九级数学下册_二次函数知识点总结__人教新课标版.docx

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1、精品名师归纳总结相关概念及定义.二次函数的概念： 一般的, 形如yax2bxc（ a,b ,c 是常数, a0 ）的函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结叫做二次函数。 这里需要强调： 和一元二次方程类似, 二次项系数 a可以为零二次函数的定义域是全体实数0 ,而 b ,c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.二次函数yax2bxc的结构特点：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式, x 的最高次数是 2 a ,b ,c 是常数, a 是二次项系数, b 是一次项

2、系数, c 是常数项二次函数各种形式之间的变换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.二次函数 yhb , kax 2bxc4acb 2.用配方法可化成：ya xh 2k 的形式,其中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2a4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式：yax2 。 yax 2k 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ya xh。 ya xh 2k 。 yax2bxc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二次函数解析式的表示方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.

3、一般式：yax2bxc （ a , b , c 为常数, a0 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.顶点式：yaxh2k （ a , h , k 为常数, a0 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.两根式：ya xx1 xx2 （ a0, x1 , x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即b4

4、ac0 时,抛物线的解析式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二次函数yax2bxc 图象的画法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc 化为顶点式ya xh2k ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称的描点画图.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点 0 ,c、以及 0 ,c关于对称轴对称可编辑资料 -

5、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的点 2h ,c、与 x 轴的交点x1 ,0, x2 ,0（如与 x 轴没有交点,就取两组关于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对称轴对称的点） .画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.2二次函数 yax的性质a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0 ,0yx0 时, y 随 x 的增大而增大。 x0时, y 随可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0向上轴x 的增大而减小。 x0 时, y 有最小值

6、 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0 ,0yx0 时, y 随 x 的增大而减小。 x0时, y 随可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0二次函数向下yax2c 的性质轴x 的增大而增大。 x0 时, y 有最大值 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0 ,cx0 时, y 随 x 的增大而增大。 xy 轴0时, y 随可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0向上x 的增大而减小。 x0 时, y 有最

7、小值 c 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0向下0 ,cx0 时, y 随 x 的增大而减小。 xy 轴0时, y 随可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二次函数ya xh2的性质：x 的增大而增大。 x0 时, y 有最大值 c 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质xh 时, y 随 x 的增大而增大。 xh 时, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0a0二次函数向上向下ya xhh ,0h ,02k 的性质X=hX=h随 x 的增大而减小。 xh

8、时, y 有最小值 0 xh 时, y 随 x 的增大而减小。 xh 时, y随 x 的增大而增大。 xh 时, y 有最大值 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0向上a0向下h ,kh ,kX=hX=hxh 时, y 随 x 的增大而增大。 xh 时, y随 x 的增大而减小。 xh 时, y 有最小值 k xh 时, y 随 x 的增大而减小。 xh 时, y随 x 的增大而增大。 xh 时, y 有最大值 k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结抛物线2yaxbxc 的三要

9、素：开口方向、对称轴、顶点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.a 的符号打算抛物线的开口方向：当 a0 时,开口向上。 当 a a 相等,抛物线的开口大小、外形相同.b0时,开口向下。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.对称轴：平行于 y 轴（或重合）的直线记作 x. 特殊的, y 轴记作直线 x0 .2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.顶点坐标： （b4acb 2,）2a4 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.顶点打算抛物线的位置. 几个不同的二次函数,假如二次项系数 a 相同,

10、那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结抛物线 yax 2bxc 中,a,b, c 与函数图像的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.二次项系数 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二次函数yax2bxc 中, a作为二次项系数,明显a0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 当 a 当 a0 时,抛物线开口向上,a 越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大。0 时,抛物线开口向下,a 越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大可编辑资

11、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结总结起来, a 打算了抛物线开口的大小和方向,a 的正负打算开口方向,a 的大小打算开口的大小.一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下, b 打算了抛物线的对称轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 在 a0 的前提下,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 b 0 时, 当 b 0 时, 当 b 0 时,b0 ,即抛物线的对称轴在y 轴左侧。2ab0 ,即抛物线的对称轴就是y 轴。2ab0 ,即抛物线对称轴在y 轴的右侧2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 在 a0 的前提下,结论刚好与上述相反,即可编辑资

12、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 b 0 时, 当 b 0 时, 当 b 0 时,b0 ,即抛物线的对称轴在y 轴右侧。2ab0 ,即抛物线的对称轴就是y 轴。2ab0 ,即抛物线对称轴在y 轴的左侧2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结总结起来,在a 确定的前提下, b 打算了抛物线对称轴的位置总结：.常数项 c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 当 c 当 c 当 c0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正。0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0 。0 时,抛物线与 y 轴的交

13、点在 x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结总结起来, c 打算了抛物线与 y 轴交点的位置总之,只要 a,b ,c 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求抛物线的顶点、对称轴的方法22b4acb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.公式 法 ：yax2bxca x2a, 顶点 是4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b4ac（,2a4ab ）,对称轴是直线 xb .22a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.配方法：运用配方的方法,将抛物线的解析式化为2

14、ya xhk 的形式,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结到顶点为 h , k ,对称轴是直线 xh .运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.用待定系数法求二次函数的解析式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.一般式： yax2bxc . 已知图像上三点或三对x 、 y 的值,通常挑选一般式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.顶点式： ya xh 2k . 已知图像的顶点或对称轴,通常挑选顶点

15、式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.交 点 式 ： 已 知 图 像 与 x 轴 的 交 点 坐 标x1 、x2 , 通 常 选 用 交 点 式 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ya xx1xx2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线与抛物线的交点.y 轴与抛物线 yax 2bxc 得交点为 0,c .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.与 y 轴 平 行 的 直 线 xh 与 抛 物

16、线 yax 2bxc有 且 只 有 一 个 交 点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 h ,ah 2bhc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.抛物线与 x 轴的交点 : 二次函数 yax 2bxc 的图像与 x 轴的两个交点的横坐可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结标 x1、x2 ,是对应一元二次方程ax 2bxc0 的两个实数根 . 抛物线与 x 轴的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与 x 轴相交。有一个交点（顶点在x 轴上）0抛物线与 x 轴相切。没有交点0抛物线

17、与 x 轴相离 .平行于 x 轴的直线与抛物线的交点可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结坐标为 k ,就横坐标是ax 2bxck 的两个实数根 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.一次函数 ykxn k0 的图像 l 与二次函数 yax 2bxc a0 的图像可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ykxnG 的交点, 由方程组2yaxbxc的解的数目来确定： 方程组有两组不同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的解时l 与G 有两个交点 ; 方程组只

18、有一组解时l 与 G 只有一个交点。 方程组无解时l 与 G 没有交点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.抛物线与 x 轴两交点之间的距离：如抛物线yax2bxc与 x 轴两交点为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A x ,0 , Bx ,0,由于x 、 x 是方程ax 2bxc0 的两个根,故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x1x221212b , xxcaa22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABx1x22x1x22x1x24x1x2b4ca ab 4acaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二次函数图象的对称

19、 : 二次函数图象的对称一般有五种情形,可以用一般式或顶点式表达.关于 x 轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yax2bxc 关于 x 轴对称后,得到的解析式是yax2bxc 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2yaxhk 关于 x 轴对称后,得到的解析式是2ya xhk 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.关于 y 轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2yaxbxc 关于 y 轴对称后,得到的解析式是2yaxbxc 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2yaxhk 关于 y 轴对称后,得到的解析式是2ya x

20、hk 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.关于原点对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yax2bxc 关于原点对称后,得到的解析式是yax2bxc。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ya xhk 关于原点对称后,得到的解析式是2ya xhk 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.关于顶点对称2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2yaxbxc 关于顶点对称后,得到的解析式是2yaxbxcb2a 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ya xhk 关于顶点对称后,得到的解析式是2ya xhk 可编辑资料 -

21、- - 欢迎下载精品名师归纳总结.关于点m ,n对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ya xhk 关于点m ,n对称后,得到的解析式是2ya xh2m2nk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结. 总结： 依据对称的性质, 明显无论作何种对称变换, 抛物线的外形肯定不会发生变化,因此 a 永久不变求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或便利运算的原就, 挑选合适的形式, 习惯上是先确定原抛物线 （或表达式已知的抛物线） 的顶点坐标及开口方向, 再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向, 然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数图象的平移.平移步骤：可编辑资料 -

22、- - 欢迎下载精品名师归纳总结 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ,确定其顶点坐标h,k。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 保持抛物线yax2 的外形不变,将其顶点平移到h,k处,详细平移方法如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y=ax2向上k0【或向下k0【或左h0【或左h0【或下k0【或下k0【或左h0】平移|k|个单位y=ax-h2+k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移。k 值正上移,负下移” 概括成八个字“左加右减,上加下减”依据条件

23、确定二次函数表达式的几种基本思路。2.三点式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1,已知抛物线 y=ax的解析式。+bx+c 经过 A（ 3 ,0）, B（ 23 ,0）, C（ 0, -3 ）三点,求抛物线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2,已知抛物线 y=ax-1+4 , 经过点 A（ 2, 3）,求抛物线的解析式。.顶点式。21,已知抛物线 y=x2-2ax+a 2+b 顶点为 A（2, 1）,求抛物线的解析式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2,已知抛物线 y=4x+a.交点式。-2a的顶点为（ 3, 1）,求抛物线的解析式。可编辑资料 -

24、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结1,已知抛物线与 x轴两个交点分别为（ 3, 0）,5,0,求抛物线 y=x-ax-b的解析式。2,已知抛物线线与x轴两个交点（ 4,0）,（ 1,0）求抛物线 y= 1 ax-2ax-b的解析式。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.定点式。1,在直角坐标系中,不论a 取何值,抛物线 y1 x 225a x2a 22 经过 x 轴上一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定点 Q,直线 ya2 x2 经过点 Q,求抛物线的解析式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22,抛物线 y= x+2m-1x-2m与 x 轴的肯定交

25、点经过直线y=mx+m+4,求抛物线的解析式。3,抛物线 y=ax 2+ax-2 过直线 y=mx-2m+2上的定点 A,求抛物线的解析式。.平移式。1, 把抛物线y= -2x 2 向左平移 2 个单位长度,再向下平移1 个单位长度,得到抛物线2y=a x-h+k, 求此抛物线解析式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2, 抛物线 yx 2x3 向上平移 , 使抛物线经过点 C0,2,求抛物线的解析式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.距离式。1,抛物线 y=ax 2+4ax+1a 0 与 x 轴的两个交点间的距离为2,求抛物线的解析式。22,已知抛物线 y=m

26、 x +3mx-4mm 0 与 x 轴交于 A、B 两点,与 轴交于 C点,且 AB=BC,求此抛物线的解析式。.对称轴式。1、抛物线 y=x2 -2x+m 2-4m+4 与 x 轴有两个交点,这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的 2 倍,求抛物线的解析式。2、 已知抛物线 y=-x 2+ax+4,交 x 轴于 A,B（点 A 在点 B 左边）两点,交 y轴于点 C, 且3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OB-OA=4.对称式。OC,求此抛物线的解析式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1, 平行四边形 ABCD对角线 AC在 x 轴上,且 A（ -10 ,

27、0）, AC=16,D（ 2, 6）。AD交 y 轴于2E,将三角形 ABC沿 x 轴折叠, 点 B 到 B1 的位置, 求经过 A,B,E 三点的抛物线的解析式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2, 求与抛物线 y=x2.切点式。+4x+3 关于 y 轴（或 x 轴）对称的抛物线的解析式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21,已知直线 y=ax-aa 0与抛物线 y=mx有唯独公共点,求抛物线的解析式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2, 直线 y=x+a与抛物线 y=ax 2 +k的唯独公共点 A（ 2, 1） , 求抛物线的解析式。.判别式式。1 、已知关于X 的一元二次方程（ m+1） x2+2m+1x+2=0有两个相等的实数根,求抛物线2y=-x +m+1x+3 解析式。2、 已知抛物线 y=a+2x 2-a+1x+2a的顶点在 x 轴上, 求抛物线的解析式。23、已知抛物线 y=m+1x +m+2x+1 与 x 轴有唯独公共点,求抛物线的解析式。可编辑资料 - - - 欢迎下载