初中数学奥林匹克中的几何问题第二章塞瓦定理及应用.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结习题 A其次章塞瓦定理及应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1对 ABC及点 O ，由塞瓦定理可得AFFB3 ， AFAB3 又对4 ADC与截线 FOC ，由梅涅劳斯定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 AOOD4 ， AO4 ，故 S AFO343，由此可知SBDOF2又S ABD1 ，所以 SBDOF2115S ABD455S ABD5S ABC4S ABC5410AD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2

2、在 ABC中由题设及塞瓦定理有BDCEAF DCEAFB1 又有BDCD ， DCD B ， CEAE ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EAE C ， AFBF ， FBF A ，故共点CDBFAE D BF AE C1 由塞瓦定理之逆知AD ， BE ， CF三线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3由割线定理有AFAFAEAE ，即 AFE AEAAF同理，BDF BFBBD， CED CDCCE三式相乘并适可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当交换位置，有BDCEAFD CE AF BDCEAFBBDCEAF知 AD ， BE ， CF三线共点由

3、塞瓦定理知BDCEAF DCEAFB1 ，再由塞瓦定理之逆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4设 ABC的边 BCa ， CAb ， ABc ，周长为 2s ，过顶点A ， B ， C 且平分 ABC周长的直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线分别交 BC ， CA ， AB 于点 D ， E ， F ，就由 BDCDa ， cBDbCD ，求得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BD1 abc2sc，CD1 cab 2sb同理CEs，AEsbCD，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BFsaCE 故有BDCEAFDCEAFB1 由塞瓦定理之

4、逆，知AD ， BE ， CF 共点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5令BACa3，ABC3 ，ACB3，由角平分线性质有QXAQ， BYBR ， PZCP 由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结XRARYPBPZQCQ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正弦定理，有BRARsin CP，sin BPsin AQ，sin CQsin ，于是sin QXBYPZBRCP XRYPZQARCQ1 由塞瓦定理之可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结逆，值 PX ， QY ， RZ 三线共点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6令BAC3，

5、ABC3，ACB3，由平分线性质有EXAEFXAFFYBF，YDBDDZCD，设ZECE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AF2Rsin 3sin608 Rsin sin60 sin60 ， sin sin60 sin60 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin60可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结子啊 AEF中，由余弦定理及公式sin 2 xysin2 xsin 2 ysin xsin ycosxy ，求得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EF8

6、Rsin60 sin60 sin60 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由AEAFEF，知 sinAFEsin ， sinAEFsin ， 故 AEsin 同理，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinAFEsinAEFsin60AFsin 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BFsin CD，sin EX于是FYDZBDsin CEsin XFYDZE1 ，由塞瓦定理之逆，知DX ， EY ， FZ 三线共点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7由正弦定理， 有 sinEAAEAsin AEAA E，sinA AFA Fsin AFAA F

7、两式相除并留意AEAF ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有 sinAA EsinAA F ， 就 sinsinEAAEAA AFA F，即 sinsinCAAEAA ABA F同理 sinsinABBFB，B BCB D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinsinBCCDCC CAC E三式相乘，得sinsinCAAA ABsinsinABBB BCsinsinBCCEAFBDCC CAA FB DC E由于 DAEB ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结FC 共点于 O ，就上式右边等于1，从而左边亦等于1由塞瓦定理之逆，知AA ， BB ，

8、CC 共 点 8设 AD ， BE ， CF 分别与 B C ， C A ， A B 垂直于 D ， E ， F ，且 AD ， BE ， CF 共点于 P A G ， BH， CL 分别与 BC ， CA ， AB 垂直于 G ， H ， L 又锐角HB A 与ACP 的两边分别垂直，故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结HB AACP ，同理，B A GPCB ，从而 sinsinHB A B A Gsin sinACP PCB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - -

9、-第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类 似 的 有sinsinGA CA C LsinsinCBPPBA，sin sinLC BPBAsinsinBAPPAC 三 式 相 乘 并 适 当 整 理 ， 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinsinGA CB A GsinsinLC BA C LsinsinHB AC B HsinsinACPPCBsinsinCBPPBAsinsinB

10、AP 由 ABC PAC重 AP ， BP ， CP 共可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点及角元形式的塞瓦定理，知上式右边等于1，从而左边也等于1，也等于 1由塞瓦定理之逆， 知 A G ，BH ， C L 三线共点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9设PBCx ，就ABP40x ，由 sin 80sin x sin 20sin40sin101，求得 xxsin 3020 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10设ACDx ，就BCD50x ，由 sin10sin 40sin xsin 70sin10sin50x1 ，求得 x30可编辑资料 - - -

11、 欢迎下载精品名师归纳总结11设MBAx ，就MACsin 20sin 20sin7070，由sin60sin10sin xx1 ，及可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin60sin xsin 20sin 40sin80sin70xsin60sin70x ，求得 x30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2sin 402sin 40可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12连 AP ，设PACx，就BAP110x 对 ABC及点 P ，有 sin110 sxin20sin201 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin xsin20sin1

12、0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求 得 x80此时APC80过 M 作 EM AP 交 PC 于 E ，就梯形APEM 为等腰梯形，有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PMAE 又ANENBCBCN50，AEPAMP180MABABM50， 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A NA ，E 故 PMAN 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13设NCBx ，就14设ACDx ，就ACN20BCD40x ，由 sin 20sin30sin20 sin100sin10sin xx ，由 sin10sin 40sin x sin 70sin

13、 20sin40x1 ，求的 x1 ，求得 xx 1030 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15设MBCx ，就ABM50x ，由 sin 60sin xsin 40sin50sin101及xsin 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin60sin x14sin 20sin 40sin80sin50xsin60sin50x ，求得 x30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2sin 202sin 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15设PAcx ，PAB80x ，由 sin80sin xxsin 40sin101及 sin30s

14、in 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin x4sin10sin50sin70sin80xsin30sin80x) ，求得 x30 分别在 APC ， BPC ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ABCsin50sin50CAs i n 4 0s i n 4 0 BP，sin 20， ABsin301APs i n 1 0s i n 1 0 PCsin 40CBsin802cos10中 由 正 弦 定 理 ， 有 故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CAABBPCAAPPCCBAPBP . AB

15、 PCCB17连 BP ，设ABPx ，就1 PBC40x ，对 ABC 及点 P 有 sin 20sin40sin80sin xx) sin301，求 sin10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 x20 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结连 PQ ，设APQy ，就QPC70y 对 APC及点 Q 有 sin 60sin70sin 20sin yy) sin101 ，求得 sin 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y40此时，APQ40PABBAP ，故 B ， P ， Q 共线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结18设ABPx，

16、就PBC50x 对 ABC及点 P 有 sin 60sin50sin 20sin xxsin101求得 x sin 4020 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即有PBQ20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结连 PQ ，设QPCy，就BPQ110y 对 BCP及点 Q 有 sin110sin yy) sin101 ，求得 y sin 2030，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即有BPQ80又BQP180PBQBPQ80 ，故 BPBQ 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结19 连 DI ， IC ， 由 A BA C及 I 为 内 心

17、， 知BCIIBCIBD20 又 由 BDBI ， 知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BDI80 设DCIx ，就IDC40x ，对 BCDsin80sin 20sin x及点 I 有1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin40xsin 20sin 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - -

18、- 欢迎下载精品名师归纳总结求得 x10 故BCD30为所求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结20设过 A ， B ， C 分别与 BC ， CA ， AB 平行的直线交成 A B C，就 A ， B ， C 分别为 B C ， C A ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A B 的中点又设过A2 ， B2 ， C2 与 AA1 ， BB1 ， CC1 平行的直线l a ， lb ， l c 分别与 B C ， C A ， A B 交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于 A2 ，B2 ， C2，就有A2 A2 BCA1A180。而由BACA ，BA2C

19、A ，A BA2ACA1 ，知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BA2 A CA1 A ，有BA2 ACA1 A 从而A2 A2 BBA2 A180，即 A2 ，A2 ， A 三点共线故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有 B A2CA2A2CBA1（ 因 BA1A2C ，A1CBA2 ） = 同 理 ， uC B2CBu ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A2 CA2 BBA2A1CB2 AB1 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结vA CAC1v 于是由塞瓦定理知l， l， l 共点u v1uv1AA , BB , CC 共点可编

20、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C2 BC1 Babc111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21因 GHBCGAGE，有BDEDHAHF，CDFD 即 BDEDGA ，CD GEFDHA HF又 ABAC，ADBC ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 BDCD 于是 EDGAFDHA 即DEGAHF1 由塞瓦定理，即得结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结GEHFEGAHFD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22令 BCa ， CAb ， ABc ，就 SLb， MN2c由 SLDMND2LDLSb，得NDMNc同理，可

21、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结NFaMFbMEc，在LEa MNL中，有LDNFMENDMFLE1 由塞瓦定理之逆，知MD ， NE ， LF 共点，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 MS ， NT ， LU 共点23设AEXXFE，AFXXEF，XAEa ，XAF 在 AEF1中， AX ， EX ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结FX 交于一点，由角元形式的塞瓦定理，有sin sin sin 1 ，即sin sin 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin sin sin sin sin 可编辑资料 - - - 欢迎下载精

22、品名师归纳总结令YEF，YED， FBY，YBD， EFZ， DFZ，ECZ ， DCZ 同11sin sin 2sin sin 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结理，有sin sin ，sin 12 留意到AP ， BP ， CP 交于一点，由角元形式的塞瓦定理， sin 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有 sin sin sin sin sin sin sin 2sin 1，由此即证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24令CCP 21，CC P42 ，BB P13 ，BB P64 ，AA P35 ，AA P56 AA ，可编辑资料 - - - 欢

23、迎下载精品名师归纳总结sin1sin3sin5sin2sin4sin6CP2sinCP2CBP1sinBP1BAP3sinAP3 ACP4sinCP4CBP6sinBP6 BAP5sinAP5 ABB ， CC 共线11 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而AP1AP4BP2BP5CP3CP6，就CP2 CAP5 A，AP3 ABP6 B，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CP4CBP1BCP2 CP4BP1 BP6AP31 AP5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由条件易知，BP1AP5 ， CP2BP6 ，AP3CP4 由此即证可编辑资料 - -

24、 - 欢迎下载精品名师归纳总结注：此题也可以应用梅涅劳斯定理证分别延长AB 和 A B ， CB 和 C B ， AC 和 A C 得交点 M ， N ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结G（交点可无穷远处） 由AP1BP5 ，有 BP1AP5 同理， AP3CP4 ，BP6CP2 直线 B A M 截 ABC ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由梅涅劳斯定理，有BMAP3CP61 同理，AGCP2BP51 ， CNBP1AP41 三式相乘可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MAP3 CP6 BGCP2 BP5 ANBP1 AP4C可编辑资料 - -

25、- 欢迎下载精品名师归纳总结并留意BPAP ， APCP ， BPCP ，得BMAGCN1 由梅涅劳斯定理之逆，知M ， N ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结153462MAGCNB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结G 共线又点M ， N ， G 分别是 A B C和 ABC对应所在直线的交点，利用笛沙格逆定理可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 A B C和 ABC对应顶点的连线A A ， B B ， C C 共点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结25设 PA 与 BC 相交于 D ，对 ABC应用塞瓦定理， 有AFBDCE FB

26、D CEA1 又由梅涅劳斯定理，点 F ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E ， D 共线的充要条件是AF BDCEFB DCEA1 从而转证BDDBD CDC即可因ACCD ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DPA1802DPC ，这说明DPCCPD，即 PC 时DPD 的平分线，且PCPB ， PB 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DPD 的外角平分线，由此即证得结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资

27、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结126设AA ， BB ， CC 交 边 BC ， CA ， AB 于 A ，B ， C由BA2S ABAAB sin B ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111222A2 CS ACACA sin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CB2BCsin C ，AC2ACsin A1，三式相乘即证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B2 AAB习题 Bsin AC2 BBCsin B可编辑资料

28、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1设直线AD ， BE ， CF交 BC ， CA ， AB 于 A ， B ， C过 D 作 O 的切线交AB ， AC 于 M ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结N 由 MNBC，知 AMDABA， AD N AA CMDADDN，就BAAAAC，即 BAMD连ACDN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OM ， ON ，设 O 的半径为 r 就 B ， D ， O ， F 。 C ， D ， O ， E 分别四点共圆由FODB ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EODC ， 就MOD1FOD1B ，NOD

29、1EOD1C 而 MDnatMODantB，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2222r2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结D NtanNODtanC ，就MD D N1tan1BtanC ，即BA A C1tan1BtanC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r22222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同理，CB B A1tan1CtanA ， AC C B1tan1AtanB ，就BACBAC1 由塞瓦可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2222A CB AC B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理之逆，

30、有AA ， BB ， CC 三线共点即AD ， BE ， CF 三线共点2设 BD 交圆于 M ，N ，连 ME ， MH ，MF ，NH ，NE ，NF ，NG ， EH ，FG 由 BMEBEN，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BMF BFNEMBE，有ENBNMFBF，FNBN而 BEBF ，就 EMMFENFNEMEN，即MFFN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同理， NHHMGNGMNHEMHMEN于是MFGNGMFN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MHEMNHEMHEMNMFGNMFGNFGMN对圆内接四边形HEMN 和 GFMN

31、分别应用托勒密定理，有HMENENEMHEMN ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结GMFNMFGNFGMN ，所以，由此得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结NHEMFGHEMFGN ， 即NHEMFG HE MF GN1 由塞瓦定理的推论， 知 BD ，GE ，HF 三线共点 同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结理， AC ， GE ， HF 三线共点因GE 与 HF 交点唯独，故AC ， BD ， HF ， GE 四线共点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3设 ABC 的内心为I ，就

32、I 是 A0 B0 C0 的垂心令BAC2，ABC2 ，BCA2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）由BIA1IBA1 ，有A1BA090A1 A0 B ，即IA1I1 BI1 A0 ，有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S A BI2S A BI同理，S A0CI2S A CI ，故 SA BIC2SA BIC 同理， SB CIA2SB CIA ，SC AIB2SC AIB 三可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结01式相加即证1010101可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（） 令C0 B1 ，A0 C2 ，B0 AC B3，就01， A0C2， B0 A3对 A0B0C0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C0 A0A0 B0B0C0BA011BA012AC013可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应用塞瓦定理，有C0 BA0 CB0 A121，即31 ，从而111