函数高中数学基础知识与典型例题复习.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载数学基础学问与典型例题复习其次章函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 广东省阳江市第一中学周如钢 编写函4.函数值域的求法：配方法1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结映映射：设非空数集A ，B，如例 1. 如 A1,2,3,4 ，B a, b, c ,就 A 到 B 的映数 二次或四次 。判别式法。例6. 已 知g x12 x,fg x2x 0,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结射对集合 A 中任一元素 a，在集射有个， B 到 A 的

2、映射有个。如反函数法（反解法） 。换1求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结合 B 中有唯独元素b 与之对A1,2,3 ， B a ,b,c , 就 A 到 B 的一一映射元法（代数换元法） 。不等f .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应，就称从 A 到 B 的对应为映射，记为f：A B，f 表示对应法就， b=fa。如 A 中不同元素的象也不同， 且 B 中每一个元素都有原象与之对应, 就称从 A 到 B 的映射为一一映射。函1.函数定义：函数就是定义在有个。例 2. 设集合 A 和集合 B 都是自然数集合 N， 映射 f : A B 把集合 A 中的元素 n

3、映射到集合 B 中的元素 2 n n ，就在映射 f 下，象 20 的原 象 是 （A ） 2 （B）3 （ C）4 （D）5例 3.已知扇形的周长为 20，半径为 r ，扇形面式法。单调函数法 .注:求函数值域是函数中常 见问题，在初等数学范畴内， 直接法的途径有单调性， 基本不等式及几何意义， 间接法的途径为函数与方程的思想， 表现为法，反函数法等，在高等数学范畴内， 用导数法求某可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数非空数集 A ，B 上的映射，此积 为 S ， 就 Sf r 。 定 义 域些函数最值（极值）更加便利 .常用函数的值域， 这是求其可编辑资料 - - - 欢迎下

4、载精品名师归纳总结时称数集A为定义域，象集为。他复杂函数值域的基础。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C= fx|x A 为值域。2.函数的三要素：定义域，值例 4. 求函数f xx 23x4x12的定义域 .函数 ykx bk0, xR 的值域例 7. 求函数 y2 x41x 的值域 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结域，对应法就 . 从规律上讲， 定义域，对应法就打算了值为R;二次函数yax2 bx ca 0, x R当 a0 时值2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结域，是两个最基本的因素。域是 4acb24a, ,当 a0 时值可编辑资料 -

5、- - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 函数定义域的求法： 列出访函数有意义的自变量的不等域是 ,4 ac4 ab 。反比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结关系式，求解即可求得函数的例函数 yk k0 , xx0 的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义域 .常涉及到的依据为： 为 y | y0 。 指 数 函 数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分母不为 0。偶次根式中被yax a0, 且a1, xR 的 值 域 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结开方数不小于 0。对数的真数大于 0，底数大于零且不等例 5. 如函数 yf x 的定

6、义域为 1,1 ，求函R 。对数函数 ylog a x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于 1。零指数幂的底数不等11a0, 且a1, x0 的值域为 R。例 8. 以下函数中值域为0 ，的是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于零。实际问题要考虑实际数 yf xf x 的定义域。 函数 ysinx, ycos x xR 11 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结44意义等 .的 值 域 为 -1 ， 1 。 函 数(A) y5 2 x(B) y3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注: 求函数定义域是通过解关于自变量的不等式（组）来实yt

7、anx,xk,2ycot x(C) yx11Dy12 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结现的。函数定义域是争论函数xk , kZ 的值域为 R。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质的基础和前提。 函数对应法就通常表现为表格， 解析式和图象。单函数的单调区间可以是整个调定义域，也可以是定义域的一 性部分 . 对于详细的函数来说可能有单调区间， 也可能没有单调区间，假如函数在区间（ 0， 1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在（0，1）（1，2）上为减函数.例 9. 争论函数f x1x 2的单调性。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

8、结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 f xf x0， f x（ fx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结单单调性：争论函数的单调性应1x1 0）f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结调结合函数单调区间， 单调区间例 10. 函 数 y2在定义域

9、上的单调性为反1. 反 函 数 定 义 ： 只 有 满 足例 13.求函数y11x 2（ 1 x 0 ） 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性应是定义域的子集。判定函数单调性的方法： 定（A ）在,1 上是增函数，在 1,上是增函函数x唯独y ，函数 yf x 才有反函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结义法（作差比较和作商比较） 。数;（ B）减函数 ; （C）在,1 上是减函数，反函数 . 例如：yx2 无反函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图象法。 单调性的运算性在 1,上是减函数 ;（D）增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

10、结质（实质上是不等式性质） 。复合函数单调性判定法就;例 11.已知函数 f x, g x在 R 上是增函数，求证： f g x 在 R 上也是增函数。数 .函数 yf x 的反函数记可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1导数法（适用于多项式函数）为 xf1 y， 习 惯 上 记 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数单调性是函数性质中最 活跃的性质， 它的运用主要表达在不等式方面，如比较大 小，解抽象函数不等式等。yf x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇1. 偶函数：f xf x .设例 12.判定以下函数的奇偶性：2.求反函数的步骤 :将

11、yf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结偶（ a, b ）为偶函数上一点，就性（a, b ）也是图象上一点 . f x1x x1,1x看成关于 x 的方程 ,解出 x f 1y ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结偶函数的判定： 两个条件同如有两解，要留意解的挑选。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时满意定义域肯定要关于2将 x, y 互换，得 yf1 x 。例 14.已知f x2 x3，函数y=gx 图象与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y 轴对称，例如：yx1在写出反函数的定义域（即x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

12、总结1, 1 上 不 是 偶 函 数 . 满 足yf1 x1 的图象关于直线y= x 对称，求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf x ， 或 f xf x0 ， f xx21 1x2 ,yf x 的值域）。g11的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 f x0时，f x1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 奇函数：f xf xf x .设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ a, b ）为奇函数上一点，就3.在同一坐标系， 函数 yf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（a, b ）也是图象上一点 .可编

13、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇函数的判定： 两个条件同时满意定义域肯定要关于与它的反函数yf1 x 的图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原点对称，例如： yx3 在1, 1 f xx2xx0象关于 yx 对称.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1上 不 是 奇 函 数 . 满 足xx2x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf x ，或 f xf x0 ， 注 ：一般的，f x 3f x3的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 f x0时，f x1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x反函数 .f

14、1 x3 是先f x 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注: 函数定义域关于原点对称是判定函数奇偶性的必要条件，在利用 定义判定时， 应在化简解析式后进行，同时敏捷运用定义域的变形，反函数，在左移三个单位.f x3 是先左移三个单位， 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资

15、料欢迎下载f x 的反函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反4.单调函数必有反函数，但并非例 15. 如函数yf x 的图象经过0,1 ，那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函反函数存在时肯定是单调的. 因yf x4 的反函数图象经过点 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数此，全部偶函数不存在反函数.A 4,1B 1, 4指2.对 数 函 数 ： 如 果a例 21.设 x, y, z0,且3 x4 y6 z ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函C 4,1D 1, 4数函（ a0

16、, a1 ）的 b 次幂等于 求证: 111 ;比较3x,4 y,6z 的大小 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数.数N ，就是 abN ，数 b 就叫做以x 2 yz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设函数y = f （ x）定义域，值域分别为 X 、Y. 假如 y = f（x）在 X例 16. 设 fx4 x2 x1 ，就 f1 0 .与a 为 底 的 N 的 对 数 ， 记 作对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上是增（减）函数，那么反函数y f 1 x 在 Y 上肯定是增（减）数log a Nb（ a0, a1 ，负数和函零没有对数）。其中

17、 a 叫底数，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数，即互为反函数的两个函数增减性相同 .例 17. 函 数 ymx1 xR, 与 yxnnR数N 叫真数 .对数运算：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一般的， 假如函数yf x 有反2互为反函数的充要条件是 .loga M Nloga Mloga N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数，且f ab ，那么f 1 ba .log Malog Mlog N1log3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结N这就是说点 （ a, b ）在函数 yf xaa例 22.已知 fxx， g x2 log

18、 x 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结log M nn log M试比较f x和g x 的大小。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图象上，那么点（b, a）在函数aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf1 x 的图象上 .log n M1 log M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aa注:1. 函数fx的反函数f-1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ax的性质与 fx性质紧密相连， 如定义域、alog NN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值域互换，具有相同的单调性等，1ax b换底公式：loga

19、Nlogb Nlogb a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结把反函数f-1x例 18. 如点2, 既在函数4y2的图象上，推论：loga blogb clogc a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的问题化归为函数fx的问题是处又在它的反函数的图象上，就a = ， b = log alog a. logalog a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a12a23an 1na1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结理反函数问题的重要思想。2.设函数fx定义域为A ，值域为以上M0,N0,a0,a1,b0,b1,例 23. 求函数 ylog 1

20、 x23x18 的单调减区可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C ， 就 f-1 fx= x,xA c0,c1,a1,a2,.,an0且12间，并用单调定义赐予证明。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f f-1 x= x,xC例如：logx 22logx2logx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结指1.指数函数：ya x例 19.函数 ya x 21 a0 ，且 a1 的图象aaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数（ a0, a1 ），定义域 R，值必经过点 中 x0 而 log a x2 中 xR）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

21、名师归纳总结函域为（ 0,）.当 a1，指A0 ，1B1 ，1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数数函数：ya x 在定义域上为C 2， 0D 2， 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与增函数。当 0a1，指数例 20.3 log2log92 log3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对函数： ya x 在定义域上为减77722可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数函数 .当 a1 时， ya x 的 a例 24. 求以下函数的定义域、值域：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函值 越 大 ， 越 靠 近 y 轴 。 当数 y

22、2 x11 ; ylogx 24x5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结210a1时，就相反 .43可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ya x （ a0, a1 ） 与学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ylog a x 互为反函数 .如顶点的横坐标不

23、在给定的区间上，就当a0 时：最小值在距离对称轴较可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 a1 时， ylog a x 的 a 值越近的端点处取得， 最大值在距离对称轴较远的端点处取得。当 a0 时：最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结大，越靠近x 轴。当 0a1时，就相反 .在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图y = （fx）象y 轴对称x轴对称yf （x）例 25.争论函数 y3 x7x2的图象与 y1 的图x一二次方程实数根的分布问

24、题：设实系数一元二次方程f xax 2bxc0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y =f（ x）yf（ x）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变y=f（x）换原点对称象的关系。次的两根为 x1, x2 。就：函根的情可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf（x）数况x1 x2kx1 x2kx1kx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 y=f x y=f| x|,把轴上方的图象保留， 轴下方的图与二等价命在区间k, 上在区间 ,k 上在区间 k, 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结象关于轴对称 y=f x y=| f x| 把

25、轴右边的图象保留， 然后将轴右次题有两根函 0数有两根 0, k 上有一根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结边部分关于轴对称。（留意： 它是一个偶函数）充要条bk件2 abk2 aa f k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结伸缩变换：y=f x y=f x,y=f x y=Af x+ 具af k 0。af k 0。af p0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结体参照三角函数的图象变换。注: 一个重要结论： 如 f a xf a+x ，就函数 y=f x 的图另外 :二次方程 fx=0 的一根小于 p，另一根大于qpq二次方程 fx=0 在区间 p,q内

26、只有一根fpfq0，或af q0。 f p0（检可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结像关于直线 x=a 对称。af q0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一1.一元一次函数：yaxba0 ，当 a0 时，是增函数。当a0 时，是减验）或f q0（检验）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结次函数。af p0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函如在闭区间 m,n 争论方程f x0 有实数解的情形，可先利用在开区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数2.一元二次函数：一般式 : y2axbxca0 。对称轴方程是 xb。顶点为m,

27、n 上实根分布的情形，得出结果，在令xn 和 xm 检查端点的情形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与二b4acb2。两点式：2ax注:常见的初等函数一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结,ya xx1xx2。对称轴方程是。与轴的特殊指出 ,分段函数也是重要的函数模型。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结次2a4a一例 26. 当 0x1 时，函数 y=ax+a 1 的值有正值也有负值， 就实数 a 的取值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函交点为。顶点式： y数点为。a xk) 2h 。对

28、称轴方程是。顶次范畴是（）函A a1Ca1D 1 a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一元二次函数的单调性：当 a0 时：为增函数。为减函数。数2与例 27.已知函数f xax 2a 3a) x21 在 2,1 上递增，就 a 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 a0时：为增函数。为减函数。二可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二次函数求最值问题：第一要采纳配方法，化为ya xk 2h 的形式，次（ A ） a 3（B）3 a 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函（ C） 0a 3（ D）3 a0可编辑资料 - - - 欢

29、迎下载精品名师归纳总结数例 28. 已知二次函数f xax 2a 2b xc 的图像开口向上，且f 01 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 、如顶点的横坐标在给定的区间上，就当a0 时：在顶点处取得最小值，f 10 ，就实数 b 取值范畴是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结最大值在距离对称轴较远的端点处取得。当 a小值在距离对称轴较远的端点处取得。0时：在顶点处取得最大值， 最(A) ,34(B) 3 ,04(C)0,(D) , 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页

30、- - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载1,x0例 29.设函数f x0,x0， 就方程x1 2 x1例 9. 解：定义域 x| 1 x1, 在1,1上任取 x1,x2 且 x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1,x0f x 的解为.就 f x1 1x,21f x2 12x21x2 1x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x f x 1x21x 2 =12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12121x21

31、x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2x2 xx12 xx 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数学基础学问与典型例题其次章函数 答案=212121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x21x21x21x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1.34 ,43 ,6;1212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 xx xx0 ,另外，恒有1x21x20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2. C122112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3.

32、 10r r , 0,10 对于实际问题，在求出函数解析式后，此时的定义域要依据实际 如 1x1x20 就 x1+x20就f x1 f x2 0 , fx1 f x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结意义来确定。例 4. 解：解析式有意义的充要条件是：如 x10就f x1 f x2 0 ,f x1 f x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x23x4 0x 4或x 1 在1，0 上 f x 为增函数，在 0 ，1 上为减函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x120x2x3且x13 x4x3或3x 1或x 4例 10. C例 11.证：任取x1, x2R 且 x1 x2g x 在 R 上是增函数 ,g x1 g x2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数f xx12的定义域为 x| x3或3x 1或x 4 又 f x 在 R 上是增函数 ,f g x1 f g x2 而且 x1 x2 , f g x在 R 上是增函数同理可以推广：可编辑资料 - - -