中考数学一轮复习学案第讲等腰三角形 .docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第 15 讲等腰三角形【考纲要求】1明白等腰三角形的有关概念，把握其性质及判定2明白等边三角形的有关概念，把握其性质及判定3把握线段垂直平分线的性质及判定4把握角平分线的性质及判定.【命题趋势】等腰三角形的概念、性质、判定是中考的重点内容，在挑选题、填空题、解答题中均有显现。等边三角形、线段的垂直平分线及角的平分线在中考中也常常考查.【考点探究】考点一、等腰三角形的性质与判定【例 1】已知：点O 到 ABC 的两边 AB， AC 所在直线的距离相等，且OB OC .1如图甲，如点O 在边 BC 上，求证：

2、 AB AC。解： 1证明：过点O 分别作 OEAB，OF AC， E，F 分别是垂足，由题意知，OE OF ，OB OC， RtOEB Rt OFC， B C，从而 ABAC.2证明：过点O 分别作 OEAB ，OF AC， E，F 分别是垂足，由题意知，OE OF .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -在 RtOEB 和 RtOFC 中，

3、 OE OF ，OBOC ， RtOEB Rt OFC . OBE OCF .又由 OB OC 知 OBC OCB， ABC ACB ， AB AC.3不肯定成立当 A 的平分线所在直线与边BC 的垂直平分线重合时，有AB AC。否就， ABAC，如示例图方法总结1要证明一个三角形为等腰三角形，须证明这个三角形的两条边相等或两个角相等，两种方法往往都需要证明三角形全等2如三角形中显现了高线、中线或角平分线，有时可以延长某些线段，构造出等腰三角形，然后用 “三线合一 ”性质去处理触类旁通1 如图，已知AC BC， BD AD，AC 与 BD 交于 O， AC BD .可编辑资料 - - - 欢迎

4、下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -求证： 1BC AD 。2 OAB 是等腰三角形考点二、等边三角形的性质与判定【例 2】1如图甲，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD ，连接 AC 和 BD ，相交于点 E，连接 BC.求 AEB 的大小2如图乙， OAB 固定不动，保持OCD 的外

5、形和大小不变，将OCD 围着点 O 旋转 OAB 和 OCD 不能重叠 ，求 AEB 的大小分析： 解决等边三角形问题时，要充分利用等边三角形三边相等、三个角都等于60的性质全等是解决这类问题最常见的方法解： 1如图甲图甲可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - DOC 和 ABO 都是等边三角形，且点O 是线段 AD 的中点， OD OC OB

6、 OA， 1 2 60， 4 5.又 4 5 2 60， 4 30.同理， 6 30. AEB 4 6， AEB 60.2如图乙图乙 DOC 和 ABO 都是等边三角形， OD OC， OB OA， 1 2 60.又 OD OA， OD OB， OA OC， 4 5， 6 7. DOB 1 3， AOC 2 3， DOB AOC . 4 5 DOB 180， 6 7 AOC 180， 2 5 2 6， 5 6.又 AEB 8 5， 8 2 6， AEB 2 5 5 2， AEB60.方法总结1等边三角形的各边相等，各角相等，所以常利用其证明三角形全等或线段及角相等2等边三角形重心、内心、外心、

7、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心四心合一 触类旁通2已知，如图，延长ABC 的各边，使得BF AC， AE CD AB，顺次连接 D ， E， F，得到 DEF 为等边三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -求证： 1 AEF CDE 。2 ABC 为等边三角形 考点三、线段的垂直平分线【例 3】如图， ABC 的周长为 30 cm，把

8、 ABC 的边 AC 对折，使顶点C 和点 A 重合，折痕交 BC 边于点 D，交 AC 边于点 E，连接 AD，如 AE4 cm ，就 ABD 的周长是 A 22 cmB 20 cmC 18 cmD 15 cm解析： 由题意可知DE为 AC 的垂直平分线，所以AD CD ， AC 2AE 8 cm.由于ABC 的周长为 30 cm，所以 AB BCAC 30 cm，所以 AB BC 22 cm. 所以 ABD 的周长为 AB BD AD ABBC 22 cm.答案： A方法总结1线段垂直平分线的性质有两个：1线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。2线段垂直平分线垂直、平分这条线段2线

9、段垂直平分线的性质定理在中考中常以挑选题、填空题的形式显现，且常与三角形的周长结合命题触类旁通3如图，在Rt ABC 中， C90， CAB 的平分线AD 交 BC 于 D，如DE 垂直平分AB，求 B 的度数考点四、角的平分线【例 4】如图，已知CD AB 于点 D ，BEAC 于点 E，且 CD ， BE 相交于点 O.求 证 ： 1 当 1 2 时 ， OB OC 。 2当 OBOC 时， 1 2.证明： 1 1 2，CD AB， BE AC， OE OD .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页

10、 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - 3 4， CEO BDO 90， OEC ODB . OB OC .2 3 4， CEO BDO 90， OBOC ， OEC ODB . OE OD . CD AB ，BE AC， OA 平分 CAB. 1 2.方法总结在解决有关角平分线的问题时通常做法是过角平分线上一点作角的两边的垂线触类旁通4如图， OP 平分 AOB ， PA OA， PB OB，垂足分别为 A， B.以下结论中不肯定成立的是A PA PBB PO 平分 A

11、PBCOA OBD AB 垂直平分 OP【经典考题】1 2021 铜仁 如图，在 ABC中， ABC 和 ACB的平分线交于点E，过点E 作MN BC 交 AB 于 M，交 AC 于 N，如 BM CN 9，就线段 MN 的长为 A 6B 7C 8D 92 2021 南昌 如等腰三角形的顶角为80，就它的底角是 A 20B 50C 60D 803 浙江宁波 如图， AEBD，C 是 BD 上的点，且AB BC， ACD 110 ，就 EAB 度4 2021 广州 如图，在等边ABC 中， AB 6， D 是BC 上一点，且BC 3BD ，ABD 绕点 A 旋转后得到 ACE ，就 CE 的长度

12、为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -求证： 1 ABD ACD 。2BECE .【模拟猜测】1如图，坐标平面内有一点A2， 1 ，O 为原点， P 是 x 轴上的一个动点，假如以点 P， O， A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P 的个数为 A 2B 3C 4D 52如下列图，A，B， C 分别表示三个村庄，AB 1 00

13、0 米， BC 600 米， AC 800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，就活动中心P 的位置应在 A AB 中点BBC 中点CAC 中点D C 的平分线与AB 的交点3在 ABC 中， B 和 C 的平分线交于点F ，过点 F 作 DF BC，交 AB 于点 D，交AC 于点 E，如 BD CE 9，就线段DE 的长为 A 9B 8C 7D 64如图， P， Q 是 ABC 边 BC 上的两点，且QC APAQ BP PQ，就 BAC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - -

14、 - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -A 125 B 130 C 90D 120 5如图，在 ABC 中， BC 8，AB 的中垂线交BC 于点 D， AC 的中垂线交BC 于点E，就 ADE 的周长等于 6如图，已知ABC 是等边三角形，点B，C， D， E 在同始终线上，且CG CD ， DF DE，就 E 度7已知等腰 ABC 的周长为10，如设腰长为x，就 x 的取值范畴是 8如下列图，在ABC 中， D， E 分别是边

15、AC， AB 上的点， BD 与 CE 交于点 O，给出以下三个条件： EBO DCO 。 BEO CDO 。 BE CD .1上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC 是等腰三角形用序号写出全部情形。2挑选第 1 小题中的一种情形，证明ABC 是等腰三角形参考答案【考点探究】触类旁通1证明： 1 ACBC， BD AD ， D C 90.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - -

16、 - - - - - - - -在 RtACB 和 Rt BDA 中， AB BA，AC BD， ACB BDA HL BC AD .2由 ACB BDA 得 CAB DBA . OAB 是等腰三角形触类旁通2证明： 1 BF AC，AB AE， FA EC. DEF 是等边三角形，EF DE .又 AE CD ， AEF CDE .2由 AEF CDE ，得 FEA EDC . BCA EDC DEC FEA DEC DEF ， DEF 是等边三角形， DEF 60， BCA 60.同理可得 BAC 60. ABC 中， AB BC. ABC 是等边三角形触类旁通3 解： AD 平分 CAB

17、， CAD BAD . DE 垂直平分 AB， AD BD， B BAD . CAD BAD B.在 Rt ABC 中， C90， CAD DAE B 90. B 30.触类旁通4 D【经典考题】1 D ABC， ACB 的平分线相交于点E， MBE EBC， ECN ECB. MN BC， EBC MEB ， NEC ECB， MBE MEB ， NEC ECN， BM ME ，ENCN . MN ME EN，即 MN BM CN. BM CN 9， MN 9，应选 D.2 B由于等腰三角形的顶角为80，所以底角180 80 2 50.3 40 AB BC， ACB BAC.可编辑资料 -

18、- - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - ACD 110， ACB BAC 70， B 40. AEBD ， EAB B 40.4 2在等边三角形ABC 中， AB 6， BCAB 6.3 BC 3BD， BD 1BC 2. ABD 绕点 A 旋转后得到ACE， ABD ACE， CE BD 2. 5证明： AE 平分 DAC ， 1 2. AEBC， 1 B，

19、 2 C， B C， AB AC.6证明： 1在 ABD 和 ACD 中， D 是 BC 的中点，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BD CDAB AC AD AD. ABC ACD SSS可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2由1 知 ABD ACD ， BAD CAD ， 即 BAE CAE.在 ABE 和 ACE 中，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABACBAE CAD AE AE. ABE ACESAS 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BE CE.【模拟猜测】1 C由于 x 轴负半轴有一个点，x 轴正半轴有三个点，所以符合

20、条件的动点P 的个数为 4.2 A3 A BF 平分 ABC，如图， ABF CBF . CF 平分 ACB，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - ACF BCF . DF BC， DFB CBF ， EFC BCF . ABF DFB ， ACF EFC . BD DF ，EF CE. DE DF EF BD CE 9. 4 D5 8由于

21、 ADE 的周长 AD DE AE BD DE EC 8.6 157 5x 5由三角形的三边关系得10 2x0，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8 解： 1 。 . 2 .证明： EBO DCO ， EOB DOC ， BE CD ， BEO CDO . OBOC . OBC OCB. EBO OBC DCO OCB ， 即 ABC ACB .ABAC . ABC 为等腰三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载