北师大版必修高中数学第二章《正余弦定理在解决三角形问题中的应用》典例分析素材.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案正余弦定理在解决三角形问题中的应用典型例题分析：一、判定三角形的外形例 1依据以下条件判定三角形ABC的外形：221 如 a tanB=b tanA 。解：由已知及正弦定理得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22RsinAsin B cos B2= 2RsinBsin A cos A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B 2cosA + BsinA B=0 A + B=90 o 或 A B=0222所以 A

2、BC是等腰三角形或直角三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22bsinC + csinB=2bccosBcosC;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解:由正弦定理得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2sinBsinC=sinBsinCcosBcosC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 sinBsinC 0, sinBsinC=cosBcosC,oo即 cosB + C=0, B + C=90, A=90,故 ABC是直角三角形 .3sinA + sinB + sinC cosA + cosB + cosC=1.解： sinA +

3、sinB + sinC cosA + cosB + cosC=1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1=0AB2sin2AB2sin2cos AB 2ABcos2AB+ sinA+ B 2cos2AB+ sinA + B 2cos2ABcos2ABcos2C2+ 2cos2 -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2sin 2 AB2sin=0AB- cos2ABABcos2ACA BAB- sin22B ABC=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin-sin24sin=044可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABC是 Rt。二、三角形中的

4、求角或求边长问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案例 2、 ABC中，已知： AB=2， BC=1， CA=，分别在边AB、BC、CA上取点 D、E、F，使 DEF是等边三角形（如图1）。设 FEC=，问 sin 为何值时， DEF的边长最短？并 求出最短边的长。图 1分析：要求最短边的长，需建立边长关于角 的目标函数。解：

5、设 DEF的边长为x，明显 C=90， B=60，故 EC=x cos 。由于 DEC= DEF+ = EDB+ B，所以 EDB= 。在 BDE中，由正弦定理得，所以，由于 BE+EC=B，C 所以，所以当，。注：在三角形中，已知两角一边求其它边，自然应联想到正弦定理。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2在 ABC中，已知sinB=3 , cosA=55 ,试求 cosC 的值。13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由 cosA=5 ， 得 sinA=1312 ,13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 sinBsinA, B 中能是锐角 co

6、sB= 4 ,5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 cosC= - cosA + B=sinAsinB cosAcosB=16 .65可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3 98年高考题 已知 ABC中 , a 、b、c 为角 A、B、C 的对边，且a + c=2b, A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师

7、精编优秀教案oB=60 ,求 sinB 的值 .解：由 a + c=2b,得 sinA + sinC=2sinB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 2sinAC coso2AC =2sinB2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 A + B + C=180得 sinACB=cos.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结o又 A C= 60 ,得3Bcos22=sinB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以32Bcos2=2sinB cos B

8、 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结oB又 0 2o90 , cosB 0，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 sinB =3 .24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B13从而cos=.24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以sinB=39 .8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4（ 20XX年湖北卷第18 题）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 ABC中，已知AB46 , cos B 36 , AC6边上的中线BD=5 ，求 sinA 的值

9、.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： 此题主要考查正弦定理、余弦定理等基础学问，同时考查利用三角公式进行恒等变形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的技能和运算才能.解法 1：设 E 为 BC的中点，连接DE，就 DE/AB，且1DE=AB226 ,设BEx, 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 BDE中利用余弦定理可得：222BD=BE+ED2BE EDcosBED，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5x 28226336 x,6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习

10、资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得x1, x7 舍去,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故BC2,从而AC 2AB2BC 22 ABBC cosB28 ,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即AC又 sin B解法 2：221,330 , 故62s

11、in A2213306,sin A70 .14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以 B 为坐标原点，BC为x 轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A 位于第一象限.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由sin B30 ,就BA6 463cosB, 436 sin B 4 ,345 ,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设BCx,0,就BD 43x , 265 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由条件

12、得| BD |43x 26 25 25.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而x2, x14 舍去.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故CA245, 331680480149999880可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是 cos ABACA99314 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| BA | CA |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin A1cos2 A70 .14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法 3：过 A 作 AHBC交 BC于 H，

13、延长 BD到 P使 BD=DP，连接 AP、PC，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结过 P 作 PN BC交 BC的延长线于N，就4, AHHB=ABcosB=345 ,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BNBP2

14、PN 2BP 2AH 2 25 2 45 2310 , 而CNHB4 ,33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BCBNCN2, HC22 , AC321AH 2HC 2221 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故由正弦定理得7023,sin A306可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin A.14例5、20XX年天津卷第 17题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在ABC中，A、B、C 所对的边长分别为a、b、c，设a、b、c 满意条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b

15、2c2bcc1a2 和 b23，求A 和 tan B 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： 此题考查余弦定理、正弦定理、两角差的正弦公式、同角三角函数的基本关系等基础学问，考查基本运算才能.b 2c2a 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法一：由余弦定理cos A2bc2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此，A60在 ABC中， C=180 A B=120 B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13csin Csin120B 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由已知条件，应用正弦定理2bsin Bsin

16、B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin 120cos Bsincos120 Btan Bsin B1 .3 cot B1 ,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 cot B2, 从而2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法二：由余弦定理cos Ab 2c2a 212bc2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此，A60，由 b2c 2bca 2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 21 c 2c11331315bbb424.得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - -

17、- - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案a15.所以 b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由正弦定理sin Bb sin A a2315215 .cos B1sin 2 B2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由式知 ab, 故 B A，因此 B为锐角，于是15 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan B从而sin B1 .cos B2可编辑资料 - - - 欢迎下载

18、精品名师归纳总结例 6、（ 20XX年全国高考数学试卷三（四川理）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos BABC 中，内角A、B、C 34的对边分别是a、b、c ，已知 a、b、c 成等比数列，且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求 cot Acot C 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）设BABC3，求 ac 的值。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（）由cos B3 得 sin B 4213744可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

19、 欢迎下载精品名师归纳总结由 b 2ac 及正弦定理得sin 2 B11sin A sin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是 cot Acot Ctan cos AA tan C cos C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin Asin Ccos A sin Ccos C sin A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinsinACA sin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin2 Bsin B sin2 B1sin B4773332可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）由BABC得 ca 2cos B，由

20、2cos B可得 ca 42 ，即 b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由余弦定理b 2a2c22accos B 得 a 2c2b22accos B5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案可编辑资料 - - - 欢迎下

21、载精品名师归纳总结ac 2a 2c22 ac549可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ac3例 7（ 20XX年浙江高考数学理工第17 题，文史第18 题，）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 ABC中，角 A、B、C所对的边分别为a 、b、c ，且cos A1 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求sin 2 BC 2cos 2 A 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）如 a3 ，求 bc 的最大值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解: sin 2 BC 2cos 2 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精

22、品名师归纳总结=1 12cosBC 2 cos 2 A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=1 12cos A2 cos2 A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11=1231=9 219可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 bc 2a 22bccos A13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2 bc3b2c 2a 22bca 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 a39 bc. 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

23、归纳总结当且仅当b=c=三、解平面几何问题3 时,bc=29 , 故 bc 的最大值是9 .44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8（ 20XX年全国高考题）已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2， BC=6， CD=DA=，4求四边形ABCD的面积。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案分析：如图2，连

24、结对角线BD，将四边形面积转化为三角形面积来求，而要求三角形面积， 需求出 A、 C，这可由余弦定理列方程求得。解：由于四边形ABCD是圆内接四边形，所以A+C=180，所以sinA=sinC 。连结 BD，就四边形 ABCD的面积。由余弦定理，在 ABD中，。在 CDB中，。所以 20�16cosA=52�48cosC,又由于 cosC = �cosA ，所以 64cosA= �32 ，cosA=,所以 A=120。所以 S=16 sin120 =.注：在应用正弦定懂得题时要留意方程思想的运用。四、解实际应用问题例 9 某观测站C 在 A 城的南偏西20方向，由A 城

25、动身有一条大路定向是南偏东40，由 C处测得距C 为 31km的大路上B 处有 1 人沿大路向A 城以 v=5km/h 的速度走了4h 后到达 D处，此时测得C、D间距离为21km。问这人以v 的速度至少仍要走多少h 才能到达A 城。 解：如图6，由已知得CD=21， BD=20，CB=31， CAD=60。设 AD=x， AC=y。在 ACB和 ACD中，分别由余弦定理得，（1）� （ 2）得 2x�y=6 ，将 y=2x�6 代入（ 2）得，所以 x=15， x= �9 （舍去）。所以。故此人以v 的速度至少仍要走3h 才能到达A 城。五、证明三角恒等式例 10在

26、ABC中，求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2cos Ab 2cos Bb 2+cos Bc2 cos Cc2+cos Ca 2cos A=0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22解：由于abcos Acos B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

27、归纳总结 2R sin A 2=cos A2R sin B 2cos B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4R 2 1=cos2 A 1cos2B 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos Acos B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4R 2 cos 2=2cos AB cos2 cos BA 2=4RcosB cosA,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b 2同理cos Bc2 cos C=4RcosC cosB可编辑资料 - - - 欢迎

28、下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c 22cos Ca2 cos A2=4R cosA cosC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22. 所以左边 =4RcosB cosA + 4RcosC cosB + 4RcosA cosC=0得证 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 11（ 2000 年北京春季高考题）在ABC中，角 A， B， C的对边分别为a, b, c,证明：。证明：由余弦定理知，两式相减得。所以，所以。由正弦定理，所以=。故等式成立。例 12 （ 1999 年全国高中

29、数学联赛题）在ABC中，记 BC=a, CA=b, AB=c ， 如，就。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案解：由正弦定理，由余弦定理，所以应填。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载