全国高中数学联赛广西赛区预赛试题及答案 .docx

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1、精品名师归纳总结2021 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题及答案一、填空题（本大题共 10 个小题，每道题 8 分，共 80 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 函数 fx12lg x3lg x的定义域是2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： 10,100 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解：lg x3lg x20,1lg x2,10x100.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 设实数x, y 中意y62 x , 向量 ax12xy, m , b1,1，如 a /

2、 b ，就实数 m 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结最小值为答案：2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由于 a2xy, m , b1,1，所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 xym ， my 11xy2 x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在条件y62x 下，求得 my x12 x 的最小值为2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 设 a 、 b 都为大于零的常数，022x1 ，就 ab的最小值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案：2ab

3、.x1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设 fxa 2b2, xx1x0,1 ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2fx2xb 2b 2 x221xx2a2 1x221 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bxa 1xbxa 1xx2 1x 2ab xabaxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1）当 ab时，.x2 1x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2b2xaxa2fxababx2 1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2b2，xax1

4、ab1b.a22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 a, b 都为正数，所以当x0,a时， fxab0 。当xa,1时，ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fx0.故函数 fx 在 xa处取得最小值abaa 2b 22f可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abaa 1ababab.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2）当 ab时，a 2a 2fx，x1x2a2x1.fx2x2 1x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 a 为正数，所以当 x0, 12时， fx0

5、 。当 x1 ,12时， fx0 故函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数 fx 在 x1处取得最小值2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1a 2a22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f214 a211aa.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上所述，当 0x1 时，a2b22的最小值为ab.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x4. 运行如以下图的程序框图，输出的结果S的值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3答案：.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精

6、品名师归纳总结5. 已知函数fxx3 对应的曲线在点a , fakN*处的切线与 x 轴的交点为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kkak 1,0，如 a11，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f3 a1f3 a210123f3 a10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： 36. 已知点 P 在曲线yex 上，点 Q 在曲线 yln x 上，就 PQ 的最小值是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案：2.27. 设 mN * ， logm 的整数部分用F m 表示，就 F 1F2F 1

7、024 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是答案： 8204.8. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两的端点异色，如只有4 种颜色可供使用，就不同的染色方法总数有种 答案： 72.9. 设函数 fx 的定义域为 R，如存在常数0 使 fxx 对一切实数 x 均成立，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就称函数fx 为“条件约束函数” 现给出以下函数：fx4x 。fxx22 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 fx2xx22x。 fx是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切5x1, x2 均有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

8、纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fx1fx 24 x 1x 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中是“条件约束函数”的序号是（写出符合条件的全部序号） 答案：10. 已 知 线 段 AB 是 半 径 为 2 的 球 O 的 直 径 ， C 、 D 两 点 在 球 O 的 球 面 上 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CD2, ABCD ， 45AOC135，就四周体 ABCD 的体积的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： 4 , 43.33二、解答题（本大题共3 小题，共 70 分）可编辑资料 - - - 欢

9、迎下载精品名师归纳总结11.（本小题满分20 分）已知数列a中， a1,a1 , 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4an 1n12n1n2,3,4,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）设 bn1，球数列n1 anbn n2 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）求证：对一切nN * ，有27 .aknk 16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（1）a11,an 1n1 ann2,3,4,可编辑资料 - -

10、- 欢迎下载精品名师归纳总结nan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n2 时， 1an 1nann1 ann1.n1 ann1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两边同时除以 n ，得111,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nan 1n1 ann n111bn 1bnn1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1bk 1bk1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1k 2k 2k1kn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bb11, n2.b11b3n2 , nN * .可编辑资料 - - - 欢迎下载

11、精品名师归纳总结n2nn12n1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）证明：当 k2 时， a 211111,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k23k23k43k133k43k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当n2时，nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22a1a11111111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k 1k 2325583n43n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111117 .323n166可编辑资料 - - - 欢迎下载精

12、品名师归纳总结又当 n1时，2a1*17 ,6n27可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对一切nN，有ak.k 16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12（.本小题满分 25 分）如图，点 H 为 ABC 的垂心， 以 AB 为直径的O1和 BCH可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的外接圆O2 相交于点 D ，延长 AD 交 CH 于点 P ，求证：点 P 为 CH 的中点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AO1HDPBCO2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：如图，延长AP 交O2 于点 Q ，连接AH , BD, QB

13、,QC ,QH .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB为O1 的直径，ADBBDQ90.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BQ 为O2 的直径CQBC, BHHQ .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 H 为 ABC 的垂心，AHBC , BHAC.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AH / CQ, AC / HQ ，四边形 ACQH 为平行四边形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

14、结点 P 为 CH 的中点13.（本小题满分25 分） 已知抛物线内接直角三角形 MAB （ 1）求证：动直线 AB 过定点。C : y24 x ，以 M1,2为直角顶点作该抛物线的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）过点 M 作 AB 的垂线交 AB 于点 N ，求点 N 的轨迹方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（1）设直线 AB 的方程为 xmyn ，A x1, y1, B x2 , y2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xmyn,22得 y4 my4n0,可编辑资料 - - - 欢

15、迎下载精品名师归纳总结y4x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y1y24m, y1 y24 n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AMB90 ,MAMB0, 即 x11, y12x21, y220.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x11x21y12y220.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结my1n1my2n1y12y220,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -

16、- 欢迎下载精品名师归纳总结m21y ymnm22yyn140,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m214nmnm2 4mn22n50.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2整理得 n324 m1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n32 m1 或 n32 m1 .当 n32 m1 ，即 n2m5 时，直线 AB 的方程为 xm y25, 2 。（ 2）由（ 1）知，点 N 的轨迹是以 PM 为直径的圆（除去点1, 2 ），其方程为x32y28 x1 .5 过定点P可编辑资料 - - - 欢迎下载