全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准非数学类.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高校生数学竞赛高等数学 全国高校生竞赛历年试题名师精讲（非数学类）（2021 2021）1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 34 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高校生数学竞赛高等数学 第五届全国高校生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、解答以下各题（每道题6 分共24 分，要求写出重要步骤）

2、2nn1. 求极限 lim1sin14n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解由于sin14n2sin14 n22nnsin14n 2（ 2 分）。2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原式lim1sinexplim n ln1sinn14n22nn14n 22n2分。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结explim n sinexp limn1e42 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n14n22nn14n22n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 证明广义积分sin x dx 不是肯定收敛的0x可编辑资料 - - -

3、欢迎下载精品名师归纳总结解 记 ann 1sin xdxnxn 1，只要证明an 发散即可。（ 2 分）n 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1由于 ann1sinnx dx1n10sinxdx2。（ 2 分）n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而2n 0n1发散，故由比较判别法an 发散。n 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2 分）3. 设函数 yyx 由 x33x2 y2 y32确定，求 yx的极值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解方程两边对 x 求导，得3x26xy3x y6 y y0（ 1 分）可编辑资料 - -

4、 - 欢迎下载精品名师归纳总结xx故 y2 y22 y，令 yx20 ，得 x x2y0x0或 x2 y（ 2 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将 x2 y 代入所给方程得x2, y1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将 x0 代入所给方程得 x0, y1 ，（2 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x2xy又 y2y2 y2x2xx2 y24yy2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 y2x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2学习资料 名师精选 - - -

5、- - - - - - -第 2 页，共 34 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结高校生数学竞赛高等数学 y00220010, y10 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 0, y1, y 0220x2, y1, y 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 y 01 为极大值， y21为微小值。（3 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 过曲线 y3 xx0上的点 A

6、 作切线，使该切线与曲线及x 轴所围成的平可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结面图形的面积为 34，求点 A 的坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解设切点 A的坐标为t , 3t，曲线过 A 点的切线方程为y3 t1xt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 3 t2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 y0 ，由切线方程得切线与x 轴交点的横坐标为x02t 。（2 分）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而作图可知，所求平面图形的面积t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S1 3 tt2t3 xdx3 t

7、3 t3t1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2044故 A 点的坐标为1,1 。（ 4 分）x sin x arctanex可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、（满分 12）运算定积分 I1cos2 xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0解Ix sin xarctanex2dxx sin xarctanex2dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1cos x01cos x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x sin x arctane xx sin x arctanex可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

8、结1cos2 xdx1cos2 xdx（ 4 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x sin x1cos2 xarctane xarctanexdxx sin xdx21cos2 x（ 2 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结002可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin xdx（ 4 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结021cos2 x23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2arctancosx 08（2 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、（

9、满分 12 分）设 fx 在 x0 处存在二阶导数f0，且fxlim0 。证明 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结级数fn 11收敛。nx0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 由于 fx 在 x0 处可导必连续，由fxlim0 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f0lim fxfxlimx0x0x（ 2 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x0xfxf0fxf0limlim0（ 2 分）x0x0x0x由洛必塔法就及定义3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -

10、第 3 页，共 34 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高校生数学竞赛高等数学 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fx2limfxlim1 fxf0102limf0（3 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xx02 xf12 x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2所以limnn1n1 f02（ 2 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于级数1n 1 n2收敛，从而由比较判别法的极限形式f1n 1n

11、收敛。（ 3 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、（满分 12 分）设fx, fx0 axb， 证明bsinafxdx2 m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解由于 fx0 axb ，所以 fx在a, b 上严格单调增， 从而有反函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数（2 分）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 Afa, Bfb ,是 f 的反函数， 就0y11fxm（ 3 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bxyB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 fx，就AB，所以sinfxdxysin y

12、dy（ 3 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ysin ydy1 sin ydy1 cos y2（ 2 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00 mm0m五、（满分 14 分）设是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定其次型的曲面积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ix3x dydz2 y3y dzdx3z3z dxdy。试确定曲面，使积分 I 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结最小，并求该最小值。解 记围成的立体为 V，由高斯公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结I

13、3x26 y29 z23 dv3x22 y23z21 dxdydz（ 3 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结VV22为了使得 I 的值最小，就要求V 是使得的最大空间区域x2 y3z10 ，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2取Vx, y, zx22 y23 z21，曲面: x22 y23z21（ 3 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xu100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为求最小值，作变换yvx, y, z1，就001，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2u,v, wzw3260013可编辑资料 - - -

14、 欢迎下载精品名师归纳总结从而 I3 u 2v26Vw21dudvdw（4 分）2221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结使用球坐标运算，得I3ddr 6 0001 rsindr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3211cos364246（4 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6530615154可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 34 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

15、师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高校生数学竞赛高等数学 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结六、（满分14分）设 Irydxxdy， 其中 a 为常数，曲线C 为椭圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aaCx2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2xyy2r 2 ，取正向。求极限limrI ar可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x解作变换y2uv 22uv 2（观看发觉或用线性代数里正交变换化二次型的方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

16、名师归纳总结法），曲线 C 变为 uov 平面上的椭圆: 3 u 21 v2r 2 （实现了简化积分曲线） ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22也是取正向（ 2 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而且 x2y2u2v2 , ydxxdyvduudv （被积表达式没变，同样简洁！ ），可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Irvduudv可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aa（ 2 分）u 2v2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结曲线参数化 u2 r cos , v 32r sin,: 02，就有vduudv2 r 2 d

17、，3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222r 2 d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ir322 1 adr（ 3 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结02 r 2 cos2222 rsin302 cos2233aaa2sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 Ja202 cos2 3d2sin 2a ，就由于22 cos2332sin 22 ，从而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0Ja。因此当2a1 时 limI arrd/ 20 或 ad1 时 limI arr（ 2 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

18、归纳总结而a1, J102 cos22sin 2420cos22sin 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结/ 2d tandt1t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21212 arctan2303（ 3 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0tan20t 21/ 31/ 3 02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结I1r33232。故所求极限为 Ira0, a1, a1（ 2 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结31112, a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

19、归纳总结七（满分 14 分）判定级数2n 1n1nn 的敛散性，如收敛，求其和。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解（1）记 a111 , uan, n1,2,3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn2nn1n25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 34 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高校生数学竞赛高等数学 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

20、师归纳总结n由于 lim 1ln n0, n 充分大时 0an 11dx1ln nn（ 3 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn1 x111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 0unnn1n21，而3n 2n131 n 2收敛，故2n 1n1nn 收敛（ 2 分）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11（ 2）记 ak1,k1,2,3,，就2k11n1nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sn2kk 1k1k2akk 1k1k2akakk 1k1k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载

21、精品名师归纳总结=a1a1a2a2an 1an 1anan（2 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2334nn1n1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结= a11aa1aa1aaan（ 2 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2132234= 1111111n1an1nn 1n21an（ 2 分 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23243nn1nn2nn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n由于 0a11 dx1ln n ，所以 0an1ln n ，从而lim1ln n0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

22、师归纳总结1 x故 liman0 。nn2n2n2nn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此 Slim Snn1001。（也可由此用定义推知级数的收敛性）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3 分）6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 34 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高校生数学竞赛高等数学 7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学

23、习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 34 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高校生数学竞赛高等数学 8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 34 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高校生数学竞赛高等数学 9可编辑资料 -

24、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 34 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结eK- bAaG&jt&g& f 3z 0,/0 , /0= . A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 7 =0.BJAI = z- .&l& - -r, . . . . . . .3 6j可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结/x- j0 -. - 0. . . . . 2 6 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

25、归纳总结- I&= 2 . . . . 2 610可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ve r/,; dirt. Yx / J; 2r. zJ /o. z z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结N $,W - 2if, IIB Jc ” = 1n+ 2,.r y j s可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a: / zaa, .paaaao =+ + or +:+ = oss2ws: = xf +.-9 - z. &- t A .tr s:sr.r& i.%SRx& s 4. 9.fi 81 B l*. 4.lfcR”J4P+.6. fF,61- bl. J

26、-kpfi kl + 9 - /*”r = 21-ces $/r r &.Yf -+tI11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结$ fr r dr -+ t f I s at -rff 1 dt “,dt: &B o J- a, -Y b, 68t&L.-I可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 _ a,b, 0.B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BIxn “*- 0,ji &, BB. -gb,h,.,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Jr.oiI1.JIfl.rIl.r1.İ.II/*i.İ

27、.J12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高校生数学竞赛高等数学 13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 13 页，共 34 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高校生数学竞赛高等数学 第三届全国高校生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一运算以下各题（此题共3 小题，每道题各5 分，共 15 分，要求写出重要步骤。

28、）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） . 求 limsin x11 cosx。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：方法一（用两个重要极限） ：1xsin xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limsin x1 cos xlim1sin xxsin x xx1 cos x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xx0x1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin xxcos x12 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin xxlimlimlim

29、1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limex 1 cos xx01 x3e2x03 x2e2x0 3 x2e2e 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法二（取对数）：1sin x1ln sin xlimx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin x1 cos xlimxx01 x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limex01 cos xe2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xsin x xcos x1 212 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结