2 lognn1 0,lognn1 lognn1 lognn1 nlognn1 lognn12lognn21 2229、已知n 2 时, lognlognn221|1。211 lognn1 bya2b21,x2y21,求证：|ax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10、设a ,b ,c ,dR,求证：2