二次函数重点难点总结.docx

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1、精品名师归纳总结中学二次函数学问点总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、二次函数概念：1. 二次函数的概念：一般的,形如2yaxbxc（ a ,b ,c 是常数, a0 ）的函数,叫做二次函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数a0 ,而 b ,c 可以为零二次函数的定义域是全体实数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 二次函数yax2bxc 的结构特点：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式, x 的最高次数是 2 a ,b ,c 是常数, a

2、是二次项系数, b 是一次项系数,c 是常数项二、二次函数的基本形式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 二次函数基本形式：yax2 的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 的肯定值越大,抛物线的开口越小。a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0向上0 ,0x0 时, y 随 x 的增大而增大。xy 轴0 时, y 随可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 的增大而减小。 x0 时, y 有最小值 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0向下0 ,0x0 时, y 随 x 的增大而减

3、小。xy 轴0 时, y 随可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 的增大而增大。 x0 时, y 有最大值 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22. yaxc 的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上加下减。a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0向上0 ,cy 轴x0 时, y 随 x 的增大而增大。x0 时, y 随可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 的增大而减小。 x0 时, y 有最小值 c 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0向下0 ,cx0 时, y 随

4、 x 的增大而减小。xy 轴0 时, y 随可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 的增大而增大。 x0 时, y 有最大值 c 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. ya xh2的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结左加右减。a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0向上h ,0X=hxh 时, y 随 x 的增大而增大。xh 时, y 随x 的增大而减小。 xh 时, y 有最小值 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0向下h ,0X

5、=hxh 时, y 随 x 的增大而减小。xh 时, y 随x 的增大而增大。 xh 时, y 有最大值 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24. ya xhk 的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0向上h ,kX=hxh 时, y 随 x 的增大而增大。xh 时, y 随x 的增大而减小。 xh 时, y 有最小值 k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0向下

6、h ,kX=hxh 时, y 随 x 的增大而减小。xh 时, y 随x 的增大而增大。 xh 时, y 有最大值 k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ,确定其顶点坐标h ,k。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 保持抛物线yax2 的外形不变,将其顶点平移到h,k处,详细平移方法如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移

7、,负左移。k 值正上移,负下移”概括成八个字“左加右减,上加下减” 方法二：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 yax 2bxc 沿 y 轴平移 :向上（下）平移 m 个单位, yax 2bxc 变成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yax 2bxcm （或 yax 2bxcm ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 yax 2bxc 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位, yax 2bxc 变成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -

8、 - 欢迎下载精品名师归纳总结ya xm2bxmc （或 yaxm 2b xmc ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、二次函数2ya xhk 与 yaxbxc 的比较可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从解析式上看,22ya xhk 与 yax2bxc是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结者,即2yaxb 2a4acb2 4a,其中 hb ,k 2a4acb24a可编辑

9、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22五、二次函数yaxbxc 图象的画法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2五点绘图法：利用配方法将二次函数yaxbxc 化为顶点式yaxhk , 确定其开口方向、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称的描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的交点 0,c、以及 0 ,c关于对称轴对称的点2 h,c、与 x 轴的交点x1 ,0 ,x2

10、,0（如与 x 轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结没有交点,就取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与 y 轴的交点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结六、二次函数yaxbxc 的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21. 当 a0 时,抛物线开口向上,对称轴为xb ,顶点坐标为2ab4acb2,2a4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

11、当 xb 2a2时, y 随 x 的增大而减小。当 xb 时, y 随 x 的增大而增大。当 x 2ab 时, y 有最小2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值 4acb4a2bb4acbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 当 a0 时,抛物线开口向下, 对称轴为 x,顶点坐标为2a,当 x2a4a时, y 随2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 的增大而增大。当xb时, y 随 x 的增大而减小。当x 2ab时, y 有最大值2a24acb4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

12、七、二次函数解析式的表示方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21. 一般式：2yaxbxc （ a , b , c 为常数, a0 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 顶点式：ya xhk （ a , h , k 为常数, a0 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 两根式：ya xx1 xx2 （ a0 , x1 ,x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：任何二次函数的解析式都可以化

13、成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数都可以写成交点式,只可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有抛物线与 x 轴有交点,即的这三种形式可以互化.2b4ac0 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结八、二次函数的图象与各项系数之间的关系21. 二次项系数 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二次函数yaxbxc 中, a 作为二次项系数,明显a0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 当 a0 时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大。 当 a0 时,抛物线开口向下,a

14、 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大总结起来, a 打算了抛物线开口的大小和方向,a 的正负打算开口方向,a 的大小打算开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下, b 打算了抛物线的对称轴 在 a0 的前提下,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 b0时,b0 ,即抛物线的对称轴在y 轴左侧。2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 b0时, 当 b0时,b0 ,即抛物线的对称轴就是y 轴。2ab0 ,即抛物线对称轴在y 轴的右侧2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 在 a0 的前提下,结论刚好与上述相反,即可编辑资料

15、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 b 0时, 当 b 0时, 当 b 0时,b0 ,即抛物线的对称轴在y 轴右侧。2ab0 ,即抛物线的对称轴就是y 轴。2ab0 ,即抛物线对称轴在y 轴的左侧2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结总结起来,在 a 确定的前提下, b 打算了抛物线对称轴的位置b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab 的符号的判定： 对称轴 x在 y 轴左边就 ab2a0,在 y 轴的右侧就 ab0 ,概括的说就是“左可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同右异” 总结：3. 常数项 c 当 c0 时,抛物线与y 轴的交点在 x 轴

16、上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正。 当 c0 时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0 。 当 c0 时,抛物线与y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负总结起来, c 打算了抛物线与 y 轴交点的位置总之,只要 a ,b ,c 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的二次函数解析式的确定：依据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必需依据题目的特点,挑选适当的形式,才能使解题简便一般来说,有如下几种情形：1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式。2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用顶

17、点式。3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情形,可以用一般式或顶点式表达21. 关于 x 轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2yaxbxc 关于 x 轴对称后,得到的解析式是yaxbxc 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ya xhk 关于 x 轴对称后,得到的解析式是2yaxhk 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 关于

18、 y 轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yax2bxc 关于 y 轴对称后,得到的解析式是yax2bxc 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ya xhk 关于 y 轴对称后,得到的解析式是2ya xhk 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 关于原点对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2yaxbxc 关于原点对称后,得到的解析式是2yaxbxc 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ya xhk 关于原点对称后,得

19、到的解析式是2ya xhk 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2yax2bxc 关于顶点对称后,得到的解析式是yaxbxcb。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ya xhk 关于顶点对称后,得到的解析式是2a2ya xhk 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 关于点 m,n 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2yaxhk 关于点m ,n对称后,得到的解析式是2ya xh2m2nk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依据对称的性质,明显无论作何种对称变换,抛物线的外形肯定不会发生变化,因此a 永久不变求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或便利运算的原就,挑选合适的形式,习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式可编辑资料 - - - 欢迎下载