利用二次函数求几何图形面积的最值问题.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载利用二次函数求几何图形面积的最值问题构造二次函数来确定几何图形中的有关面积最大值的问题是近年来常考的题型，求解这类问题，实际上，只要我们能充分运用条件，依据图形的特点， 综合运用所学学问，如，勾股定理、全等三角形、相像三角形、解直角三角形、图形的面积公式等等来寻求等量关系 ，从而 构造出二次函数 ，再利用二次函数的性质即可求解 .现举例说明 .方法：1、用含有自变量的代数式分别表示出与所求几何图形相关的量（如周长、长、宽、半径等） 。2、依据几何图形的特点，列出其面积的运算公式，用函数表

2、示这个面积。3、依据函数关系式求出最大值及取得最大值的自变量的值，当的值不在自变量的取值范畴内时，应依据取值范畴来确定最大值。例 1（2006 年旅顺口区中考试题）已知边长为4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图 1），其中 AF2， BF 1试在 AB 上求一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积 .简析设矩形 PNDM 的边 DNx，NP y，就矩形 PNDM 的面积 S xy（ 2 x4）， 易知 CN 4 x，EM 4y.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且有 NPBC BF （作帮助线构造相像三角形） ，即 y3 1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

3、师归纳总结CN所以 y 12AFx+5，Sxy 124x2x2+5x（2x 4），可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此二次函数的图象开口向下，对称轴为x5，所以当 x 5 时，函数的值是随 x 的增大而增大，对2 x 4 来说，当 x 4 时， S 有最大值12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S 最大 4 +54 12.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明此题是一道代数几何综合题，把相像三角形与二次函数的学问有机的结合在一起，能很好考查同学的综合应用才能.同时，也给同学们探究解题思路留下了思维空间 .图 1图 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精

4、品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载例 2（ 2006 年南京市中考试题）如图2，在矩形 ABCD 中，AB2AD，线段EF10.在 EF 上取一点 M，分别以 EM、MF 为一边作矩形 EMNH 、矩形 MFGN ， 使矩形 MFGN矩形 ABCD.令 MN x，当 x 为何值时，矩形 EMNH 的面积 S 有最大值？最大值是多少？可编辑资料 - - - 欢

5、迎下载精品名师归纳总结简析由于矩形MFGN矩形ABCD，所以 MNAD MFAB，由于AB 2AD，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MNx，所以MF2x，所以EM EFMF 10 2x，所以S x102x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x2+10x 2x 522+ 25 ，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以当 x 52时， S 有最大值为 25 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明此题是利用相像多边形的性质，求出矩形的边之间的关系，再运用矩形的面积构造出二次函数的表达式，使问题求解.例 3（2006 年泉州市中考试题）一

6、条隧道的截面如图3 所示，它的上部是一个以 AD 为直径的半圆 O，下部是一个矩形ABCD.（1）当 AD 4 米时，求隧道截面上部半圆O 的面积。（2）已知矩形 ABCD 相邻两边之和为8 米，半圆 O 的半径为 r 米.求隧道截面的面积S（米）关于半径r（米）的函数关系式（不要求写出r 的取值范畴）。如 2 米 CD 3 米，利用函数图象求隧道截面的面积S 的最大值 .（取 3.14，结果精确到0.1 米）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结简析（ 1）当 AD4 米时， S 半圆 = 1 AD222 1 2222米2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）由

7、于 AD 2r ，AD+CD8，所以 CD8 AD8 2r ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 S 12r 2+ADCD 12r 2+2r 82r 12 4r 2+16r。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由知 CD 82r ，又由于 2 米 CD3 米，所以 282r 3，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以2.5 r 3，由知S 12 4r2+16r 123.14-4r 2+16r 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.43r 2+16r 2.43r82.432+64，2.43可

8、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 2.43 0，所以函数图象为开口向下的抛物线，由于函数图象对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结轴 r82.433.3.又 2.5 r 33.3，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载由函数图象的性质可知，在对称轴左

9、侧S 随 r 的增大而增大，故当r 3时， S 有最大值，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S 最大值 1 4 322+1631 3.14 4 9+48 26.13 26.1米22.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即隧道截面面积S 的最大值约为 26.1 米 2.说明此题是一道典型的代数与几何的综合题，集图形的面积、不等式与二次函数的学问有机的结合在一起，有助于培育同学们的综合应用才能.图 3例 4（2006 年陕西中考课改试题）王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为 60cm 的正方形板子。另一块是上底为 30cm，下底为 120cm，高为 60cm 的直角梯

10、形板子（如图 4），王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材 .他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCDE 围成的区域（如图5），由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B 为一个顶点 .（1）求 FC 的长。（2）利用如图 5 求出矩形顶点B 所对的顶点到 BC 边的距离 xcm为多少时，矩形的面积最大？最大面积时多少？（3）如想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长.图 4图 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结简析（ 1）由题意，得 DEF CGF， 所以 FC 40cm.（ 2）如图 5，D

11、F FCDE ，即CG60FC FC30 ，60可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载设矩形顶点 B 所对顶点为 P，就当顶点 P 在 AE 上时， x 60，y 的最大值为 60301800cm2。当顶点 P 在 EF 上时，过点 P 分别作 PNBG 于点 N， PM AB 于

12、点 M .依据题意，得 GFC GPN，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 DFNGFG ，所以 NGCG3 x，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 BN 120 所以 yx1203 x，23 x23 x 402+2400，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以当 x 40 时， y 的最大值为 2400cm2。当顶点 P 在 FC 上时， y 的最大值为 60 40 2400cm2.综合，得x 40cm 时，矩形的面积最大，最大面积为2400cm2.（3）依据题意，正方形的面积ycm2与边长 xcm满意的函数表达式为：可编辑资料 - -

13、- 欢迎下载精品名师归纳总结y3 x2+120x.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 y x2 时，正方形的面积最大，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 x23 x2+120x.解之，得x1 0（舍去），x248cm.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以面积最大得正方形得边长为48 cm.说明此题是一道典型的二次函数与几何综合应用的问题，在解第（2）小题时，肯定不要忽视分类争论来求出每一种情形的最大值后，再进行比较得出结论，第（ 3）小题只需依据题意列出方程就能解决.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载