二次函数知识点及经典例题详解最终.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -二次函数学问点总结及经典习题一、二次函数概念：21二次函数的概念：一般的，形如yaxbxc （ a ，b，c是常数， a0 ）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0 ，而 b ，c可以为零二次函数的定义域是全体实数22. 二次函数yaxbxc 的结构特点： 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2 a ， b ，c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项二、二次函数的基本形式2 的性质：1. 二次函数基本形式：yaxa 的肯定值越大

2、，抛物线的开口越小。a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0， 0x0 时， y 随x 的增大而增大。x0 时，y 随可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0向上y 轴x 的增大而减小。x0 时，y 有最小值 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0向下0， 0x0 时， y 随 x 的增大而减小。x0 时， y 随y 轴x 的增大而增大。x0 时，y 有最大值 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22. yaxc 的性质：上加下减。a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

3、名师归纳总结a0向上0， cx0 时， y 随 x 的增大而增大。x0 时， y 随y 轴x 的增大而减小。x0 时，y 有最小值 c 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0向下0， cx0 时， y 随 x 的增大而减小。x0 时， y 随y 轴x 的增大而增大。x0 时，y 有最大值 c 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢

4、迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -23. ya xh的性质： 左加右减。a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质h ，0xh 时， y 随 x 的增大而增大。xh 时， y 随可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0向上X=hx 的增大而减小。xh 时，y 有最小值 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结h ，0xh 时， y 随 x 的增大而减小。xh 时， y 随可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a

5、0向下X=hx 的增大而增大。xh 时，y 有最大值 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24. ya xhk 的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质h ， kxh 时， y 随 x 的增大而增大。xh 时， y 随可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0向上X=hx 的增大而减小。xh 时， y 有最小值k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0向下h ， kX=hxh 时， y 随 x 的增大而减小。

6、xh 时， y 随x 的增大而增大。xh 时， y 有最大值k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：2 将抛物线解析式转化成顶点式ya xhk ，确定其顶点坐标h ，k 。 保持抛物线yax2 的外形不变，将其顶点平移到h ， k处，详细平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移。k 值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - -

7、欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -上加下减”2四、二次函数 ya xhk 与 yax2bxc 的比较2从解析式上看，ya xhk 与 yax2bxc 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得-2-2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.到前者，即 ya.+24. .，其中 h= -.4. .，k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.4.2.4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五、二次函数yax2bxc 的性质-2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 a0时，抛物线开口向上，对

8、称轴为x-., 顶点坐标为 -. , 4. . .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.2.4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当x-.2.时， y随x的增大而减小。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当x. 时， y随x的增大而增大。2.-2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时，当x=.y 有最小值2.4. .4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结-2. 4. .当时，抛物线开口向下，对称轴为x -,顶点坐标为-, . 当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.2

9、.4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结-2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.x-时， y 随 x 的大而增大 y; 当随 x2.2.时,y随 x 的增大而减小; 当x=.时 , y有最大值2.4. .4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -六、二次函数解析式的表示

10、方法21. 一般式： yaxbxc （ a ， b ， c 为常数， a0 ）。22. 顶点式： ya xhk （ a ， h ， k 为常数， a0 ）。3. 两根式（交点式） ： yaxx1 xx2 （ a0， x1 ， x2 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即b24ac0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a当a0 时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开

11、口越大。当a0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大2. 一次项系数 b在二次项系数a 确定的前提下，b 打算了抛物线的对称轴 （同左异右b 为 0 对称轴为 y 轴）3. 常数项 c 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正。 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 。 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负总结起来，c 打算了抛物线与y 轴交点的位置八、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情形

12、）：一元二次方程ax2bxc0 是二次函数yax2bxc 当函数值y0 时的特别情形. 图象与x 轴的交点个数： 当b24ac0 时，图象与 x 轴交于两点A x1 ，0 ，B x2 ，0x 1x2 ，其中的 x1 ，x 2是一元二 次方程ax2bxc0 a0 的两根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - 当0 时，图象与x 轴只有一个交点。

13、当0 时，图象与x 轴没有交点 .1 当 a0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y0 。2 当 a0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y0 22. 抛物线 yaxbxc 的图象与y 轴肯定相交，交点坐标为0 ， c 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -中考题型例析1. 二次函数解析式的确定例 1求满意以下

14、条件的二次函数的解析式1 图象经过 A-1,3、B1,3 、C2,6;2 图象经过 A-1,0、B3,0,函数有最小值 -8;3 图象顶点坐标是 -1,9,与 x轴两交点间的距离是6.分析: 此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式. 可依据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式, 列出方程或方程组来求解.1 解: 设解析式为 y=ax 2+bx+c, 把 A-1,3、B1,3 、C2,6 各点代入上式得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 = .-.+ .3 = .+ .+ .6 =4.+ 2.+ .= 1解得 .= 0.= 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

15、结解析式为 y=x 2+2.2 解法1: 由 A-1,0、B3,0 得抛物线对称轴为 x=1, 所以顶点为 1,-8.设解析式为 y=ax-h2+k, 即 y=ax-12-8. 把 x=-1,y=0代入上式得 0=a-22-8,a=2.即解析式为 y=2x-12-8, 即 y=2x2-4x-6.解法2: 设解析式为 y=ax+1x-3,确定顶点为 1,-8同上,把 x=1,y=-8代入上式得 -8=a1+11-3.解得 a=2,解析式为 y=2x 2-4x-6.解法 3:图象过 A-1,0,B3,0两点, 可设解析式为 :y=ax+1x-3=ax2-2ax-3a.函数有最小值 -8.可编辑资料

16、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4a -3a -2a24a=-8.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 a0, a=2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解析式为 y=2x+1x-3=2x2-4x-6.3 解: 由顶点坐标 -1,9可知抛物线对称轴方程是x=-1,又图象与 x轴两交点的距离为 6, 即 AB=6.由抛物线

17、的对称性可得 A 、B 两点坐标分别为 A-4,0,B2,0, 设出两根式y=ax-x 1 x -x 2, 将 A-4,0,B2,0 代入上式求得函数解析式为 y=-x 2- 2x+8.点评: 一般的 , 已知三个条件是抛物线上任意三点 或任意 3对 x,y的值 可设表达式为 y=ax2+bx+c, 组成三元一次方程组来求解;假如三个已知条件中有顶点坐标 或对称轴或最值 , 可选用 y=ax-h2+k 来求解; 如三个条件中已知抛物线与x轴两交点坐标, 就一般设解析式为 y=ax-x1x-x2.2. 二次函数的图象例 2y=ax2+bx+ca 0 的图象如下列图 , 就点 Ma,bc 在.A.

18、 第一象限B. 其次象限C.第三象限D. 第四象限分析: 由图可知 :抛物线开口向上a0.抛物线与 y轴负半轴相交c0bbc0.对称轴 x在y轴右侧b0 2a点 Ma,bc在第一象限 .答案 :A.点评: 此题主要考查由抛物线图象会确定a 、b、c的符号 .例 3已知一次函数 y=ax+c 二次函数 y=ax2+bx+ca 0, 它们在同一坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - -

19、- - - - - - - - - -系中的大致图象是 .分析: 一次函数 y=ax+c, 当 a0 时, 图象过一、三象限 ; 当 a0 时, 直线交 y 轴于正半轴 ; 当 c0 时, 二次函数 y=ax 2+bx+c 的开口向上, 而一次函数 y= ax+c 应过一、三象限, 故排除 C; 当 a0 即可 .2 依据二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的 关系, 求出 k的值, 可确定抛物线解析式 ;22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称得n1=n2, 由 n1 =m1+m1,n2=m2+m2可编辑资料 -

20、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结2得 m12+m1=m 2+m2,即m1-m2m1+m2+1=0 可求得 m1+m2=- 1.解: 1 证明: =2k+12- 4- k2+k=4k 2+4k+1+4k2- 4k=8k2+1.8k2+10,即 0,抛物线与x 轴总有两个不同的交点 .2 由题意得x1+x2=- 2k+1, x1 x2=-k2+k.x1 2+x2 2=-2k2+2k+1,x1+x22- 2x1x2 =- 2k2+2k+1, 即2k+12- 2- k2+k= - 2k2+k+1, 4k2+4k+1+2k2- 2k= - 2k2+2k+1.8k2=0, k=0,抛物线的解析式是y=x

21、2+x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -点 P、Q 关于此抛物线的对称轴对称,n1=n2.1222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 n =m1 +m1,n2=m+m2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m12+m21=m 2+m2,即m1- m2m1+m2+1=0.P、Q 是抛物上不同的点 ,m1m2,即

22、m1- m2 0.m1+m2+1=0 即 m1+m2=-1.点评: 此题考查二次函数的图象 即抛物线 与 x轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系 . 二次函数常常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点.二次函数对应练习试题一、挑选题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21. 二次函数yx4x7的顶点坐标是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.2, 11B. （ 2， 7）C. （ 2， 11）D.（ 2， 3）2. 把抛物线y2x2 向上平移1 个单位，得到的抛物线是（）A.y2x12B. y2x12C.y2x21D. y2x213. 函数 ykx2k 和

23、yk k0 在同始终角坐标系中图象可能是图中的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -x4. 已知二次函数yax2bxca0 的图象如下列图, 就以下结论:a,b同号; 当 x1和 x3时, 函数值相等 ; 4ab0 当 y2时 ,x 的值只能取0.其中正确的个数是A.1 个B.2 个C. 3个D.4个5. 已知二次函数由图象可知关于yax2b

24、xcax 的一元二次方程ax0 的顶点坐标（ -1 ， -3.2 ）及部分图象 如图 ,2bxc0 的两个根分别是x11.3和x2（） -1.3B.-2.3C.-0.3D.-3.36.已知二次函数yax2bxc 的图象如下列图，就点 ac,bc 在（）A第一象限C第三象限B其次象限D第四象限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 方程 2xx2= 2x的正根的个数为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.0 个B.1 个C.2 个 .3 个8. 已知抛物线过点A2,0,B-1,0,与 y 轴交于点C, 且 OC=2. 就这条抛物线的解析式为可编辑资料 - - -

25、欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -A. yx2x2B.yx2x2C.yx2x2 或 yx2x2D.yx2x2 或 yx2x2二、填空题9二次函数yx2bx3的对称轴是x2，就 b。10已知抛物线y=-2 （x+3 ） 2+5 ，假如 y 随 x 的增大而减小，那么x 的取值范畴是11一个函数具有以下性质：图象过点（1， 2），当 x 0 时，函数值y 随自变量

26、x 的增大而增大。满意上述两条性质的函数的解析式是（只写一个即可） 。12抛物线y2x226的顶点为C，已知直线ykx3过点 C，就这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为。13.二次函数y2x24x1的图象是由y2x2bxc 的图象向左平移1 个单位 , 再向下平移 2 个单位得到的, 就 b=,c=。14如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB 上离中心 M 处5 米的的方，桥的高度是 取 3.14.三、解答题：215. 已知二次函数图象的对称轴是x30 , 图象经过 1,-6,且与y 轴的交点为 0,5 .(1) 求这个二次函数的解析式;(2) 当 x为何值时

27、 , 这个函数的函数值为0.(3) 当 x在什么范畴内变化时, 这个函数的函数值y 随 x的增大而增大.216. 某种爆竹点燃后，其上上升度h （米）和时间t （秒）符合关系式h=v0t-1 gt （ 0t 2），其20中重力加速度 g 以 10 米/ 秒 2 运算这种爆竹点燃后以v =20 米/ 秒的初速度上升，（ 1）这种爆竹在的面上点燃后，经过多少时间离的15米？（ 2）在爆竹点燃后的1.5秒至 1.8秒这段时间内，判定爆竹是上升，或是下降，并说明理由.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页，共 20 页 -

28、 - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -17. 如图，抛物线yx2bxc 经过直线yx3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线顶点为D.（ 1）求此抛物线的解析式。（ 2）点 P为抛物线上的一个动点，求使S APC ： S ACD5： 4 的点 P 的坐标。18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费供应货源，待货物售出后再 进行结算，未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为260 元时，月销售量为45吨该建材店为提高经营利润，

29、预备实行降价的方式进行促销经市场调查发觉：当每吨售价每下降 10元时，月销售量就会增 加 7.5 吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元设每吨材 料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）（ 1）当每吨售价是240元时，运算此时的月销售量。（ 2）求出 y 与 x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范畴）。（ 3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（ 4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大”你认为对吗？请说明理由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 13 页，共 20 页

30、 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -二次函数应用题训练1、心理学家发觉，同学对概念的接受才能y 与提出概念所用的时间x（分）之间满意函数关系：y = -0.1x2 +2.6x + 43 0 x30.（1）当 x 在什么范畴内时，同学的接受才能逐步增强？当x 在什么范畴内时，同学的接受才能逐步减弱？（ 2）第 10 分钟时，同学的接受才能是多少？（ 3）第几分钟时，同学的接受才能最强？2、如图 ,已知 ABC 是一等腰三角形铁板余料,其中 AB=AC=20cm,BC=24

31、cm. 如在 ABC 上截出一矩形零件DEFG,使 EF 在 BC 上,点 D、G 分别在边 AB 、AC 上. 问矩形DEFG 的最大面积是多少 .ADGBCEF3、如图 , ABC 中, B=90,AB=6cm,BC=12cm. 点 P 从点 A 开头,沿 AB 边向点 B以每秒1cm 的速度移动 ;点Q 从点B 开头,沿着BC 边向点 C 以每秒 2cm 的速度移动 .假如P,Q 同时动身 ,问经过几秒钟 PBQ 的面积最大 .最大面积是多少 .C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -QAPB4、如图，一位运动员在距篮下4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5 米时，达到最大高度3.5 米，然后精确落入篮圈 .已知篮圈中心到的面的距离为3.05 米.1建立如下列图的直角坐标系，求抛物线的表达式;2该运动员身高 1.8 米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 米处出手，问：球出手可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归