二次函数小结与复习教学案2.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载二次函数小结与复习教学案一. 教学内容：二次函数小结与复习二. 重点、难点：1. 重点：体会二次函数的意义，明白二次函数的有关概念。会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴， 并能确定其最值。会运用待定系数法求二次函数的解析式。利用二次函数的学问解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思.2. 难点：二次函数图象的平移。将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.三. 学问梳理：1. 二次函数的概念及图象特点二次函数：假如，那么 y 叫做 x 的二次函数通过配方可写成

2、，它的图象是以直线为对称轴，以为顶点的一条抛物线2. 二次函数的性质值函数的图象及性质开口向上，并且向上无限舒展。 当x 时 ， 函 数 有 最 小 值 0。当 x时，y 随 x 的增大而减小。当 x时，y 随 x 的增大而增大开口向下，并且向下无限舒展。 当x 时 ， 函 数 有 最 大 值 0。当 x当 x时，y 随 x 的增大而增大。时， y 随 x 的增大而减小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料wor

3、d 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载3. 二次函数图象的平移规律抛物线可由抛物线平移得到 . 由于平移时，抛物线上全部的点的移动规律都相同，所以只需争论其顶点移动的情形. 因此有关抛物线的平移问题，需要利用二次函数的顶点式来争论4. 、及的符号与图象的关系a打算抛物线的开口方向。a0. 开口向上。 a 0，开口向下a、b打算抛物线的对称轴的位置：a、b 同号，对称轴（0在 y 轴的左侧。 a、b 异号，对称轴（0）在 y 轴的右侧 .c打算抛物线与y 轴的交点（此时点的横坐标x0）的位置：c0，与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上。 c0，抛物线经

4、过原点。c0，与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上b24ac打算抛物线与x 轴交点的个数：当 b24ac0 时，抛物线与 x 轴有两个交点。当 b24ac0 时，抛物线与 x 轴有一个交点。当 b24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点5. 二次函数解析式的确定用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立的条件，依据不同的条件挑选不同的设法：设一般形式：（ a0）。设顶点形式：（ a0）。设交点式：（a0）.6. 二次函数的应用问题解决实际应用问题的关键是选准变量，建立好二次函数模型， 同时仍要留意符合实际情形 .【典型例题】例 1. 二次函数 y=x2+2x 1 通过向（

5、左、右）平移个单位，再向 （上、下）平移个单位， 便可得到二次函数y=x2 的图象 .分析： y=x2+2x1 的顶点为（ 3，2），y=x2 的顶点为（ 0，0），因此可以依据顶点坐标确定平移的方向和距离.解：y=x2 1=（ x 32 +2，把二次函数 y=21 向左+2x）x +2x平移 3 个单位，再向 下平移 2 个单位，便得到y=x2 的图象例 2. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如下图所示，就以下5 个代数式： ab， ac， ab+c，b2 4ac，2a+b 中，值大于 0 的个数有（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - -

6、- - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载A. 5B. 4C. 3D. 2解析： 抛物线开口向上， a 0.对称轴在 y 轴左侧， a，b 同号.又 a0， b 0.抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，c O.ab0， ac0.抛物线与 x 轴有两个交点， b24ac 0.对称轴 x= 1，b=2a. 2a+b 0当 x=1 时， y=ab+c0. 选 C.例 3. 如图，抛物线 y= x2+2（m+1）x

7、+m+3 与 x 轴交于 A、B 两点，且 OA： OB=3：1，就 m 的值为（）A. B. 0C.或 0D. 1分析：二次函数的图象与x 轴交点的横坐标与点到原点的距离即线段的长度 应区分开，当点 A 在原点右侧时， xA =OA。当点 A 在原点左侧时， xA +OA=0（注： 点 A 在 x 轴上） .解： 设 OB=x，就 OA=3x（x 0），就 B（ x， 0）， A（3x，0）. x，3x 是方程 x2+2（m+1） x+m+3=0 的根， x+3x=2（ m+1）， x3x= m 3.解得 m1=0， m2=.又 x0， m=不合题意 .m=0，因此选 B.例 4. 已知二次

8、函数 y=mx2 +（ m1）x+m 1 有最小值为 0，求 m 的值.分析： 二次函数 y=ax2+bx+c 有最大（小）值a0（a0） .解： 二次函数 y=mx2 +（ m1）x+m+1 有最小值为 0，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载即解得 m=1.例 5. 已知关于 x 的二次函数 y=（m+6） x2+2（

9、m1）x+（ m+1）的图象与 x轴总有交点，求m 的取值范畴 .分析： 这个函数是二次函数，应留意m+6 0 这个条件 .解：二次函数 y=（ m+6）x2+2（ m l）x+（m+1）的图象与 x 轴总有交点，m且 m 6.例 6. 如下列图， 有一条双向大路隧道， 其横断面由抛物线和矩形ABCO 的三边组成，隧道的最大高度为4. 9m，AB=10m，BC=2. 4m.现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中，如有一辆高为4m，宽为 2m 的装有集装箱的汽车要通过隧道.问：假如不考虑其他因素， 汽车的右侧离开隧道右壁多少米才不至于碰隧道顶部？（抛物线部分为隧道顶部，AO 、BC 为壁）分析：

10、由已知条件知，抛物线经过原点O（0，0）、C（ 10， 0），顶点的纵坐标为（ 4. 92. 4）=2. 5. 由此可求出抛物线的关系式，要想使汽车的顶部不遇到隧道的顶部，看y=42. 4=1. 6 时，求出 x 的值 .解：由已知条件知，该抛物线顶点的横坐标为=5，纵坐标为 4. 92. 4=2.5，C 点坐标为（ 0，0），设抛物线的函数关系式为y=a（ x 5）2+2. 5.把（ 0，0）或（ 10，0）代入上式，得0=25a+2. 5. 解得 a=.y=（ x 5） 2+2. 5.当 y=4 2. 4=1. 6 时， 1. 6=（x5）2+2. 5.解得 x1=8，x2=2（不合题意，

11、舍去） .x=8， OC x=108=2（米） .故汽车离开右壁至少2 米，才不会遇到顶部 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载点拨： 将实际问题转化成数学问题时，要留意（1）顶点纵坐标是（ 4. 9 2.4）而不是 4. 9。（2）求出的 x=2 是汽车的右侧离开隧道右壁的距离（由于该隧道是双向的，因此会显现两种情形），

12、如改为“汽车离开隧道壁多少米才不至 于碰隧道顶部”，就x1=2，x2=8 都合题意 .例 7. 今年夏季我国部分的区遭受水灾，空军某部奉命赶赴灾区空投物资。已知在空投物资离开飞机后在空中沿抛物线降落，抛物线的顶点在机舱口A 处，如图.假如空投物资离开A 处后下落的垂直高度AB=160 米时，它到 A 处的水平距离为 BC=200 米，那么要使飞机在垂直高度AO=1000 米的高空进行空投，物资恰好精确落在P 处，飞机距 P 处的水平距离OP 为多少米？假如依据空投时的实际风力和风向测算， 当空投物资离开 A 处的垂直距离为 160 米时，它到 A 处的水平距离为 400 米，要使飞机仍在中 O

13、 点的正上方空投，且使空投物资精确的落在 P 处，那么飞机空投的高度应调整为多少米？分析：中由题意可知抛物线的顶点坐标为（0，1000），点 C 的坐标为（200， 840），因此可设抛物线关系式为y=ax2+1000，再把点 C 的坐标代入即可。由 题意知 C（ 400， h 160），再由 P 点坐标即可求出关系式.解： 由题意知， A（0，1000）， C（200，840）.设抛物线的关系式为y=ax2+1000，把 x=200，y=840 代入上式，得840=a40000+1000. 解得 a=. y=x2+1000.当 y=0 时，x2+1000=0. 解得 x1=500，x2=50

14、0（舍去） .飞机应在距 P 处的水平距离OP=500 米的上空空投物资 .设飞机空投时离的面的高度应调整为h米，就设抛物线的关系式为y=ax2+h.把点 C（ 400，h160）代入上式，得 h 160=a4002+h.解得 a=.y=x2+h. 把 x=500， y=0 代入上式，得 0=5002+h.h250.飞机空投时离的面的高度应调整为250 米.点拨： 已知抛物线的顶点时，可先列出二次函数的顶点式，然后依据条件用待定系数法求函数关系式.例8. 有一个二次函数的图象，三位同学分别说出了它的一些特点： 甲：对称轴是直线x=4。乙：与 x 轴两个交点的横坐标都是整数。可编辑资料 - -

15、- 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载丙：与y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个点为顶点的三角形面积为3.请你写出满意上述全部特点的一个二次函数关系式.分析： 此题主要考查二次函数的性质、待定系数法、数形结合思想及抛物线与 x 轴、y 轴交点坐标、分类争论思想.解：如图，设抛物线与x 轴交于 A、B，与 y 轴交于 C，就ABOC=3.ABOC

16、=6.分类争论： 如 AB2，就 OC 3.A（3，0）， B（ 5， 0）， C（0，3）或（ 0， 3） .如 AB=4，就 OC=1. 5. A、B、C 三点的坐标都为整数，故不合题意.如 AB=6，就 OC=1. A（ 1，0），B（ 7，0），C（0，1）或（ 0，1）.用待定系数法求得y=x2x+1 或 y=x2+x1 或 y=x2x+3 或 y=x2+x3.点拨： 只需填写一个答案即可 .例 9. 阅读下面材料，再回答疑题.一般的，假如函数y=f（ x）对于自变量取值范畴内的任意x，都有 f（ x）=f（x），那么 y=f（x）就叫做奇函数。假如函数f（x）对于自变量取值范畴 内

17、的任意 x，都有 f（ x） =f（x），那么 f（ x）就叫偶函数 .例如 f（ x） =x3+x，当 x 取任意实数时， f（ x） =（ x） 3+（ x）= x3 x=（ x3+x），即 f（ x）= f（x），所以 f（ x）=x3+x 是奇函数 .又如 f（x）=|x|，当 x 取任意实数时， f（ x）=| x|=|x|，即 f（ x）=f（ x），所以 f（ x） =|x|是偶函数 .问题：以下函数中： y=x4。 y=x2+1。y=。 y=。y=x+.全部奇函数是，全部偶函数是.请你再分别写出一个奇函数、一个偶函数.分析： 此题综合运用函数及一次函数、二次函数等学问，通过阅读

18、懂得奇函数、偶函数的定义，分析懂得所给例子，敏捷解决问题，因此要认真懂得奇函 数，偶函数定义，认真比较所给的两个例子.解： （ x）4=x4， y=x4 是偶函数 .（ x）2 +l=x2+1， y=x2+l 是偶函数 .， y=是奇函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载和不肯定相等，y=即不是奇函数，也不是偶函数.（

19、 x） +， y=x+是奇函数 .是偶函数，是奇函数.如 y=x 是奇函数， y=2x21 是偶函数 .例 10. 已知：在平面直角坐标系xOy 中，过点 P（0，2）任作一条与抛物线2y=ax （ a 0）交于两点的直线，设交点分别为A、B，且 AOB=90 .判定 A、B 两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由。确定抛物线 y=ax2（a0）的关系式。当 AOB 的面积为 4时，求直线 AB 的关系式 .分析： 中 A、B 两点是抛物线与直线的交点，因此可列方程组并结合一元二次方程根与系数的关系来求解，在此基础上，再求.解： 直线 AB 过 P（0，2），设直线AB 的关系式为 y

20、=kx+2.由 y=kx+2， y=ax2，得 ax2kx 2=0. 设 A（ x1，y1）， B（x2， y2）且 x1 x2 ，就 x1， x2 是方程 ax2 kx2=0 的两根，x1+x2 =，x1x2=. y1y2=ax 2ax22=a2=4.1A、B 两点的纵坐标的乘积为常数4，是一个确定的值 .如图，分别过A、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为M 、N. AOB=90， 1+2=90.又 2+3=90， 3=1.Rt AOM Rt OBN. .y1y2= x1x2，即 4=， a=.y=x2.SAOB =4，即 S 梯形 AMNB S AOM SBON =4.（y1+y2）（x2

21、x1）（ x1）y1x2y2=4， （x2y1 x1y2）=4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载y1=x 2， y2=x 2，x1x2（x1x2）=4.12又 x1 x2=4.2x1x2= 4，（ x1x2） =32.（ x1+x2） 24x1x2=32. 解得 k1=2，k2=2. y=2x+2 或 y=2x+2点拨：

22、 二次函数与一元二次方程、相像形等有着亲密的联系，解答综合题时要充分绽开联想，弄清它们之间的亲密联系.【模拟试题】（答题时间：60 分钟）一. 挑选题：1. 以下各式中，是二次函数的有（）（1）y=2x23xz+5。（ 2）y=3 2x+5x2。（ 3）y=+2x 3。（ 4） y=（ 2x 3）（ 3x 2） 6x2 。（ 5）y=ax2 +bx+c。（ 6） y=（ m2+1） x2+3x4。（ 7） y=m2x2+4x 3.A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个2. 如图，函数 y=ax2 和 y= ax+b 在同一坐标系中的图象可能为（）3. 以下抛物线中，开口向上且开口最小

23、的抛物线为（）A. y=x2+1B. y=x2 2x+3C. y=2x2D. y=3x24x+74. 已知二次函数y=kx27x 7 的图象与x 轴没有交点，就k 的取值范畴为（）A. kB. k且 k0C. kD. k且 k05. 二次函数图象 y=2x2 向上平移 1 个单位，再向右平移 3 个单位，所得抛物线的关系式为（）A. y=2（ x+3）2+1B. y=2（x3）2 +1C. y=2（ x+3）2 1D. y=2（x 3） 216. 二次函数 y=2（x1）2 5 的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标为（）A. 开口向上，对称轴为直线x= 1，顶点（ 1， 5）B. 开口向上，对称

24、轴为直线x=1，顶点（ 1， 5）C. 开口向下，对称轴为直线x=1，顶点（ 1， 5）D. 开口向上，对称轴为直线x=1，顶点（ 1， 5）7. 如图是二次函数y=ax2+bx+c 的图象，点 P（ a+b，ac）是坐标平面内的点，就点 P 在（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载A. 第一象限B. 其次象限C. 第三象

25、限D.第四象限8. 二次函数 y=x2+bx+c 图象的最高点是 （ 1，3），就 b、c 的值为（）A. b=2， c=4B. b=2，c= 4C. b= 2，c=4D. b=2，c= 49. 假如二次函数 y=ax2+bx+c 中，a：b：c=2：3：4，且这个函数的最小值为， 就这个二次函数为（）A. y=2x2+3x+4B. y=4x2+6x+8C. y=4x2+3x+2D. y=8x2+6x+410. 抛物线的顶点坐标为P（1，3），且开口向下，就函数y 随自变量 x 的增大而减小的 x 的取值范畴为（）A. x3B. x3C. x1D. x1二. 填空题：11. 请你任写一个顶点在

26、x 轴上（不在原点）的抛物线的关系式.12. 已知二次函数 y=x2 4x 3，如 1x6，就 y 的取值范畴为.13. 抛物线 y=ax2+2x+c 的顶点坐标为（ 2，3），就 a=，c=.14. 二次函数 y=2x2 4x 1 的图象是由 y=2x2+bx+c 的图象向左平移 1 个单位， 再向下平移 2 个单位得到的，就b=， c=.15. 不论 x 取何值，二次函数y=x2+6x+c 的函数值总为负数，就c 的取值范畴为.16. 抛物线 y=2x2+bx+8 的顶点在 x 轴上，就 b=.17. 直线 y=2x+2 与抛物线 y=x2+3x 的交点坐标为.18. 开口向上的抛物线y=

27、a（x+2）（ x 8）与 x 轴交于 A、B，与 y 轴交于点 C，且 ACB=90，就 a=.19. 如二次函数 y=（m+8） x2+2x+m264 的图象经过原点，就m=.20. 将抛物 y=2x2+16x1 绕顶点旋转 180后所得抛物线为.三. 解答题：21. 已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 y=2x2 开口方向相反，外形相同，顶点坐标为（3， 5）.（1）求抛物线的关系式。（2）求抛物线与 x 轴、y 轴交点 .22. 用图象法求一元二次方程x2+x1=0 的解（两种方法） .23. 如下列图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B，与 y 轴交于点 C

28、，且 ACB=90， AC=12，BC=16，求这个二次函数的关系式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载24. 直线 y=x2 与抛物线 y=ax2+bx+c 相交于（ 2，m），（ n， 3）两点，抛物线的对称轴是直线x=3，求抛物线的关系式 .25. 某广告公司设计一幅周长为12m 的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000 元，设矩形的一边为xm，面积为 Sm2.（1）求出 S 与 x 之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范畴。（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用。（3）为使广告牌美观、大方，要求做成黄金矩形，请你按要求设计，并运算出可获得的设计费是多少？（精确到元）参考资料：当矩形的长是宽与（长+宽）的比例中项时，这样的矩形叫做黄金矩形。2. 236.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载