二次函数的图像与性质及练习.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品办公文档二次函数的图像与性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般的，形如2yaxbxc （ a ，b ，c 是常数， a0 ）的函数，叫做可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二次函数。【说明】这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数次函数的定义域是全体实数a0 ，而 b，c 可以为零二可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 二

2、次函数yax2bxc 的结构特点：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项二、二次函数的基本形式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 二次函数基本形式：yax2 的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x0 时， y 随 x 的增大而增大。x0 时， y 随可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0向上0 ，0y 轴x 的增大而减小。x0 时， y 有最小值 0 可编辑资

3、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0向下0 ，0x0 时， y 随 x 的增大而减小。xy 轴0 时， y 随可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 的增大而增大。x0 时， y 有最大值 0 a 的肯定值越大，抛物线的开口越小。22. yaxc 的性质：上加下减。a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x0 时， y 随 x 的增大而增大。x0 时， y 随可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0向上0 ，cy 轴x 的增大而减小。x0 时， y 有最小值 c 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资

4、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0向下0 ，cx0 时， y 随 x 的增大而减小。xy 轴0 时， y 随可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 的增大而增大。x0 时， y 有最大值 c 23. ya xh的性质：左加右减。a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0向上h ，0xh 时， y 随 x 的增大而增大。xh 时， yX=h随 x 的增大而减小。xh 时， y 有最小值 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0向下h ，0X=hxh 时， y 随 x

5、 的增大而减小。xh 时， y随 x 的增大而增大。xh 时， y 有最大值 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24. ya xhk 的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品办公文档a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质xh 时， y 随 x 的增大而增大。xh 时， y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a

6、0向上h ，kX=h随 x 的增大而减小。xh 时， y 有最小值 k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0向下h ，kX=hxh 时， y 随 x 的增大而减小。xh 时， y随 x 的增大而增大。xh 时， y 有最大值 k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 二次函数2yaxbxc 的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 当 a0 时，抛物线开口向上，对称轴为xb ，顶点坐标为2ab4acb2

7、，2a4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 xb 2a时， y 随 x 的增大而减小。 当 x2b 时， y 随 x 的增大而增大。 当 xb 2a2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时， y 有最小值4acb4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 当 a0 时，抛物线开口向下，对称轴为xb，顶点坐标为2ab ，4acb当22a4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xb时， y 随 x

8、的增大而增大。当x 2a2b 时， y 随 x 的增大而减小。当x 2ab时， y2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有最大值4acb4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式22ya xhk ，确定其顶点坐标h ，k。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 保持抛物线yax的外形不变，将其顶点平移到h，k处，详细平移方法如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y=ax 2向上

9、k 0【或向下 k 0【或左 h0 【或左 h0 【或下 k0 【或下 k 0【或左 h0 】平移 |k| 个单位y=ax-h2+k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移。k 值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 yax2bxc 沿 y 轴平移 :向上（下）平移m 个单位，yax2bxc 变成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共

10、8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品办公文档可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yax2bxcm （或 yax2bxcm ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 yax2bxc 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，yax 2bxc 变成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ya xm2bxmc （或 yaxm 2b xmc ）可编辑

11、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、二次函数2ya xhk 与 yax2bxc 的比较可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从解析式上看，2ya xhk 与 yax2bxc 是两种不同的表达形式，后者通过配可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方可以得到前者，即yax22b4acb2a4a，其中 hb ，k 2a24acb4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五、二次函数解析式的表示方法可编辑资料 - - -

12、 欢迎下载精品名师归纳总结21. 一般式：2yaxbxc （ a ， b ， c 为常数， a0 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 顶点式：ya xhk （ a ， h ， k 为常数， a0 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 两根式：ya xx1 xx2 （ a0 ， x1 ，x2 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意： 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函数都可以写可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b 24ac0

13、时，抛物线的解析式才可以用交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.六、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二次函数2yaxbxc 中， a作为二次项系数，明显a 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 当 a大。 当 a大0 时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结总结起

14、来，a 打算了抛物线开口的大小和方向，a 的正负打算开口方向，a 的大小打算开口的大小2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 打算了抛物线的对称轴 在 a0 的前提下，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 b 0 时 ， 当 b 0 时 ， 当 b 0 时 ，b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧。2ab0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴。2ab0 ，即抛物线对称轴在y 轴的右侧2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 在 a0 的前提下，结论刚好与上述相反，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 b0 时，当 b0 时，b0 ，即抛物线的对称

15、轴在y 轴右侧。2ab0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴。2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品办公文档可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 b0 时，b0 ，即抛物线对称轴在y 轴的左侧2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结总结起来，在a 确定的前提下，b 打算了

16、抛物线对称轴的位置可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab 的符号的判定：对称轴x概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项 cb 在 y 轴左边就 ab 2a0 ，在 y 轴的右侧就ab0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 当 c 当 c 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正。0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 。0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结/总结起来，c 打算了抛物线与y 轴交点的位置

17、总之，只要a，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯独确定的4.利用二次函数与x 轴的交点的个数来确定判别式的符号， 利用特别点的坐标确定特别代数式的值的范畴。有时仍要利用等量代换来判定特别代数式的值的范畴。二次函数解析式的确定：依据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必需依据题目的特点，挑选适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式。2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式。3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式。4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式

18、二次函数的图像与性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应用举例：例 1：小强从如下列图的二次函数yax2bxc 的图象中， 观看得出了下面五条信息： （ 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0 。（ 2）c1 。（ 3） b0 。（ 4）abc0 。 （5） abc0 . 你认为其中正可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结确信息的个数有（C）A 2 个B 3 个C4 个D 5 个y1xyy31121012x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1O12 x11Ox可编辑资料 - - - 欢迎下

19、载精品名师归纳总结例2 ：已知二次函数yax2bxc 的图象如下列图，有以下结论：abc0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结/ abc（C）1 。abc0 。 4a2bc0 。 ca1 其中全部正确结论的序号是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB CD 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品办公文档可编辑资料

20、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例3：小明从图所示的二次函数yax2bxc的图象中，观看得出了下面五条信息：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 c0 。abc0 。 abc0 。 2 a3b0 。 c4b0 ，你认为其中正确信可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结息的个数有（C）A 2 个B 3 个C4 个D 5 个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b分析：错误.由2a1 得 2a3b 30 。由前面的分析知3ab ，又由题图知当2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

21、欢迎下载精品名师归纳总结x2 时， y4a2bc 0 ，将 x2 代入 4a2bc0 中得 c4b0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【练】已知二次函数yax2bxca0 的图象如下列图，有以下5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结个结论： abc0 。 bac 。4a2bc0 。2c3b 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abm amb) ，（ m1 的实数）其中正确的结论有（C ）可编辑资料 - - -

22、 欢迎下载精品名师归纳总结A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： 由图可知，a0,1,c 0 ，从而 b 2a2a0, abc0 ，错误。又当x1 时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yabc0 ，错误。由抛物线的对称轴为直线x1 知，当 x0 与 x2 时函数值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结相等，所以正确。由于2c3b2c2bb2c2b2a2abc0 ，所以正可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

23、纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结确。由于二次函数的对称轴为直线x1 ，所以当x1 时，函数取得最大值，即当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m1, xm 时 的 函数 值 小于 当 x1 时 的函 数 值， 所 以abcam2bm，c 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abm amb ，所以正确.+bx+c=0 的两根分别为 -3例 4：如图，是二次函数yax2 bx c（ a0）的图象的一部分，给出以下命题： a+b+c= 0。 b2a。 ax2和 1。 a-2b+c 0其中正确的命题是（只要

24、求填写正确命题的序号）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：由图知正确且b1 ，所以 b 2a2a0 ，所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结错误。由正确得cab，所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2bc2 ab 3a，所以b 错误.b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【练】 1. 已知二次函数yax2bxca0 的部分图象如下列图，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结它的顶点的横坐标为1，由图象可知关于x 的方程ax 2b

25、xc=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的两根为x11,x2 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.二次函数图象的对称轴是直线于以下说法：x1 ，其图象的一部分如下列图对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 abc 0。 abc 0。 3ac 0。 当 1 x 3 时， y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - -

26、 - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品办公文档 0其中正确选项（把正确的序号都填上）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：由图可知，抛物线的对称轴为直线x1 ，与 x 轴的一个交点为3,0 ，得b1 ， 2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b2a ，与 x 轴的另一个交点为1,0，所以abc0 ， 3acabc0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5：在同始终角坐标系中，函数 y

27、mxm 和的图象可能是（C）ymx22x2（ m 是常数， 且 m0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yyyyOxOxOxOx例 6：（ 1）已知二次函数的图象以 A（ 1， 4）为顶点，且过点B （ 2， 5）求该函数的关系式。求该函数图象与坐标轴的交点坐标。2答： yx2x3 ，交点坐标1,0, 3,0（ 2）抛物线过（1， 0），（ 3， 0），（ 1， 4）三点，求二次函数的解析式。答： yx22x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例 7：已知函数ym2xmm 48 x1 是关于 x 的二次函数，求：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（

28、 1）求满意条件的m 的值。（ 2） m 为何值时，抛物线有最低点？最低点坐标是多少？当x 为何值时， y 随 x 的增大而增大？（ 3）m 为何值时， 抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时， y 随 x 的增大而减小？答：（ 1） m3 或 m2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8：（ 1）利用配方求函数y1 x24x4 的对称轴、顶点坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y1x2 254可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）利用公式求函数y1 x226 x17 的对称轴、顶点坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

29、结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b62a2124acb 246 ，4a1176 22412343612可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品办公文档可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 9：已知二次函数ym22 x24mxn 的图象的对称轴是x2 ，且最高点在直线

30、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y1 x21 上，求这个二次函数的解析式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2答： yx24x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 10.如图，二次函数yax4xc 的图象经过坐标原点，与x 轴交于点A（ 4， 0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）求二次函数的解析式。（ 2）在抛物线上存在点P，满意S AOP8 ，请直接写出点P 的坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答： yx24x

31、 ， P 的坐标为222,2或222,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 11.如图， 抛物线yx2bxc 经过直线yx3 与坐标轴的两个交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 A 、B，此抛物线与x 轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D.（ 1）求此抛物线的解析式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）点 P 为抛物线上的一个动点，求使S APC ： S ACD5 ： 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的点 P 的坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2答：yx2x3 ， C1,0， D1,4，S ACD8 ，所

32、以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S APC10 ， P 的坐标为4,5或2,5.二次函数练习试题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、挑选题1. 二次函数yx24x7 的顶点坐标是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.2, 11B. （ 2， 7）C.（ 2， 11）D.（ 2， 3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 函数ykx2k 和 yk k x0 在同始终角坐标系中图象可能是图中的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 已知二次函数yax2bxca0 的图象如下列图,就以下结论 : a,b 同号 ;当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1 和 x3 时,函数值相等 ; 4ab0 当 y2 时,x 的值只可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结能取 0.其中正确的个数是A.1 个B.2 个C. 3 个D. 4 个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名