函数对称性、周期性和奇偶性规律总结.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -函数对称性、周期性和奇偶性关岭民中数学组 一 、同一函数的函数的奇偶性与对称性： （奇偶性是一种特别的对称性）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、奇偶性 : （1） 奇函数关于（ 0， 0）对称，奇函数有关系式f xf x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）偶函数关于 y（即 x=0）轴对称， 偶函数有关系式2 、奇偶性的拓展:同一函数的对称性（1）函数的轴对称：f xf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

2、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 yf x 关于 xa 对称f axf ax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f axf ax 也可以写成f xf 2ax或f xf 2ax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 写 成 ：f axf bx， 就 函 数yf x关 于 直 线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xaxbx 2ab对称2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证 明 ： 设

3、点 x1,y1 在 yf x上 ， 通 过f xf 2ax可 知 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y1f x1 f 2ax1 ，即点2ax1 , y1 也在 yf x 上，而点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1 , y1 与点 2ax1 , y1 关于 x=a 对称。得证。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：关于 xa 对称要求横坐标之和为2a ，纵坐标相等。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ax1 , y1 与ax1,y1 关于

4、 xa 对称，函数yf x 关于 xa 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f axf ax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x1 ,y1 与2ax1,y1 关于 xa 对称，函数yf x 关于 xa 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf 2ax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x1 , y1 与2ax1 , y1关于 xa 对称，函数yf x 关于 xa 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x（ 2）函数的点对称：f 2ax可编辑资料 - - - 欢迎下

5、载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 yf x 关于点 a, b 对称f axf ax2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上述关系也可以写成f 2ax f x2b或f 2 ax f x 2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如写成：f axf bxc ，函数 yf x 关于点 ab , c 对称22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - -

6、- - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：设点x1 , y1 在 yf x 上，即 y1f x1 ，通过f 2 axf x2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可知，f 2 ax1 f x1 2b ，所以f 2ax1 2bf x1 2by1 ，所以点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下

7、载精品名师归纳总结 2ax1 ,2by1 也在 yf x 上，而点2ax1 ,2by1 与 x1 , y1 关于 a,b 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得证。说 明 :关 于 点a ,b对 称 要 求 横 坐 标 之 和 为 2a , 纵 坐 标 之 和 为 2b , 如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ax与（ ax之和为2a 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）函数 yf x 关于点 yb 对称: 假设函数关于 yb 对称，即关于任一个x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

8、结值，都有两个 y 值与其对应， 明显这不符合函数的定义，故函数自身不行能关于yb 对称。但在曲线cx,y=0，就有可能会显现关于yb 对称，比如圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c x, yx 2y 240 它会关于 y=0 对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）复合函数的奇偶性的性质定理：性质 1、复数函数 y fgx为偶函数，就 fgx fgx。复合函数 yfgx为奇函数，就 fgx fgx。性质 2、复合函数 y fx a 为偶函数，就 fx a f xa 。 复合函数 yfx a 为奇函数，就 f xa fa x 。性质 3、复合函数 y fx

9、 a 为偶函数，就 yfx关于直线 x a 轴对称。复合函数 yfx a 为奇函数，就 yfx关于点 a,0中心对称。总结： x 的系数一个为 1，一个为 -1 ，相加除以 2，可得对称轴方程总结： x 的系数一个为 1，一个为 -1 ，fx整理成两边，其中一个的系数是为1， 另一个为 -1 ，存在对称中心。总结： x 的系数同为为 1，具有周期性。 二 、两个函数的图象对称性1、 yf x 与 yf x 关于 X 轴对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证 明： 设yf x上 任一 点为x1,y1就 y1f x1， 所以yf x经 过 点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

10、师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x1 ,y1 x1 , y1与 x1 ,y1 关于 X 轴对称， y1f x1 与yf x 关于 X轴对称 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：换种说法：yf x 与yg xf x如满意f xg x，即它们关于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

11、资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y0 对称。2、 yf x 与yf x 关于 Y 轴对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：设yf x 上任一点为x1,y1 就 y1f x1 ，所以yf x 经过点 x1,y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x1 , y1 与 x1 , y1 关于 Y 轴对称，yf x与 yf x 关于 Y 轴对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

12、总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称。注：由于 x1, y1 代入yf x 得 y1f x1 f x1 所以yf x 经过点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1 , y1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结换种说法：yf x 与yg xf x如满意f xg x ，即它们关于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g xf xf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、 yf x 与 yf 2 ax 关于直线 xa 对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

13、证明：设yf x上任一点为 x1 ,y1 就 y1f x1 ，所以yf 2 ax经过点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 ax1,y1 x1 , y1与 2 ax1 , y1 关于 xa 轴对称，yf x 与yf 2 ax 关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于直线 xa 对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：换种说法：yf x 与yg xf 2 ax如满意f xg 2ax ，即它们可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结关于 xa 对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4

14、、 yf x 与 y2af x 关于直线 ya 对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：设yf x上任一点为 x1 , y1 就 y1f x1 ，所以y2af x 经过点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x1 , 2ay1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x1, y1 与 x1 , 2ay1 关于 ya 轴对称 ， yf x 与 y2af x 关于直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ya 对称.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：换种说法：yf x 与 yg x2

15、af x 如满意f xg x2a ，即它们可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结关于 ya 对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、 yf x与y2bf 2ax 关于点 a,b对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：设yf x 上任一点为 x1 , y1 就 y1f x1 ，所以 y2bf2 ax 经过点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 ax1, 2by1 x1 , y1 与2 ax1, 2by1 关于点 a,b对称， yf x 与y

16、2bf 2ax 关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于点a,b对称.注：换种说法： yf x 与yg x2bf2 ax 如满意f xg 2 ax2b ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即它们关于点 a,b对称。可编辑资料 - - -

17、 欢迎下载精品名师归纳总结g 2ax2bf2 a2 ax2bf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、 yf ax 与yf xb 关于直线 xab对称。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：设yf x上任一点为x1,y1 就 y1f x1 ，所以yf ax经过点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ax1 , y1 ,yf bx经 过点bx1, y1 , ax1,y1 与 bx1 , y1 关于 直 线可编

18、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xab 2对称，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 yf ax 与yf xb 关于直线 xab对称。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、总规律：定义在上的函数yfx，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，就第三条肯定存在。一、同一函数的周期性、对称性问题 即函数自身 一 、函数的周期性：对于函数yf x ，假如存在一个不为零的常数T，使得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x取定义域内的每一个

19、值时，都有f xT f x都成立，那么就把函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf x 叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。假如全部的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。1、周期性：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）函数 yf x 满意如下关系式，就f x的周期为 2T可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A、 f xT f xB 、 f xT1f x或f xT 1f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

20、总结C 、 f xT 21f x或1f xTf x21f x1f x（等式右边加负号亦成立）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结D 、其他情形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）函数 yf x 满意f axf ax 且f bxf bx ，就可推出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf 2axf b 2axbf b2axbf x2ba 即可以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得到 yf x 的周期为 2b-a ，即可以得到“假如函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，就函数肯定是周期

21、函数”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）假如奇函数满意f xT f x 就可以推出其周期是2T，且可以推出对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结轴为 xT2kT k2z ，依据f xf x2T 可以找出其对称中心为可编辑资料

22、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结kT，0 kz （以上 T0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如偶函数满意f xT f x 就亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为 T2kT ,0k 2z， 根 据f xf x2T 可 以 推 出 对 称 轴 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xT2kT kz（以上 T0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）假如奇函数 yf x 满意f Txf Tx （ T0 ），就函数 yf x 是可编辑资料 -

23、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以 4T 为周期的周期性函数。假如偶函数yf x 满意f Txf Tx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ T0 ），就函数 yf x 是以 2T 为周期的周期性函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 1：如函数 fx在 R上满意f ax fax，且 f bx fbx （其可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中 ab），就函数 yfx以2 ab 为周期 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -

24、- 欢迎下载精品名师归纳总结定理 2：如函数 fx在 R上满意f ax fax，且 f bx fbx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（其中 ab），就函数 yfx以 2 ab 为周期 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 3：如函数 fx在 R 上满意f ax fax， 且 f bx fbx （其可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中 ab），就函数 yfx以4 ab为周期 .可编辑资料 - - - 欢迎下

25、载精品名师归纳总结定理 4：如函数 fx的图像关于直线x=a 和 x=b 都对称，就 fx是周期函数， 2（ b-a ）是它的一个周期（未必是最小正周期）。定理 5：如函数 fx的图像关于点（ a,c ）和b,c都成中心对称，就fx是周期函数， 2（ b-a ）是它的一个周期（未必是最小正周期）。定理 6：如函数 fx关于点（ a,c ）和 x=b 都对称，就 fx是周期， 4（ b-a ）是它的一个周期（未必是最小正周期）。定理 7：如函数 fx满意 fx-a=fx+aa0,就 fx是周期函数，2a 是它的一个周期。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - -

26、- - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理8：如函数fx满意fx+a=-fxa0或 fx+a=1或f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fx+a=1f x 就 fx周期函数， 2a 是它的一个周期。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 9：如函数f xa1f x f1f x x1, a0 , 就 fx是周期函数， 4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是它的一个周期。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 fx满意f xa 1 1f x f xf x1, a0 , 就 fx是周期函数， 2a 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结它的一个周期。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载