全国研究报告生入学考试数学考试大纲 .docx

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1、精品名师归纳总结2021 年全国硕士讨论生入学考试数学 一考试大纲考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计高等数学试卷结构一）题分及考试时间试卷满分为150 分，考试时间为180 分钟。二）内容比例高等教案约 60 线性代数约 20%概率论与数理统计20约 60%一、 函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性 有界和收敛的关系存在正数M 使 fx、单调性、周期性 留意周期函数的定积分性质和奇偶性 奇偶性的前提是定义域关于原点对称复合函数 两个函数的定义域值域之间关系、反函数 函数必需严格单调，就存在单调性相同的反函数且与其原函数关于y=x 对称 、分段函数和隐函数基本初等函

2、数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 应用题 数列极限 转化为函数极限单调有界定积分 夹逼定理 与函数极限 四就变换 无穷小代换 积分中值定理 洛必塔法就 泰勒公式 -要齐次绽开 的定义及其性质 局部保号性 函数的左极限与右极限留意正负号 无穷小 以零为极限 和无穷大 大于任意正数 的概念及其关系无穷小的性质 和性质积性质 及无穷小的比较 求导定阶极限的四就运算 要在各自极限存在的条件下极限存在的两个准就：单调有界准就和夹逼准就两个重要极限 :函数连续的概念 点极限存在且等于函数值函数间断点的类型 第一型 有定义 ：可去型，跳动型其次型 无定义 ：无穷型，振荡型 初等函数的连续性闭区间上连续

3、函数的性质零点定理介值定理 考试要求1. 懂得函数的概念，把握函数的表示法，并会建立简洁应用问题中的函数关系式。2. 明白函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性3. 懂得复合函数及分段函数的概念，明白反函数及隐函数的概念4. 把握基本初等函数的性质及其图形，明白初等函数的概念.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 懂得极限的概念，懂得函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系6. 把握极限的性质及四就运算法就7. 把握极限存在的两个准就，并会利用它们求极限，把握利用两个重要极限求极限的方法8. 懂得无穷小、无穷大的概念，把握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求

4、极限9. 懂得函数连续性的概念含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型10. 明白连续函数的性质和初等函数的连续性，懂得闭区间上连续函数的性质导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四就运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数 数学归纳法 赖布妮子公式法 一阶微分形式的不变性微分中值定理闭区间连续开区间可导 不是常数 洛必达 函数单调性的判别 利用导数 函数的极值 极值的判定：定义一阶去心邻域可导且左右邻域导数异号二阶可导且该点一阶导为零函数图形的凹凸性 证明 、拐点及渐近线 求解步骤：垂直水平 斜函

5、数图形的描画函数最大值和最小值弧微分曲率的概念 有肯定值 留意参数方程公式 曲率半径考试要求1. 懂得导数和微分的概念，懂得导数与微分的关系，懂得导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，明白导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，懂得函数的可导性与连续性之间的关系2. 把握导数的四就运算法就和复合函数的求导法就，把握基本初等函数的导数公式明白微分的四就运算法就和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分后面要加上 dx 3. 明白高阶导数的概念，会求简洁函数的n 阶导数4. 会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数5. 懂得并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰

6、勒定理典型函数的绽开 ，明白并会用柯西中值定理6. 把握用洛必达法就求未定式极限的方法 洛必达法就受阻时：拆项积分中值 中值定理 7. 懂得函数的极值概念，把握用导数判定函数的单调性和求函数极值的方法一阶导定点 二阶导定性 ， 把握函数最大值和最小值的求法及其简洁应用8. 会用导数判定函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描画函数的图形9. 明白曲率和曲率半径的概念，会运算曲率和曲率半径可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念 被积函数的要求 连续只是原函数存在的充分条件 不定积分的基本性质 线性和差 与求导互逆

7、 基本积分公式 定积分的概念 求极限的应用 和基本性质 留意上下限的位置 线性 分区间 上限大于下限时比大小 估值定理 定积分中值定理用定积分表达和运算质心积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨 与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简洁无理函数的积分 广义积分概定积分的应用考试要求1. 懂得原函数概念，懂得不定积分和定积分的概念2. 把握不定积分的基本公式，把握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，把握换元积分法与分部积分法 常见代换：倒代换三角换元 万能代换 不要跳步运算，以免显现毁灭性的低级失误 3. 会求有理函数、三角函数有理式及简洁无理函数的积分4. 懂得积分上限的函数，会求它的

8、导数 用处远非于此，常与罗尔定理结合解决零点问题，把握牛顿一莱布尼茨公式5. 明白广义积分的概念，会运算广义积分用极限的观点 6. 把握用定积分表达和运算一些几何量与物理量向量的线性运算向量的数量积是数 可交换 和向量积 是向量交换后变号 向量的混合积 交换的性质与行列式性质相同几何意义用于求异面直线的距离两向量垂直 数量积为零、平行 向量积与零向量 的条件两向量的夹角 面面 线线 线面 向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程 点法式 截距式一般式 平面束方程 、直线方程 对称式参数式 一般式 平面与平面、平面与直线、直线与直线的以及平行、垂直的条

9、件 转化为向量之间的关系点到平面和点到直线的距离 利用平行四边形球面母线平行于坐标轴的柱面旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程常用的二次曲面方程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程考试要求1. 懂得空间直角坐标系，懂得向量的概念及其表示。2. 把握向量的运算 、向量积 平行四边形面积及点到直线的距离 、混合积 求六面体体积及异面直线公垂线长判定三个向量是否共面），明白两个向量垂直、平可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结行的条件。3. 懂得单位向量、 方向数 与方向余弦、向量的坐标表达式，把握用坐标表达式进行向量运算的方法。4. 把握平面方程 点法式 混合积

10、 和直线方程 点向失 一般式 及其求法。5. 会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互絭 和连续的概念 有界闭区域上多元连续函数的性质有界性最值存在 介值定理 多元函数偏导数和全微分和全增量的区分 全微分存在的必要条件 连续 偏导存在 任意方向的方向导数存在和充分条件 偏导存在且连续 多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数方向导数和梯度空间曲线的切线和法平面参数方程 留意以x,y,z 为参数方程组 曲面的切平面和法线二元函数的二阶泰勒公式多元函数的极值和条件极值多元函数的最大值、最小值及其简洁应用考试要求1. 懂得多元函数的概念，懂得二元函数的几何意义。2.

11、明白二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。3. 懂得多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，明白全微分存在的必要条件和充分条件，明白全微分形式的不变性。4. 懂得方向导数与梯度的概念并把握其运算方法。5. 把握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。6. 明白隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。7. 明白空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。8. 明白二元函数的二阶泰勒公式。9. 懂得多元函数极值和条件极值的概念，把握多元函数极值存在的必要条件，明白二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值 解方程时要当心

12、哦 ，会求简洁多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简洁的应用问题。六、多元函数积分学可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考试内容二重积分与三重积分的概念、性质、运算和应用两类曲线积分的概念、性质及运算两类曲线积分的关系 格林 已知全微分求原函数两 类曲 线 积 分 的 概 念、 性 质 及计 算 两 类 曲 面积 分 的 关系高 斯Gauss ） 公 式斯 托 克斯 公式散度、旋度的概念及运算曲线积分和曲面积分的应用考试要求1. 懂得二重积分、三重积分的概念，明白重积分的性质，明白二重积分的中值定理。2. 把握二重积分的运算方法直角坐标、极坐标），会运算三重积分 直角坐标、柱面坐

13、标、球面坐标）。3. 懂得两类曲线积分的概念，明白两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。4. 把握运算两类曲线积分的方法。5. 把握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件，会求全微分的原函数。6. 明白两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，把握运算两类曲面积分的方法，会用高斯公式、斯托克斯公式运算曲面、曲线积分。7. 明白散度与旋度的概念，并会运算。8. 会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量的收敛与发散的概念收敛级数的和和函数 的概念级数的基本性质与收敛的必要条件 一般项趋零 几何级数与p 级数 以及它们的收敛性正项级数收敛性的判别法比较 根值 比值 交叉级数与莱

14、布尼茨定理 一般项趋零 递减 任意项级数的肯定收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和函数的概念幂级数及其收敛半径、收敛区间幂级数在其收敛区间内的基本性质 阿贝尔定理及其推论连续性可积可导且收敛区间不变简洁幂级数的和函数的求法 有收敛域的要求初等幂级数绽开式 有收敛域的要求函数的傅里叶Fourier ）系数与傅里叶级数狄利克雷 Dlrichlei）定理函数在 -l ， l 上的傅里叶级数函数在 ,l 上的正弦级数和余弦级数考试要求1. 懂得常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，把握级数的基本性质及收敛的必要条件。2. 把握几何级数与p 级数的收敛与发散的条件。3. 把握正项级数收敛性的比较判

15、别法和比值判别法，会用根值判别法。4. 把握交叉级数的莱布尼茨判别法。5. 明白任意项级数肯定收敛与条件收敛的概念，以及肯定收敛与条件收敛的关系。6. 明白函数项级数的收敛域及和函数的概念。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 懂得幂级数的收敛半径的概念、并把握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。8. 明白幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。10. 把握 ex、sinx 、cosx、ln1+x 和1+x 的麦克劳林绽开式，会用它们将一些简洁函数间接绽开成幂级数。11. 明白傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在-L ， L 上的函数绽开为傅里叶级数，会将定义在0

16、， L 上的函数绽开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。八、常微分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分别的方程齐次微分方程一阶线性微分方程伯努利 Bernoulli ） 方程全微分方程可用简洁的变量代换求解的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简洁的二阶常系数非齐次线性微分方程欧拉 Euler ）方程微分方程简洁应用考试要求1. 明白微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念2. 把握变量可分别的方程及一阶线性方程的解法3. 会解齐次方程、 伯努利方程 和全微分方程，会用简洁的变

17、量代换解某些微分方程4. 会用降阶法解以下方程：yn ） fx ）， y= fx ， y）和 y f行列式按行 行列式的运算 三角式 反的猛 数学归纳法 考试要求1. 明白行列式的概念，把握行列式的性质2. 会应用行列式的性质和行列式按行初等矩阵矩阵的秩 对非零子式的懂得 矩阵等价分块矩阵及其运算 相互的分块之间也是同型矩阵 考试要求1. 懂得矩阵的概念，明白单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质2. 把握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，明白方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质3. 懂得逆矩阵的概念，把握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件

18、，懂得相伴矩阵的概念，会用相伴矩阵求逆矩阵4. 把握矩阵的初等变换，明白初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，懂得矩阵的秩的概念，把握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法5. 明白分块矩阵及其运算 三、向量考试内容向量的概念 向量的线性组合和线性表示不考虑系数是否为零 向量组的线性相关与线性无关考虑是否存在一组系数不为零 向量组的极大线性无关组等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量空间以及相关概念n 维向量空间的基变换和坐标变换过渡矩阵向量的内积线性无关向量组的 正交规范化方法 规范正交基 正交矩阵及其性质考试要求1. 懂得 n 维向量的概念、向量的线性组合与线性表示的概念2.

19、懂得向量组线性相关、线性无关的概念，把握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法3. 明白向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩4. 明白向量组等价的概念，明白向量组的秩与与其行向量组的秩之间的关系 矩阵的秩等于行向量组的秩也等于其列向量组的秩极其留意与最高非零子式的关系5. 明白n 维向星空间、子空间数乘封闭 加法封闭 、基底 极大无关组中的向量、维数 秩、坐标 系数 等概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 明白基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵7. 明白内积 交换 线形 安排 的概念，把握线性无关向量组标准规范化的施密特、正交矩阵的概

20、念，以及它们的性质 四、线性方程组考试内容线性方程组的克莱姆 又译：克拉默 和通解解空间 解向量的线形组合 非齐次线性方程组的通解行变换 最简型 考试要求l会用克莱姆法就 2懂得齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件3. 懂得齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，把握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。4. 懂得非齐次线性方程组解的结构及通解的概念5. 把握用初等行变换求解线性方程组的方法 五、矩阵的特点值和特点向量考试内容矩阵的特点值和特点向量的概念及性质相像变换、相像矩阵的概念及性质 相像同秩，但同秩未必相像 矩阵可相像对角化的充分必要条件存在

21、n 个线形无关特点向量 及相像对角矩阵实对称矩阵的特点值、 特点向量及相像对角矩阵考试要求1. 懂得矩阵的特点值和特点向量的概念及性质，会求矩阵的特点值和特点向量。2. 明白相像矩阵的概念、性质及矩阵可相像对角化的充分必要条件，把握将矩阵化为相像对角矩阵的方法。3. 把握实对称矩阵的特点值和特点向量的性质n 重特点值有 n 个线形无关的特点向量不同特点值所对应的特点向量必正交 。六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理 二次型的标准形 只反映特点值的正负个数 和规范形 系数只能是1，-1 ， 0 用正交变换 系数是特点值 和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的

22、正定性考试要求1. 把握二次型及其矩阵表示，明白二次型秩的概念与其矩阵表示同秩 ，明白合同变化和合同矩阵的概可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结念 明白二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理 涉及到正负惯性系数 2把握用正交变换化二次型为标准形的方法仅此法能判定二次型外形，会用配方法化二次型为标准形3懂得正定二次型、正定矩阵的概念，并把握其判别法定义 秩 与 E 合同 正惯性系数为零次序主子式 概率论与数理统计初步一、随机大事和概率考试内容随机大事 可能发生可能不发生的事情 与样本空间 包括全部的样本点 大事的关系 包含 相等 和 积 差 互斥 对立 与运算 交换 安排 结合 德

23、摸根 对差大事 文氏图 完全大事组 全部基本领件的集合 概率的概念 概率的基本性质 非负性 规范性 可列可加性 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 大事的独立性独立重复试验考试要求1. 明白样本空间 基本领件空间 的概念，懂得随机大事的概念，把握大事的关系与运算2. 懂得概率、条件概率的概念，把握概率的基本性质，会运算古典型概率和几何型概率 弄清几何意义 ，把握概率的加法公式 PAUB=PA+PB-PAB 、减法公式 PA-B=PA-PAB 、乘法公式 PAB=PA*PB|A 、全概率公式 关键是对 S 进行正确的划分 ，以及贝叶斯公式3. 懂得大事的独立性 PAB=PA*PB

24、的概念，把握用大事独立性进行概率运算。懂得独立重复试验的概念，把握运算有关大事概率的方法二、随机变量及其概率分布考试内容随 机 变 量 事 件 结 果 数 量 化 及 其 概 率 分 布 取 某 一 个 随 机 变 量 的 概 率 随 机 变 量 的 分 布 函 数 的 概 念Fx=PX及其性质 离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的概率分布 随机变量函数的概率分布考试要求1. 懂得随机变量及其概率分市的概念懂得分布函数Fx） =PX =x- x+ ） 的概念及性质会运算与随机变量有关的大事的概率2. 懂得离散型随机变量及其概率分布的概念，把握 0 l 分布、二项分布、

25、超几何分布、泊松 、指数分布及其应用，其中参数为 ）0 的指数分布的密度函数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 会求随机变量函数的分布 离散型 连续型 留意单调性 ：公式法 分布函数法 三、二维随机变量及其概率分布考试内容多维随机变量及其分布二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续性随机变量的概率 密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性判定 和相关性常用二维随机变量的概率分布两个及两个以上随机变量简洁函数的分布考试要求1. 懂得多维随机变量的概念，懂得多维随机变量的分布的概念和性质懂得二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布。懂得二维离散型随机

26、变量留意独立性的应用 的概率密度、边缘密度和条件密度会求与二维连续型随机变量相关大事的概率2. 懂得随机变量的独立性及不相关性的概念，把握随机变量相互独立的条件3. 把握二维匀称分布，明白二维正态分布的概率密度，懂得其中参数的概率意义4. 会求两个随机变量简洁函数的分布 划分区域积分法公式法 ，会求多个相互独立 随机变量简洁函数的分布 卷积法 四、随机变量的数字特点考试内客随机变量的数学期望均值）、方差和标准差及其性质随机变量函数的数学期望矩、协方差相关系数及其性质考试要求1. 懂得随机变量数字特点。五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫 Chebyshev ）不等式切比雪夫大数定律伯努利

27、大数定律辛钦 Khinchine ）大数定律棣莫弗拉普拉斯 De Moivre lace）定理 列维林德伯格3. 明白棣莫弗 -拉普拉斯定理二项分布以正态分布为极限分布 和列维 -林德伯格定理独立同分布随机变量序列的中心极限定理 ”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结六、数理统计的基本概念考试内容总体 所讨论对象的全体组成的集合 个体 总体中的每个元素 简洁随机样本 独立同分布 统计量 不含知参数的样本函数 样本均值 样本方差和样本矩 k 阶原点矩 k 阶中心矩 x 2 分布 t 分布 F 分布分位数 正态总体的某些常用抽样分布考试要求1. 懂得总体、简洁随机样本、统计量、样本均值

28、、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为：2. 明白 x2 分布、 t 分布和 F 分布的概念及性质，明白分位数的概念并会查表运算3. 明白正态总体的某些常用抽样分布关于样本均值 关于样本方差 样本均值与样本方差相互独立 七、参数估量考试内容点估量的概念 用样本估量参数 估量量 样本的函数 与估量值 样本函数的一个取值矩估量法最大似然估量法估量量的评比标准无偏性 有效性 一样性 区间估量的概念单个正态总体的均值和方差的区间估量两个正态总体的均值差和方差比的区间估量考试要求 1懂得参数的点估量、估量量与估量值的概念2. 把握矩估量法 一阶、二阶矩）和最大似然估量法3. 明白估量量的无偏性、有效性最小方差性）和一样性 相合性）的概念，并会验证估量量的无偏性4. 懂得区间估量的概念会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间 八假设检验考试内容显著性检验假设检验的两类错误单个及两个正态总体的均值和万差的假设检验考试要求1. 懂得显著性检验的基本思想，把握假设检验的基本步骤，明白假设检验可能产生的两类错误2. 把握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验可编辑资料 - - - 欢迎下载