函数的单调性与最值含例题详解.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -函数的单调性与最值一、学问梳理1增函数、减函数一般的，设函数fx的定义域为I，区间 D. I ，假如对于任意x1， x2D ，且 x1x2，就有： 1fx在区间 D 上是增函数 . fx1 fx2 2单调区间的定义如函数 y fx在区间 D 上是增函数或减函数，就称函数y fx在这一区间上具有严格的单调性，区间D 叫做 y fx的单调区间3函数的最值前提设函数 y fx的定义域为I，假如存在实数M 满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于任意x I，都有条件fx M 。存在x0 I ，使得

2、 fx0 M对于任意x I ，都有 fx M。存在 x0 I ，使得 fx0 M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结结论M 为最大值M 为最小值留意：1函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示。如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号 “ ”联结，也不能用“或”联结2两函数fx ， g x在 xa， b上都是增 减函数，就fx gx 也为增 减函数，但1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fx gx，fx等的单调性与其正负有关，切不行盲目类比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结试一试 1以下

3、函数中，在区间0， 上为增函数的是A y ln x2B yx 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xC y12D y x 1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 选 A选项 A 的函数 y ln x 2的增区间为 2， ，所以在 0 ， 上肯定是增函数2函数 fx x2 2xx 2,4 的单调增区间为 。 fxmax . 解析：函数 fx的对称轴 x1，单调增区间为 1,4 ， fxmax f 2 f4 8. 答案： 1,4 8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 -

4、 - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -二、方法归纳1判定函数单调性的四种方法1定义法：取值、作差、变形、定号、下结论。2复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数。3图像法：假如f x是以图像形式给出的，或者fx的图像易作出，可由图像的直观性 判定函数单调性4导数法：利用导函数的正负判定函数单调性 2求函数最值的五个常用方法1单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值2图像法：先作出函数的图像，再观看其最高点、最低点，求出最值3换元法：对比较复杂

5、的函数可通过换元转化为熟识的函数，再用相应的方法求最值4基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值5导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最终结合端点值，求出最值 提示：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域练一练 1以下函数中，既是偶函数又在区间0， 上单调递减的是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A y 1x xB y e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Cy x2 1D. y lg|x|答案： C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12函数 fx 2在区间 2,3 上的最大值是 ，最小值是 可编

6、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： 15x 1110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、考点精练考点一求函数的单调区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、函数fxlog 52x1的单调增区间是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：要使 ylog 52x1 有意义，就 2 x1 0 ，即 x1 ， 而 y2olg5 u 为0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上的增函数，当x11时， u 2x 1 也为 R 上的增函数，故

7、原函数的单调增区间是2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结,.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -答案：1 ,22函数 y x |1x|的单调增区间为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1,解析： y x |1 x|2xx11,x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作出该函数的图像如下列图由图像可知，

8、该函数的单调增区间是 ， 1 答案： ， 13设 函 数y f x 在,内 有 定 义 对 于 给 定 的 正 数k ， 定 义 函 数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fkxfx ,fxk取函数fx2 x ，当 k1时，函数fkx的单调递增区间为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k , fxk2A ， 0B 0， C ， 1D 1， 解析：选 C由 f x1，得 1x1.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 fx1，得2x 1 或 x1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2, x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以

9、 f 1x21 ,122 x , xx1 ，故 1f 1x的单调递增区间为 ， 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解题通法 求函数单调区间的方法与判定函数单调性的方法相同即：1定义法。 2复合法。 3 图像法。 4 导数法考点二函数单调性的判定k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结典例 试争论函数fxxk x0的单调性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法一： 由解析式可知， 函数的定义域是,00,在0， 内任取 x1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页

10、 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -x2 ，令 x1x2 ，那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fxfxxkxkxxk11xxx1 x2k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21212121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 0x1x2x2 ，所以 x2x1x10 ， x1x20 .x2x1x1 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故当 x1, x2k ,时，f

11、x1fx2，即函数在k ,上单调递增可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x1 , x20,k时，fx1fx2，即函数在0,k上单调递减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考虑到函数fxxkk x0 是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性，故在,k单调递增，在k ,0上单调递减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

12、结综上，函数fx在,k和k ,上单调递增，在k ,0和0,k上单调可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结递减 解 题 通 法 1利用定义判定或证明函数的单调性时，作差后要留意差式的分解变形完全2利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判定要精确针对训练 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结判定函数 gx 2x x 1在 1 ， 上的单调性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：任取 x1， x2 1， ，且 x1x2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 gx1gx22x12x22 x1x2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

13、总结x11x21x11x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 1x1x2 ，所以 x1 x20 ， 因此 gx1 gx20 ，即 gx10 时， fxx2，就 x1 x20，fx1 fx2 fx1 f x2 f x1 x2 又当 x0 时， fx0， f x1 x20 ，即 fx1 fx2 因此 fx在 R 上是减函数2 fx在 R 上是减函数，fx在 3,3 上也是减函数， fx在 3,3上的最大值和最小值分别为f 3与 f3 而 f3 3f 1 2， f3 f3 2. fx在 3,3上的最大值为2，最小值为 2.角度二比较两个函数值或两个自变量的大小可编辑资料 - -

14、- 欢迎下载精品名师归纳总结12已知函数fx log 2x1 x，如 x11,2 ， x2 2， ，就 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A fx10 ， f x20B f x10Cf x10 ， f x20 ， fx20解析：选 B函数 fx log2x1在1， 上为增函数， 且 f2 0，当 x1 1,21 x时， fx1f2 0，即 fx10.角度三解函数不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3已知函数fx2x4 x23, x0就不等式f a2 4 f3a的解集为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2 x3, x0A 2,6B 1,4C1,4

15、D 3,5解析： 选 B作出函数fx的图像， 如下列图， 就函数 f x在 R 上是单调递减的由 fa24 f3a，可得a2 43 a，整理得a2 3a 40 ，即 a 1 a 40 ，解得 1a fhx 的形式，然后依据函数的单调性去掉 “f ”，转化为详细的不等式组，此时要留意gx与 hx的取值应在外层函数的定义域内2比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，如自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于挑选题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解巩固练习 一、挑选题1“ a 1”是“函数fxx2 2ax 3 在区间 1 ， 上为增函数”的A 充分不必

16、要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案： A解析： fx对称轴 xa，当 a1时 fx在1， 上单调递增“a1”为fx在1 ， 上递增的充分不必要条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2已知函数fx2x4 x,x0，如 f2 a2 fa，就实数 a 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4xx2 ,x0A ， 12 ， B 1,2C 2,1D ， 2 1， 答案： C解析：由题知f x在 R 上是增函数，由题得2 a2 a，解得 2 a0 时，它有两个减区 间为 ， 1和 1， ，故只需区间 1,2 是 f x和 gx的减区间的子集即可

17、，就a的取值范畴是00， x2 x30 ， x3 x10，就 fx1 fx2 f x3的值A 肯定大于0B肯定小于0C等于 0D正负都有可能答案： A解析： f x fx0， f x f x又 x1 x20，x2 x30， x3 x10 ， x1 x2， x2x3，x3 x1.又 fx1 f x2 f x2， fx2 f x3 fx3， f x3f x1 fx1， fx1 fx2 fx3 fx2 fx3 f x1 fx1 fx2 fx30.二、填空题6函数 y x 3|x|的递增区间是 7设 fx是增函数，就以下结论肯定正确选项 填序号 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 y f

18、x 2 是增函数。y 1f x是减函数。y fx是减函数。y |fx|是增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： 0 ，32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： yx3xx0画图象如下列图：可知递增区间为0 ， 32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x3x

19、x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8设 0x1 ，就函数y 11的最小值是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1 x答案： 4111解析y1112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x1xx 1 x，当 0x1 时， x1 x x2 ， y4.44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、解答题19已知函数fx a |x|.1求证：函数y fx在0， 上是增函数。 2如 f x2x 在1， 上恒成立，求实数a 的取值范畴，1证明：当x 0， 时， fx a 1x设 0x10，x2 x10.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

20、fx1 fx2 a 1x a1 1 1x1 x20.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x2x2x1x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 fx1fx2，即 fx在 0， 上是增函数12解：由题意a x2 x 在1， 上恒成立，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 hx 2x1，就xa0，x2x2 hx在1， 上单调递增故ah1 ，即 a3. a 的取值范畴为 ，3 10已知 fx x2 ax 3 a，如 x 2,2 时， fx 0 恒成立，求a 的取值范畴解：设 f x的最小值为ga，就只需ga 0，.由题意知， fx的对称轴为 a2a71当 2

21、4 时， ga f 2 7 3a0，得 a3.又 a4，故此时的a 不存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -aaa22当 2 2,2，即 4a4时， gaf 2 3a 4 0得 6a 2.又 4a4，故 4a2. a3当 22，即 a 4 时， ga f2 7 a0得 a 7.又 a4，故 7a4.综上得所求a 的取值范畴是7a2.11已知

22、 fx是定义在 1,1 上的奇函数，且f 1 1，如 a， b 1,1 ， ab0时，fafb有0 成立ab1判定 fx在 1,1 上的单调性，并证明它。112解不等式： fx2 f。x 13如 f x m2 2am 1 对全部的a 1,1 恒成立，求实数m 的取值范畴解： 1任取 x1，x2 1,1 ，且 x1x2，就 x2 1,1 ， fx为奇函数，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 fx1fx2fx1fx1fx2fx2fx1 x1fx2x2x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由已知得x1x20 ，x1x 20，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

23、总结 fx1 fx20 ，即 fx1fx2 fx在 1,1上单调递增2 fx在 1,1 上单调递增，x11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x11x1123 2x 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111x13 f1 1， fx在 1,1 上单调递增在 1,1 上， fx 1.问题转化为m2 2am 11，即 m2 2am0，对 a 1,1 成立下面来求 m 的取值范畴设 ga 2ma m2 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -如 m 0，就 ga 00，自然对a 1,1 恒成立如 m0，就 ga为 a 的一次函数，如ga 0，对 a 1,1 恒成立，必需g 1 0，且 g1 ，0 m 2，或 m2. m 的取值范畴是m 0 或|m| 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载