双曲线及其标准方程.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2.3双曲线23.1双曲线及其标准方程整体设计教材分析“双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”“椭圆及其标准方程”之后， 学习的又一类圆锥曲线学问， 也是中学解析几何的学习中最重要的内容之一， 它在社会生产、 日常生活和科学技术等领域有着广泛的应用，也是大纲中明确要求同学必需娴熟把握的重要内容双曲线的定义、标准方程与椭圆类似，教科书的处理方法也相仿，也就是说，本小节在数学思想和方法上没有新内容，因此， 这一小节的教学可以参照第2.2.1节进行 教学中要着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点，特殊是它们的

2、不同点课时安排本节内容分两课时完成第 1 课时讲解双曲线的定义，要求同学类比椭圆标准方程的推导过程推导双曲线的标准方程。第2 课时讲解运用双曲线的定义及其标准方程解题第 1 课时教学目标 学问与技能使同学把握双曲线的定义，懂得双曲线标准方程的推导过程，能依据条件确定双曲线的标准方程过程与方法在与椭圆的类比中，把握双曲线的标准方程的推导方法，增强合作学习才能和运用所学学问解决实际问题的才能。培育同学运用类比、数形结合思想解决问题的才能情感、态度与价值观发挥类比的作用，与椭圆形成对比，激发同学学习数学的爱好，提高同学的审美乐趣，培育同学勇于探究、敢于创新的精神，通过引入b2，使方程形式更对称、简洁

3、，无疑会让学 生感到数学的特殊魅力，增强同学学习数学的深厚爱好重点难点教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程教学难点：双曲线标准方程的推导.教学过程复习引入1椭圆的定义平面内与两个定点F1， F2 的距离之和等于常数 大于 |F 1F2| 的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - -

4、- -2. 椭圆的标准方程22xy1 焦点在 x 轴a2b2 1， ab0 。y 2x 22 焦点在 y 轴a2b2 1， ab0 3 a、b、c 之间有何种关系？222a c b .探究新知探究： 假如把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？用几何画板演示拉链的轨迹：(A) B活动成果：以上两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支下面请同学们摸索以下问题：设问：定点与动点不在同一平面内，能否得到双曲线？两条曲线中到“两定点的距离的差”有什么关系？这个常数是否会大于或等于两定点间的距离？ 几何画板演示当常数等于|F 1F2| 及常数大于 |F 1F2|

5、时的点的轨迹，帮忙同学懂得请同学回答：1. 不能指出必需“在平面内” 2到两定点的距离的差的肯定值相等，否就只表示双曲线的一支，且到两定点的距离的差的肯定值为一个常数，即|MF 1| |MF2 | 2a.3应小于两定点间距离且大于零当常数等于|F 1F2| 时，轨迹是以F1、F2 为端点的两条射线。当常数大于|F 1F2 | 时，无轨迹活动设计： 小组争论， 试验演示， 通过提出问题， 让同学争论问题，并尝试解决问题 让同学明白双曲线的前提条件，并培育同学的全面摸索才能感受曲线， 解读演示得到的图形 是双曲线 一部分 提出问题：类比椭圆的定义，给出双曲线的定义活动设计：同学先独立摸索，老师加以

6、引导，与椭圆有一个类比，答应同学自愿合作、争论、沟通学情猜测： 同学的回答可能不全面、不精确， 我们可以用几何画板演示同学的回答，让他们发觉问题，然后不断补充、订正，趋于完善活动成果：师生共同概括出双曲线的定义：平面内与两个定点F1， F2 的距离的差的肯定值等于常数 小于 |F 1F2| 的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 在归纳定义时强调定义要满意三个条件：在平面内、任意一点到两个定点的距离的差的肯定值等于常数、常数小于|F 1F2| 且大于零 下面我们类比椭圆方程的推导，挑选适当的坐标系，建立双曲线方程为今后通过方程争论双曲线的性质做好预备提出

7、问题：求椭圆方程的步骤是什么？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -活动结果：建系、设点、列式、化简 同学回答，老师板书提出问题：和椭圆类似，我们应如何建立坐标系，使求出的方程更为简洁？活动设计： 同学先独立摸索， 类比椭圆找到两种简洁的建系方法，并找同学到黑板板演，老师巡察指导其他同学，必要时给板演的同学赐予指导 推导过程以焦点在x 轴上为例

8、同学板演，先请同学评讲，老师再评讲以线段 F1F2 的中点为原点，直线 F1F2 为 x 轴，建立直角坐标系设 Px ， y 是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为 2cc0 ，那么，焦点 F1， F2 的坐标分别是 c,0 ， c,0 ，又设点 P 与 F1，F2 的距离的差的肯定值等于常数 2a. 就有：xc 2 y 2x c2 y 2 2a，2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结移项，得x c y x c y 2a，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两边平方，得x c y |a ax|. 可编辑资料 - -

9、 - 欢迎下载精品名师归纳总结22222222式再两边平方并整理得c a x a y a c a ， 22依据双曲线的定义c a，c a 0，22222xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 b ca ，代入上式，得2 2 1. ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点坐标是F1 c,0 、F2c,0222学情猜测：一般情形下，得到方程 后，同学会类比椭圆设b c a ，但要留意证明的严密性，帮忙同学在证明过程中完善步骤提出问题：设此方案中的双曲线与x 轴的交点分别为A1， A2，同学们都知道a，

10、c 的含义，你能从图形中找到长度分别等于a，c 的线段吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学情猜测：估量得出c 题|F 1F2|2 |OF1| |OF2| ， a|A 1A2|2 |OA1| |OA2| 应当不会有问可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结提出问题：你能在y 轴上找一点B，使得 |OB| b 吗？学情猜测：同学会发觉在y 轴的正负半轴上各有一个这样的点，我们分别设为B1， B2，就|B 2A1| |B 2A2| c |B 1A1| |B 1A2 |.222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这样，由于B 2OA2 为直角三角形，且|B 2A2

11、| c ，|OA2| a，所以， c方程 中的 c 2 a2 有明显的几何意义 a |OB2| . 因此，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结提出问题：假如以F1，F2 所在直线为y 轴，线段 F1F2 的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系，焦点是F10 ， c ， F20 ，c ，双曲线的方程又如何了？x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类比椭圆，假如双曲线的焦点在y 轴上，把方程2 2 1 中的 x 、y 互换，得到它的方ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22yx程为 a2 b2 1，这也是双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两个2222xy

12、yx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结老师应指出：我们所得的两个方程方程2 2 1 和 2 21a0 ，b0 都是双曲线的标准abab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结提出问题：已知双曲线标准方程，如何判定焦点位置？活动设计：同学先独立摸索，当然，同学自愿合作争论的也答应活动结果：看x2，y2 的系数，哪个系数为正就在哪一条轴上 练习：写出以下双曲线的焦点坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

13、纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -22221. xyxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 12.169 1F 5,0 916可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2222yxyx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 16 9 1 4.懂得新知 1 F0， 5916可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1观看双曲线的图形及其标准方程，师生共同总结归纳：(1) 双曲线标准方程对应的双曲线中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴。(2) 双曲线标准方程形式：左边是两个分式的平方差，右边是1。222(3) 双曲线

14、标准方程中三个参数a，b， c 的关系： c a b a0 ， b0 。22(4) 双曲线焦点的位置由标准方程中x ， y 的系数的正负确定。(5) 求双曲线标准方程时，可运用待定系数法求出a，b 的值2在归纳总结的基础上填下表.2222xyyx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结标准方程a2 b21a0 ， b0a2 b2 1a0 ， b0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图形222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a， b，c 的关系c a bc a b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结焦点坐标 c,00 ， c焦点位置在 x 轴

15、上在 y 轴上3. 双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区分与联系？椭圆双曲线定义|MF1| |MF2| 2a|MF 1| |MF2| 2a2222x yxya2 b2 1ab0a2 b2 1a0 ， b0222方程2y xyx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 2 1ab0 abF c,0焦点F0 ， c2 2 1a0 ， b0 abF c,0 F0 ， c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a， b， c222a0， b0，但 a 不肯定大于b，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab0， a b c222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

16、总结的关系运用新知例题研讨，变式精析a b c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 判定以下方程是否表示双曲线，如是，求出三个量a，b， c 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y2x2y222xy22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 4 2 1，2 2 1,4 2 1， 4y 9x 36.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222思路 分析： 双曲线标准方程的形式：平方差，x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222x 项的分母是a 。 y项的系数是正的，那么焦点在y 轴上， y项

17、的分母是a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 是双曲线， a 2， b2， c6。是双曲线，a2， b2，c 2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -是双曲线，a2， b 2， c 6。是双曲线，a 3， b 2， c 13.2 已知双曲线的焦点为F1 5,0 ， F25,0，双曲线上一点P 到 F1、F2 的距离的差的肯

18、定值等于6，求双曲线的标准方程思路 分析： 巩固双曲线的标准方程，解题思路是查找两个定值a，c. 用待定系数法求出双曲线的标准方程解： 双曲线的焦点在x 轴上，设它的标准方程为22xy2 2 1a0 ， b0 ab依据题意知2a 6,2c 10，a 3， c 5222b 5 3 16.22xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所求双曲线的标准方程为 1.916可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评： 焦点定位， a、 b、c 三者知二定形变练演编提出问题：请解答以下问题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21已知双曲线x 2y 1，你可以得到哪些结论？

19、 把你能得到的结论都写出来可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1692已知 a 2，c 4，就你可以得到双曲线的哪些结论？ 把你能得到的结论都写出来22yx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3已知 a 4， ，可以求得双曲线的标准方程为上需要添加什么样的条件？活动设计：同学先独立探究，答应相互沟通成果然后，全班沟通16 9 1，就题中横线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学情猜测： 1.a 4， b 3， c 5，两焦点坐标为 5,0 ， 5,02222xyyx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 b23，双曲线的标准方程为4 12 1 或

20、 4 12 1 等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3b 3，且焦点在y 轴上。或 c 5，且焦点在y 轴上。或一个焦点坐标为0,5答案许多 设计意图：设置本组开放性问题，意在增加问题的多样性、好玩性、探干脆和挑战性， 训练同学思维的发散性、收敛性、敏捷性和深刻性，长期坚持，不仅会加深同学对数学的懂得、把握，而且会潜移默化的学会编题、解题，更会把同学的基础学问巩固得更广、更深达标检测1求 a 4， b 3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程22222求 a 25，经过点 2 ， 5 ，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3证明椭圆9x25

21、y 225 与双曲线 x 15y 15 的焦点相同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结224如方程 x sin y cos 1 表示焦点在y 轴上的双曲线， 就角 所在象限是 A第一象限B其次象限C第三象限D第四象限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5设双曲线x 2y 2 1 上的点 P 到点 5,0的距离为15，就 P 点到 5,0 的距离是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结169A 7B 23C 5 或23D 7 或2322xy答案： 1. 16 9 1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - -

22、- - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -222. y x 1。20162222xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 9x 25y22 2252x 1F 4,0 ，2592可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 15y15215 y2 1F 4,0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 Dxsin ycos 1 表示焦点在y 轴上的双曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -

23、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin 0 在第四象限，所以选D.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 D|d 15| 2a 8d 7 或 23.课堂小结学问整理，形成系统 由同学归纳，老师完善(1) 双曲线的定义 与椭圆的区分(2) 标准方程 两种形式 (3) 焦点位置的判定 与椭圆的区分4a、 b、 c 的关系 与椭圆的区分 让同学对本节课进行总结目的是帮忙他们认清这节课的学问结构，培育他们的归纳总结才能 .作业布置教材习题 2.3A 组第 1 题，第 21 题补充练习基础练习1填空题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21x2y1，就 a ， b 。可编辑资

24、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结52 3222xy22 21，就 a ， b 。 46x 2y23 9 4 1，就 a ， b .2求以下椭圆的焦点坐标：22xy22 9 4 1。 16x 7y 112.拓展练习已知双曲线的一个焦点坐标为F10 ，13 ，双曲线上一点P 到两焦点距离之差的肯定值为 24，求双曲线的标准方程解： 由于焦点坐标为F10 ， 13 ，所以 c 13.又双曲线上一点P 到两焦点距离之差的肯定值为24， 所以 2a 24，即 a 12.222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 b c a 169 144 25.22yx可编辑资料 - - - 欢

25、迎下载精品名师归纳总结所以所求双曲线的标准方程为14425 1.设计说明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1在“双曲线的标准方程”的引入与推导中，充分利用几何画板演示，并运用“试验观看类比证明应用”的思想方法，逐步由感性到理性的熟悉定理这样支配符合同学的熟悉规律，揭示了学问的发生、进展过程。 也

26、符合现代训练理论中的“要把学 生学习学问当作熟悉事物的过程来进行教学”的观点2在教学的过程中始终本着：数学的学习过程是同学自己的“再制造”的原就，通过老师启示引导，让同学通过试验、观看、摸索、类比、推理、沟通、合作、反思等过程进行探究， 构建新学问， 真正做到将传授学问和培育才能融为一体，较好的表达“数学教学主要是数学活动的教学”这一训练思想可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结备选例题：22备课资料2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1椭圆 x y 1 与双曲线 x y 2 1 有相同的焦点，求m的值9mm分析： 由双曲线方程可以看出焦点在x 轴上这样在椭圆和双曲线中

27、各自的a、b 值可以定下来了再分别求c ，列出等式可解得m值2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x解： 双曲线 y 1 的焦点在 x 轴上，所以cm 1，椭圆的焦点也在x 轴上，所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2mc9m，依题意有m 19 m，解得 m 4.点评： 对于椭圆与双曲线这对“情侣圆锥曲线”，从简洁的题目入手，渐渐提升同学的综合才能2动点 P 到点 M 1,0 的距离减去到点N1,0 的距离为2，就点 P 的轨迹是 A双曲线B 双曲线的一支C 两条射线D 一条射线答案： D点评： 对双曲线的定义巩固提升 设计者：刘薇可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载