伴随矩阵的若干性质及应用 .docx

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1、精品名师归纳总结相伴矩阵的假设干性质及应用摘要 矩阵是学习高等代数中的一个特别重要的学问点，而在矩阵的运算和应用中相伴矩阵起着特别重要的作用. 本篇文章运用矩阵运算中的一些技巧和方法，证明白一般n 阶方阵和某些特殊矩阵的相伴矩阵的一些性质.这些性质的探讨是基于矩阵的相伴矩阵与原矩阵之间的关系，利用争论矩阵的方法来着手.通过这些性质， 对矩阵、 相伴矩阵有了更深一步的熟悉.而且， 在以后的学习中遇到关于相伴矩阵的问题我们可以直接应用这些性质，使问题变得简洁 .关键词矩阵 相伴矩阵 特点值引言由于相伴矩阵是学习矩阵的一个重要学问点，在运算中常常显现，把矩阵的 相伴矩阵看作一般的一个矩阵来争论 .

2、给出了相伴矩阵的秩、相伴矩阵的转置、相伴矩阵的特点值、几个特殊矩阵的相伴矩阵的性质，以及相伴矩阵的其他性质. 这些性质能帮我们便利解决在运算矩阵时遇到的问题.本文显现的矩阵 A 和 B 均为 n 阶方阵.1*1. 一般 n阶方阵其相伴矩阵的一些性质及应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.1AA*A* AA E , 在求解 A 与A 的乘积，A 和 A的有关的问题时可以从这个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质着手 . 常用的关系式如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*1 当 A 为可逆矩阵时，A 也为可逆矩阵，由AA*A* AA E 可得 A

3、*1A 。A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 当 A 为可逆矩阵时，由AA*A* AA E 可得 A*A A 1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结142例 1、已知 A 为一三阶矩阵，且A013，求 A*1.001可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 经运算可得 A1 ，所以 A*1AAA142013.001可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2、已知 A 为一三阶可逆矩阵， 它的相伴矩阵为A* ，且 A1 ，求 2 A413A*.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可

4、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12A3A*解1 A 123 A A 11 A 123 A 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 A 1431A 143111 .*4A16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3、已知 A 和B 均为n 阶矩阵，相应的相伴矩阵分别为A 和 B，分块矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AOC，求 C 的相伴矩阵OBC * .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 由CC *C* CC E 得，可

5、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C *C C 1AOAOA 1O1A BA B A 1O.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OBOB1*1.2 当 A 为可逆矩阵时，有 A*A 1OB 1OA B B 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明 由于AA *1*A E,故有 A 1 AA 1 E ， A 1A。又由于 A 11*AA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1*1*从而 A 1 AAA 1 *A 1 E1 E ，因 A0 ，故 A* AE

6、 ,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*AA*A1A 1 * .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4、已知 A 为一三阶可逆矩阵， 且 A 1123211132，求相伴矩阵A* 的逆矩阵 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解由于A* AAA*A E ，且 A 为可逆矩阵，可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*A1A AA 1 A，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1231

7、而1A211=8， AA13211138551*115, 所以 A13151315.513可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1*此题用性质 6 可直接得 A*A 1151315513，可见简洁之处 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*1.3 kAk n 1 A* k 为常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明 由于kAka11 ka21ka12ka22ka1nka 2nA11 A12*A =A21 A22An1 An 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精

8、品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kan1kan2ka nnA1nA2nAnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ak.ij所以 kA 的n1 阶子式中每一个元素都是 A 中的相对应元素的 k 倍，从每一行中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结提取公因子 k ，从而矩阵 kA 中每一元素kaij 的 n1 阶代数余子式就是n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以*kA故证之.n 1Ak11n 1kA12Akn 11nn 1Ak21n 1kA22Akn 12nn 1Akn1n 1

9、kAn2Akn 1nn= k n 1A11 A12A1nA21 A22A2nAn1 An2Ann= k n1 A*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5、设 A 为一个 3 阶矩阵，且已知 A321112，求211*1 A.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*解 由于 AA11 A12 A13A21 A22 A23A31 A32 A33135555，315可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*所以1 A421

10、351A*1555416315135161616555.161616315161616可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.4 相伴矩阵的秩的性质设 A 是n 阶矩阵 n2 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n,当秩An时;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结秩 A*1,当秩0,当秩An1时;An1时;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*证明 1当秩 An 时A0 ，由于AA*A E ，两边同时取行列式，得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*nA AA所以 A*0故秩 An

11、.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 当秩 An1时，A0 ，由AA*A E得AA*0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*从而可知A* 的每一列都是方程组 AX0 的解向量 , 故由此可得 A*n秩 A1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由于矩阵 A 至少有一个 n1 阶子式不为零，故A 至少有一个元素不为零，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以此时秩 A*1 .可编辑资料 - - - 欢

12、迎下载精品名师归纳总结3 当秩 An1 时，矩阵A的全部n1阶子式全为零，故 A*0 ，所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结秩 A*0 .*性质 4 在解关于矩阵的题目中用的很广泛，以下的性质5、6、9、16 的证明过程中都有用到性质 4，从而使证明简洁、明白 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6、设n n2 阶方阵 A ，假设秩 An2时，就秩 A .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. nB.n1C.1D.0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 由于秩 An2 ，由以上性质可得秩 A*0，应选 D.可编辑资料 - - - 欢

13、迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7、设 A 为一四阶矩阵， 且 A, A*是 A 的相伴矩阵， 求秩 A.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*0001001001000000解 由于秩 A3 ，而 A 为 4 阶矩阵，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以秩 A*1413 ，由以上性质可得秩 A*0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.5 A*A n 1*证明 1 当 A 可逆时，由于 AAA E,两边同时取行列式，得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A A*nA， 由于A*A0 ，两边同时乘

14、以n 1A。1A，得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 当 A 不行逆时， A0;可得秩 A*1 ，就 A*0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而此时也有A*A n 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8、已知A和B都是 n 阶方阵， A4, B2,就 4 A* B 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 4A* B 14n A*B 14n A n 1 1B4n4n 11224n 3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

15、纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*1.6 AA n 2 A n2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明 1 当 A可逆时，就 A0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 AA*A E,所以 A*A A 1,于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*A*A A 1n=11A A 1AAA A 1n21AA n A 1 1A 11A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AAA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 当 A不行逆时，就 A0, 秩 A*1, 由此可

16、得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*当n2时，秩 A0, 所以 A* *0, 所以此时有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*n 2AAA .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 9、已知 A 为n 阶可逆矩阵 , 且 A3，化简A 1A* .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 由于AA*A* AA E ，所以A 11 A* A，所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 1A* *

17、1 A*A* A*11 A*5An 11AA*An 1n11An 22AAAA3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.7 AB *B* A*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1证明 1当 AB0时，此时有 A0, B0; 从而有 A*A A 1, B*B B 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*可得ABAB ABA B B1 A 1B B 1A A 1B* A*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 当AB0时，此时考察矩阵 AA E, BB E,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于矩阵 A和B 的特点值最多只有有限个，因

18、此存在有无穷多个，使得A0, B0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*由 1 得结论可得，AB*B*A*，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 ABhijn n ,B*A*kij就由上式得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n nhijkij，i , j1,2,.,n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于知有无穷多个使 式成立，从而也就有无穷多个使 式成立，但是由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精

19、品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*hij, kij都是多项式，因此式对一切 都成立 。特殊，当令0 时有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*ABA0 B 0B* 0 A* 0B* A*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故证明之 .例 10、已知 A 和B 为三阶可逆矩阵，且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结131212*， B013，求AB 1*.1120011410A*142可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 经运算可得 B*1013 ，*001可编辑资料

20、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结*所以AB 1B 1A*14101310132120011123913124 .112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.8A*TAT *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结TTT证明 由于AA*A* AA E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T*所以A*ATATA*AT EATA*A A*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

21、师归纳总结*TTT *T*又AAA*TT *AAATT *T *A EAA A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此有A A*A AT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 当 A 可逆时，就 A0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以A*TAT * 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 当 A 不行逆时，就 A0 ，此时用矩阵 AE代替矩阵A ，得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

22、总结* TAEAET *AEAE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于矩阵 A 的特点值最多只有有限个，因此存在无穷多个使得*TT*AE0, 从而有AEAE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*令 AEThijn n ，T *AEkijn n ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以有hijkiji , j1,2,.,n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由此可得存在无穷多个使得上式成立， 而hij, kij都是多项式， 因此上式对可编辑资料 -

23、- - 欢迎下载精品名师归纳总结一切 都成立，取0 代入 式时，有A* TAT * .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.9 相伴矩阵的特点值 5 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设矩阵A有n个特点值1， 2，.， n 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 当A为满秩矩阵时，相伴矩 阵的特点值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11A,112A ,.,nA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 当 A 为降秩矩阵时，那么相伴矩

24、阵A* 的 n个特点值至少有 n1个为 0，而且另一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结个不等于零的特点值假设存在，就等于A11A22.Ann. 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111证明 1 由于 A 为满秩矩阵，所以 A 为可逆矩阵也即 A0 A*A A 1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此时矩阵A 的特点值均不为零，且A的 n 个特点值为1,2,. ,n，再由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

25、师归纳总结*11AA A可得，相伴矩阵有 n 个特点值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结121 A,1 A,.,。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结An2当秩 An2 时，此时，秩 A*0 ，所以 A*0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*因此 可推得 0,0 ，,0 为相伴矩阵此时结论成立 .A* 的特点值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 ,2 ,.,n 当秩 An1 时， 此时 ， 秩 A*1 ， 那么 设A 的 特点值为可编辑资料

26、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结由假设尔当标准形知，存在可逆矩阵T ，使得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T 1 A*T1*0n， 其中1 ,2 ,.,n 为的全部特点值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A*由于 A*1，不妨设10, 而 21*.*n0, 就上式为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T 1 A* T. 0. 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而1trA*A11A22.Ann .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

27、纳总结例 11、设 A 为 n阶可逆矩阵，A* 为 A 的相伴矩阵， E 为 n 阶单位矩阵， 假设 A 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*3特点值 ，就 AE 必有特点值什么 .解 由性质知， A 有特点值， A* 必有特点值A，从而A*3EA3+1.1.10假如 A 是可逆矩阵，且 A B,就A* B*证明 由于 A B ，就存在可逆矩阵 T ，使得T 1 ATB把上式两边同时取行列式得T1A TB ，又由于 A 可逆，故 A0 ，从而 B0 ，即 B 也是可逆的，所以， A*A A 1, B*B B1由T 1ATB ，就 T1AT1T1 A 1 T 11T1 A 1TB

28、 1因此A 1 B1由于 A B ，就 AB把T1AT1B两端同时乘以1A 得， TA T1*TA A T11A B1B B所以， T1 A* TB* , A* B * .例 12、设 A 、 B 为三阶相像矩阵， A 的特点值为 1， 1，3，求 B * .必有特点值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1*B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 由于 A 的特点值为 1， 1， 3，故 A3 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*所以A的特点值为 1A3,1A3, 13A1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎

29、下载精品名师归纳总结又由于A B ，所以A* B * ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 B* 的特点值为 3， 3， 1，所以 B*9 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.11假如 A 是可逆矩阵，且A与B和合同，就A*与B* 也合同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明 由题中矩阵A与B 合同，因此存在可逆矩阵 C ，使 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C T ACB ，等式两边分别取行列式，得C T A CB可编辑资料 -

30、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111由于 A 是可逆矩阵，所以A0 ，从而 B0 ，而C 2 AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T1又由于CT ACC 1A1 CTB 1 ，令TCT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A A就T TC T1= C T TC 1，从而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T T A 1TCATAT从而2T1B 1 ， 故 AB BC

31、 T1即1与B T1是合同的 ，C TBB11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 C TT A*C TB* ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*所以 A 与B 也合同.2. 某些特殊矩阵的相伴矩阵的性质 4 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.1 假设 A 是可逆的对称矩阵，就它的相伴矩阵A* 也是可逆的对称矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a. 已知数量矩阵kE k0 ，它的相伴矩阵也是数量矩阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 是可逆的，就它的相伴矩阵A* 也是对角矩阵 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*2.2 假设 A