中考数学综合题专题复习圆专题解析 .docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -中考数学综合题专题复习【圆】 专题解析一.教学内容：1. 圆的内容包括： 圆的有关概念和基本性质，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆。2. 主要定理：（ 1）垂径定理及其推论。（ 2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。（ 3）圆周角定理、弦切角定理及其推论。（ 4）圆内接四边形的性质定理及其推论。（ 5）切线的性质及判定。（ 6）切线长定理。（ 7）相交弦、切割线、割线定理。（ 8）两圆连心线的性质，两圆的公切线性质。（ 9）圆周长、弧长。圆、扇形，弓形面积。（ 10）圆柱、圆锥侧面绽

2、开图及面积运算。（ 11）正 n 边形的有关运算。二.中考聚焦：圆这一章学问在中考试题中所占的分数比例大约如下表：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结内容圆的有关性质直线和圆的位置关系圆与圆的位置关系正多边形和圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所占分数百分比5%15%8% 16%3%12%2%8%圆的学问在中考中所占的比例大，题型多， 常见的有填空题、 挑选题、 运算题或证明题，近年仍显现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题， 中考的压轴题都综合了圆的学问。三.学问框图：圆的有关性质直线和圆的位置关系圆圆和圆的位置关系正多边形和圆可编辑资料 - - - 欢迎下载

3、精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 27 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结圆的定义点和圆的位置关系（这是重点） 不在同始终线上的三点确定一个圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结圆的有关性质圆的有关性质轴对称性垂径定理（这是重点）圆心角、弧、弦、弦心距间的关系圆心角定理旋转不变性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结圆周角定理（这是重点）圆内

4、接四边形（这是重点）相离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线和圆的位置关系相交切线的性质（这是重点）切线的判定（这是重点）相切弦切角（这是重点）和圆有关的比例线段（这是重点难点）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结圆和圆的位置关系外离内含相交内切（这是重点）相切外切（这是重点）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两圆的公切线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正多边形和圆正多边形和圆圆的有关运算正多边形定义正多边形和圆正多边形的判定及性质正多边形的有关运算（这是重点）圆周长、弧长（这是重点）圆、

5、扇形、弓形面积（这是重点） 圆柱、圆锥侧面绽开图（这是重点）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【典型例题】【例 1】.爆破时， 导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m 是否安全？分析： 爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m 为半径的圆的外部，如下列图：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 27 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

6、资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -安O120m全区爆破中心域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：导火索燃烧的时间为180.920 s可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结相同时间内，人跑的路程为206.5130 m人跑的路程 130m120m点导火索的人特别安全【例 2】.已知梯形ABCD内接于 O，AB CD， O 的半径为4，AB 6， CD 2，求梯形ABCD的面积。分析： 要求梯形面积必需先求梯形的高，即弦AB、CD间距离，为此要构造直角三角形利用勾股定理求高。为了便于运用垂径定理，故作OE CD于 E，延长 EO交 A

7、B 于 F，证 OF AB。此题简单显现丢解的情形，要留意分情形争论。解： 分两种情形争论：（ 1）当弦 AB、CD分别在圆心O的两侧时，如图（1）：过 O作 OE CD于 E，延长 EO交 AB于 F连 OC、OB，就 CE DE ABCD， OECD OFAB，即 EF 为梯形 ABCD的高在 Rt OEC中， EC 1， OC 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OEOC2EC 2421215可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同理， OF7EFOEOF157可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S梯形 ABCD1261574157415472可编辑资

8、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）当弦 AB、CD在圆心 O的同侧时，如图（2）：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 27 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -过 O作 OE CD于 E，交 AB于 F以下证法同（1），略。EF157可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S梯形 ABCD1261574157415472可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

9、纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结梯形 ABCD的面积为4157或4157可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 3】.如图，已知AB为 O的直径， P 是 OB的中点，求tanC tanD 的值。分析： 为了求 tanC tanD 的值，需要分别构造出含有C 和 D的两个直角三角形。而AB 是直径，为我们查找直角制造了条件。连BC、BD，就得到Rt ACB和 Rt ADB。可以发觉 ACD ABD， ADC ABC，于是，可以把tanC tanD 转化为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan ABD tan ABCAD ACBDBCAD AC

10、 BD BC，就可求。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 连结 BC、BD AB是 O的直径， ACB ADB 90 ACD ABD， ADC ABC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan Ctan Dtan ABD tan ABCAD BD ACBCAD AC BD BC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作 AE CD于 E，作 BF CD于 F就 AEC ADBACABAEAD ACAD AEAB同理， BD BCBF AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共

11、 27 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan Ctan DAE ABAEBF ABBF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 APE BPF AEAPBFBP P 为半径 OB的中点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 APBP3 ， AE31BF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 tanC tanD 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 4】.如图，ABC 是

12、等边三角形，D是 BC 上任一点，求证：DBDCDA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： 由已知条件，等边ABC可得 60角，依据圆的性质，可得ADB 60，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC。证明： 延长 DB至点 E，使 BE DC，连结 AE ABC是等边三角形 ACB ABC 60， AB AC ADB ACB 60四边形 ABDC是圆内接四边形 ABE ACD在 AEB和 ADC中，BECD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ABE ABAC ACD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AEBADC

13、 AEAD ADB 60 AED是等边三角形 ADDE DBBE BEDC DBDC DA说明：本例也可以用其他方法证明。如：（ 1）延长 DC至 F，使 CF BD，连结 AF，再证 ACF ABD，得出 AD DF，从而 DB CD DA。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 27 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 2）在 DA 上截取 DG DC，连结CG，再证 BDC A

14、GC，得出BDAG，从而DB CD DA。【例 5】 .如图，已知四边形ABCD内接于 O， AB 是直径， AD DC，分别延长BA、 CD交于点 E，BF EC交 EC的延长线于F，如 EAAO， BC12，求 CF 的长。分析： 在 Rt CFB中，已知BC 12，求 CF，故可查找与之相像的直角三角形，列比例式求解。解： 连结 OD， BD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ADDC， ABC AOD ODBCADDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ODEOBCEB EAAO， EA AO BO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BC12， O

15、D122， OD83可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 AB16， BE24四边形 ABCD内接于 O EDA EBC E 是公共角 EDA EBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ADBCEAEDECEB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 AD DC x，ED y，就有xy81224xy解方程组，得： x42AD42 AB为 O的直径 ADB F90 又 DAB FCB Rt ADB Rt CFB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ADAB，即 4216可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CFBCCF12可编辑资料 - -

16、 - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 27 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -CF32说明：与圆有关的问题，大都与相像三角形联系在一起。此题运用了两次相像三角形，找到线段之间的关系， 并且运用了方程的思想解几何问题，这是解几何问题的一种重要方法。【例6】.如图，已知等腰ABC 中， AB AC，以AB 为直径的 O 分别交AC、BC 于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点F、 D，过D作

17、O的切线交FC于E，如 AF 7，cosB3 ，求 CE的长。5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 连结 FD AB是直径， AD BC ABAC， BD DC， FAD DAB四边形 ABDF是圆内接四边形 CFD B C是公共角 ABC DFC CDDFACAB ABAC CDDF（也可以证CFD B， AB AC， B C， C CFD， CD DF。） DE切 O于 D FAD EDF又 CDE EDF FAD DAB CDE DAB CDE EDF CDFD CEEF， DECF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosB3 ， B C5可编辑资料 -

18、- - 欢迎下载精品名师归纳总结cosC35在RtACD 中，cosCCD3AC5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 CD 3x ，AC 5x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 27 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在RtCDE 中，cosCEC ，即 3EC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EC9 x

19、5A CA F2CECD53x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5x718 x5x5 EC9【例 7】.如图， 相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一 圆内接正方形的边。求两圆相交弧间阴影部分的面积。解： 公共弦AB 120a4R 6120可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2rR2a4662120 2602603可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结O60o ， a120， R2 AB602可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1442可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

20、名师归纳总结2rR2a 4442602260290R 260， O 2190o可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SSS4a r18003600可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结弓形 AmB扇形 AO 2 BAO 2B4 43602可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SSS6061 a r240036003可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结弓形 AnB扇形 AO 1 BAO 1B6 6R23602可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S阴

21、影S弓形 AmBS弓形 AnB42003600 13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两圆相交弧间阴影部分的面积为42003600 13cm2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 8】. 一个长方体的香烟盒里，装满大小匀称的20 支香烟。打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（ 1）所示。经测量， 一支香烟的 直径 约为 0.75cm ，长约为 8.4cm。（ 1）试运算烟盒顶盖ABCD的面积（本小题运算结果不取近似值）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - -

22、 - - - -第 8 页，共 27 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，运算结果精确到 0.1cm，3取1.73）解题点拨： 四边形 ABCD中， AD长为 7 支香烟的直径之和，易求。求AB 长，只要运算出如图（ 2）中的 O1E 长即可。解：（ 1）如图（ 2），作 O1EO2O3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结O1O 2O 2 O 3O 3O 10.753 4可编辑资料 - -

23、 - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3O1 E433328可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB233384333 cm3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AD73421 cm4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四边形 ABCD的面积是：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2133344633632cm16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）制作一个烟盒至少需要纸张：可编辑资料 - -

24、 - 欢迎下载精品名师归纳总结2633631633348.421428.4144.096144.1 cm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 9】.在直径为20cm 的圆中，有一弦长为16cm，求它所对的弓形的高。 解： 一小于直径的弦所对的弓形有两个：劣弧弓形与优弧弓形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 27 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -HABC OG如图

25、， HG为 O的直径，且HG AB， AB 16cm， HG20cm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OH10cm， BC1 AB28cm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OCOB 2BC 2102826cm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CHOHOC CGOCOG1064cm 61016cm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故所求弓形的高为4cm或 16cm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 10】. O的直径 AB2cm

26、，过 A点有两条弦AC =2cm， AD3cm，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求： CAD所夹圆内部分的面积。解： 符合题设条件的图形有两种情形：（ 1）圆心 O在 CAD的内部，如图（1），连结 OC、OD，过 O作 OEAD于点 EOAOC1，AC2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 OCAB19011可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S1SAOCS扇形 BOC11236024可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OA1， AE1 AD322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

27、结OE12231 ，即OE221 OA2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SSS1136013可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2AOD扇形 BOD2236046可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 27 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - -

28、- 欢迎下载精品名师归纳总结13SS1S22446235412cm 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）圆心 O在 DAC的外部时，如图（2），有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13SS1S2244623412cm2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 CAD所夹圆的内部的面积为：235412cm 2 或23412cm2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 11】.已知圆O中， AB 、CD 为两条弦，AC 的度数为130o ，BD

29、 的度数为90o ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结M 、N分别为 AB 、CD的中点，求MON 的度数。分析： 由已知条件可知AB、CD弦的位置不确定，所以要分多种情形争论，可分为四种 情形。解：（ 1）当 AB、CD不相交时，且AB、CD在圆心的两侧，如图（1）连结 OD、OB。 M、N 分别是弦AB、CD的中点， OD、OB过圆心 OOM 、ON的延长线平分AB 、 CD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BOM m 12AB ，DON m1 CD2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BOMDON m 1 ABCD 2可编辑资料 - - - 欢迎下

30、载精品名师归纳总结AC 的度数为130， BD 的度数为 90可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CDAB 的度数为 36013090140BOMDON70BOD mBD90MON9070160可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页，共 27 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -图（ 1）（ 2）当 AB、CD不相交，且在圆心O的同侧时，如图（2），连结 OB、OC可编辑资料

31、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结同理可证，BOM m 12AB ，CON m 1 CD2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而MONBOMCONBOC m 1 AD21 CDBC2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 ADDCBCDC BC211 ACBD 130902022图（ 2）（ 3）当 AB、CD相交于点 P，且圆心O在 DPA的内部时，如图（3）， DPA是圆内角，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就DPA m 1 ADBC 21 3602ACBD70可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OMPONP90MON18070110可

32、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图（ 3）（ 4）当 AB、CD相交于点 P，且圆心O在 DPA的外部时，如图（4）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DPA m 1 ADBC 21 ACBD 220，又ONP90可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结NQPMQO902070 ，MON20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上所述，MON的度数为 20或110或160 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页，共 27 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -图（ 4）【例 12】. 已知： 如图， 圆心 A（0，-3 ），圆 A 与 x 轴相切， 圆 B 的圆心 B 在 x 正半轴上， 且圆 B 与圆 A 外切于点P。两圆内公切线MP交 y 轴于点 M，交 x 轴于点 N：（1）求证 AOB NPB。（ 2）设圆 A