初二数学上学期知识点和典型例题总结.docx

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1、精品名师归纳总结全等三角形类型一：全等三角形性质的应用1、如图, ABD ACE, AB=AC,写出图中的对应边和对应角 .思路点拨 : AB=AC,AB和 AC是对应边, A 是公共角, A 和A 是对应角, 按对应边所对的角是对应角,对应角所对的边是对应边可求解.解析： AB和 AC是对应边, AD和 AE、BD和 CE是对应边, A和 A 是对应角, B和 C, AEC和ADB是对应角 .总结升华： 已知两对对应顶点,那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角,第三对角是对应角。再由对应角所对的边是对应边,可找到对应边.已知两对对应边,第三对边是对应边,对应边所对的角是对应角.举一反三：【变

2、式 1】如图, ABC DBE. 问线段 AE和 CD相等吗？为什么？【答案】证明：由 ABC DBE,得 AB=DB,BC=B,E就 AB-BE=DB-B,C 即 AE=CD。【变式 2】如右图,。求证： AECF【答案】AECF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、如图,已知 ABC DEF, A=30, B=50, BF=2,求 DFE的度数与 EC的长。思路点拨 :由全等三角形性质可知： DFE=ACB,EC+CF=BF+F,C所以只需求 ACB的度数与 BF的长即可。解析： 在 ABC中,ACB=180- A- B,又 A=30, B=50,所以 ACB=100 .又由

3、于 ABC DEF,所以 ACB= DFE,BC=EF（全等三角形对应角相等,对应边相等）。所以 DFE=100EC=EF-FC=BC-FC=FB。=2总结升华： 全等三角形的对应角相等,对应边相等。举一反三：【变式 1】如下列图, ACD ECD, CEF BEF, ACB=90 .求证：（ 1）CD AB。（ 2） EFAC.【答案】1 ）由于 ACD ECD,所以 ADC=EDC（全等三角形的对应角相等） .由于 ADC+EDC=180 ,所以ADC=EDC=90 .所以 CDAB.2 ）由于 CEF BEF,所以 CFE=BFE（全等三角形的对应角相等） .由于 CFE+BFE=180

4、,所以 CFE=BFE=90 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 ACB=90所以 EFAC., 所以 ACB=BFE.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型二：全等三角形的证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、如图, ACBD,DF CE, ECB FDA,求证： ADF BCE 思路点拨 :欲证 ADF BCE,由已知可知已具备一边一角,由公理的条件判定仍缺少这角的另一边,可通过ACBD而得解析： ACBD已知AB-BD AB-AC等式性质 即 ADBC在 ADF与 BCE中 ADF BCESAS总结升华： 利用全等三角形证明线段 角 相

5、等的一般方法和步骤如下：(1) 找到以待证角 线段 为内角 边 的两个三角形,(2) 证明这两个三角形全等。(3) 由全等三角形的性质得出所要证的角 线段 相等 举一反三：【变式 1】如图,已知 AB DC,ABDC,求证： ADBC【答案】 ABCD 3 4在 ABD和 CDB中 ABD CDBSAS 1 2 全等三角形对应角相等 ADBC内错角相等两直线平行 【变式 2】如图,已知 EB AD于 B,FC AD于 C,且 EBFC, ABCD 求证 AF DE【答案】 EBAD已知 EBD90 垂直定义 同理可证 FCA90 EBD FCAABCD, BCBCACAB+BCBC+CD可编辑

6、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BD在 ACF和 DBE中 ACF DBESASAFDE全等三角形对应边相等 类型三：综合应用4、如图, AD为 ABC的中线。求证： AB+AC2AD.思路点拨 :要证 AB+AC2A,D由图想到： AB+BDA,D AC+CDA,D所以 AB+AC+BC2A,D所以不能直接证出。由 2AD想到构造一条线段等于2AD,即倍长中线。解析： 延长 AD至 E,使 DE=AD,连接 BE由于 AD为 ABC的中线, 所以 BD=CD.在 ACD和 EBD中,所以 ACD EBDSAS.所以 BE=CA.在 ABE中, AB+BEA,E 所以 AB+AC2A

7、D.总结升华： 通过构造三角形全等,将待求的线段放在同一个三角形中。举一反三：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【变式 1】已知：如图,在 RtABC中, AB=AC,BD的延长线于 E,求证： BD=2CE.【答案】分别延长 CE、BA交于 F.由于 BE CF,所以 BEF=BAC=90 , 1=2,CE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BEC=90 .在 BEF和 BEC中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 BEF BECASA.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 CE=FE= CF.又由于 BAC=90 ,BECF.所以

8、 BAC=CAF=90, 1+ BDA=90所以 BDA=BFC.在 ABD和 ACF中,所以 ABD ACFAAS, 1+BFC=90.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 BD=CF所. 以 BD=2CE.5、如图, ABCD,BE DF, B D,求证： 1AE CF,2AE CF, 3 AFE CEF思路点拨 : 1 直接通过 ABE CDF而得, 2 先证明 AEB CFD,3由12可证明 AEF CFE而得,总之,欲证两边 角 相等,找这两边 角 所在的两个三角形然后证明它们全等解析：(1) 在 ABE与 CDF中ABE CDFSASAE CF全等三角形对应边相等

9、(2) AEB CFD全等三角形对应角相等 AE CF内错角相等,两直线平行 (3) 在 AEF与 CFE中 AEF CFESAS AFE CEF全等三角形对应角相等 总结升华： 在复杂问题中,常将已知全等三角形的对应角 边 作为判定另可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一对三角形全等的条件 举一反三：【变式 1】如图,在 ABC中,延长 AC边上的中线 BD到 F,使 DF BD,延长 AB边上的中线 CE到 G,使 EGCE,求证 AFAG【答案】在 AGE与 BCE中 AGE BCESASAGBC全等三角形对应边相等 在 AFD与 CBD中 AFD CBDSASAFCB全等三

10、角形对应边相等 AFAG等量代换 6、如图 ABAC,BDAC于 D,CEAB于 E,BD、CE相交于 F 求证： AF平分 BAC思路点拨 :如能证得得 AD=AE,由于 ADB、 AEC都是直角,可证得 RtADF RtAEF,而要证 AD=AE,就应先考虑 Rt ABD与 RtAEC,由题意已知 AB=AC, BAC是公共角,可证得 Rt ABDRt ACE解析： 在 Rt ABD与 Rt ACE中Rt ABDRt ACEAAS可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AD=AE全 等三角形对应边相等 在 Rt ADF与 Rt AEF中Rt ADFRt AEFHL DAF=EAF全

11、等三角形对应角相等 AF平分 BAC角平分线的定义 总结升华： 条件和结论相互转化,有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。举一反三：【变式 1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等【答案】依据题意,画出图形,写出已知,求证已知：如图,在 ABC与 ABC中 AB=A B, BC=BC, ADBC于 D,AD BC于 D且 AD=AD 求证： ABC A B C证明： 在 Rt ABD与 Rt A B D中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结HL角相等Rt ABD Rt ABD B=B 全等三角形对应在 ABC与 ABC中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

12、纳总结 ABC ABCSAS【变式 2】已知,如图, AC、BD 相交于 O, AC=BD, C D 90 求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OC=OD【答案】 C=D=90 ABD、 ACB为直角三角形在 RtABD和 Rt ABC中 RtABDRt ABCHLAD=BC在 AOD和 BOC中 AOD BOCAASOD=OC7、ABC中, AB=AC, D是底边 BC上任意一点, DEAB, DFAC,CG AB垂足分别是 E、F、G.试判定：推测线段 DE、DF、CG的数量有何关系？并证明你的猜想。思路点拨 : 寻求一题多解和多题一解是把握规律的捷径解析： 结论： DE

13、+DF=CG方法一：（截长法）板书此种方法（ 3 分钟）作 DMCG于 MDE AB,CGAB, DMCG四边形 EDMG是矩形 DE=GMDM/AB MDC= BAB=AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B= FCD MDC=FCD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而 DMCG, DFAC DMC= CFD在 MDC和 FCD中 MDC FCD（AAS） MC=DFDE+DF=GM+MC=CG总结升华：方法二（补短法）作 CM ED交 ED的延长线于 M（证明过程略）总结：截长补短的一般思路,并由此可以引申到截长法有两种截长的想法方法三（面积法）使用等积转化引申

14、：假如将条件“ D是底边 BC上任意一点”改为“ D是底边 BC的延长线上任意一点”,此时图形如何？ DE、DF和 CG会有怎样的关系？画出图形,写出你的猜想并加以证明举一反三：【变式 1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】证明的过程使用三种证明方法,包括：（1）截长法（ 2）补短法（ 3）面积法轴对称考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的熟悉典例 1以下几何图形中, 1 线段 2 角 3 直角三角形4 半圆,其中肯定是轴对称图形的有（）A1 个B2 个C 3 个D 4 个2正 n 边形有条对称轴,圆有条对称轴考点二

15、、轴对称变换及用坐标表示轴对称AFQ典例： 1、如图, Rt ABC, C=90 , B=30 ,BC=8, D为 AB中点, P 为 BC上一动点,连接 AP、DP,就 AP+DP的最小值是2、已知等边 ABC, E 在 BC的延长线上, CF 平分 DCE, P 为射线BC上一点, Q为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BCF上一点,连接 AP、PQ.如 AP=PQ,求证 APQ是多少度考点四、线段垂直平分线的性质线段是轴对称图形,它的对称轴是 PCE图（ 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线段的垂直平分线上的点到 相等归类回忆角平分线的性质角是轴对称图形,

16、其对称轴是 角平分线上的点到 相等典例 1、如图, ABC中, A=90, BD为 ABC平分线, DE BC, E 是 BC的中点,求C 的度数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、 如图, ABC中, AB=AC,PB=PC,连 AP并延长交 BC于 D,求证： AD垂直平分 BCAABPED可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A DCB CEDBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、如图 ,DE 是 ABC中 AC边的垂直平分线,如 BC=8厘米, AB=10厘米,就EBC的周长为（）A.16 厘米B.18厘米C.26厘米D.28厘米4、 如图

17、, BAC=30, P 是 BAC 平分线上一点,PM AC, PD AC, PD=28 ,就AM=5、如图,在 Rt ABC中, ACB = 90 , BAC的平分线交 BC 于 D.过 C点作 CGBMPADCAB于 G,交 AD于 E.过 D点作 DFAB 于 F. 以下结论：A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结G CED=CDE。S AEC S AEGAC AG 。 ADF=2 ECD。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 S CEDSDFB。 CE=DF. 其中正确结论的序号是 EF可编辑资料 - - - 欢迎

18、下载精品名师归纳总结ABCD考点五、等腰三角形的特点和识别CDB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结典例 1、如图, ABC中, AB=AC=,8 D在 BC上,过 D作 DE AB交 AC于 E, DF AC交 AB于 F,就四边形 AFDE的周长为。AD2、 如 图 , ABC 中 , BD 、 CD 分 别 平 分 ABC 与 ACB , EF过 DEF且 EFBC,如 AB = 7 ,BC = 8 , AC = 6 ,就 AEF周长为 A. 15B . 14C. 13D.18BC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、 如图 , 点 B、D、F 在 AN上,C

19、、E 在 AM上,且A AB=BC=CD=ED=EF,A=20o, 就 FEB= 度NDFBCEM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40,就它的一个底角的度数是5、 ABC中, DF 是 AB的垂直平分线,交 BC于 D, EG是 AC的垂直平分线,交 BC于 E, 如 DAE=20,就 BAC等于6、从一个等腰三角形纸片的底角顶点动身,能将其剪成两个等腰三角形纸片,就原等腰三角形纸片的底角等于7、已知,在 ABC中, ACB=90,点 D、E 在直线 AB上,且 AD=AC, BE=BC,就 DCE =度.A8、如图：在 ABC中,

20、AB=AC,AD BC, DEAB 于点 E, DF AC于点 F。试说明 DE=DF。EFBDC9、如图 ,E 在 ABC的 AC边的延长线上, D点在 AB边上, DE交 BC于点 F,ADF=EF,BD=CE.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证： ABC是等腰三角形 .12DBFCE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考点六、等边三角形的特点和识别等边三角形的各 相等,各 相等并且每一个角都等于 三个角相等的三角形是三角形有一个角是 60的 三角形是等边三角形特殊的：等边三角形的中线、高线、角平分线典例 1、以下推理中,错误选项A A B C, ABC 是等

21、边三角形B AB AC,且 B C, ABC 是等边三角形C A 60, B 60, ABC 是等边三角形 D AB AC, B 60,ABC是等边三角形2、如图,等边三角形 ABC中, D 是 AC的中点, E 为 BC延长线上一点,且 CE CD, DM BC,垂足为 M。求证： M是 BE的中点。ADBMCE考点七、 30所对的直角边是斜边的一半典例BD1、如图,是屋架设计图的一部分,点D 是斜梁 AB 的中点,立柱 BC、DE垂直AEC13CABD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于横梁 AC, AB=8m, A=30,就 DE等于（）A1mB 2mC3mD 4m2、如图

22、： ADC中, A = 15 , D=90, B 在 AC的垂直平分线上, AB =34,就 CD = A. 15B . 17C. 16D.以上全不对3、一张折叠型方桌如图甲,其主视图如图乙,已知AO=BO=40c,m C0=D0=30 cm,现将桌子放平,两条桌腿叉开的角度AOB刚好为 120,求桌面到的面的距离是多少？ABAFEOCDBDC乙第 4 题图甲4、如图, AB=AC, DE AB于 E, DF AC于 F, BAC=120o, BC=6,A就 DE+DF=EBFC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、在 ABC 中,ABAC,A120, AB 的垂直平分线交BC

23、于点 D ,交 AB 于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 E 假如 DE1 ,求 BC 的长实数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1、（ 1）以下各数是否有平方根,请说明理由222 （ -3 ） 0 -0.01（2） 以下说法对不对？为什么？ 4 有一个平方根 只有正数有平方根 任何数都有平方根 如 a 0,a 有两个平方根,它们互为相反数解：（ 1） （ -3 ） 2 和 0 2 有平方根,由于（ -3 ） 2 和 0 2 是非负数。 - 0.01 2没有平方根,由于 -0.01 2是负数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 只有对,由

24、于一个正数有正、负两个平方根,它们互为相反数。零的平方根是零。负数没有平方根。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2、求以下各数的平方根：11923 0.3641649可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3、设,就以下结论正确选项（）A. B.C.D.解析：（估算）由于,所以选 B【变式 1】1） 1.25 的算术平方根是。平方根是.2 ） -27立方根是. 3 ） , , .【答案】 1）。.2 ）-3. 3）,【变式 2】求以下各式中的（1）（ 2）（3）【答案】（ 1）（ 2） x=4 或 x=-2 （3） x=-4例 4、判定以下说法是否正确（1）的算术平方根是 -3 。（ 2）的平方根是 15.（3）当 x=0 或 2 时,解析：（ 1）错在对算术平方根的懂得有误,算术平方根是非负数. 故（2） 表示 225 的算术平方根,即=15. 实际上,此题是求 15 的平方根,故的平方根是.（3） 留意到,当x=0 时,=,明显此式无意义,发生错误的缘由是忽视了“负数没有平方根”,故x 0,所以当 x=2 时, x=0.可编辑资料 - - - 欢迎下载