北师大版必修一《函数的单调性》教案.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案课题： 2.3.1函数的单调性教学目的：（ 1）明白单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思（2）懂得函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念。并能依据函数的图象指出单调 性、写出单调区间（3）把握运用函数的单调性定义解决一类详细问题：能运用函数的单调性定义证明简洁函数的单调性教学重点： 函数的单调性的概念。教学难点： 利用函数单调的定义证明详细函数的单调性授课类型： 新授课课时支配： 1 课时教 具：多媒体教材分析：函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一

2、，函数的单调性一节中的学问是今后争论详细函数的单调性理论基础。在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等详细问题中均需用到函数的单调性。在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及。同时在这一节中利用函数图象来争论函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学在本节课中的教学中以函数的单调性的概念为线，它始终贯穿于整个课堂教学过程。利用函数的单调性的定义证明详细函数的单调性是对函数单调性概念的深层懂得，且在“作差、变形、定号”过程同学不易把握按现行新教材结构体系，同学只学过一次函数、反比例函数、正比例函数、二次函数，所以对函数的单调性争论也只能限于这几种函数同学的现有认知结构中能依据函

3、数的图象观看出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势。由于同学在概念的把握上缺少系统性、严谨性，在教学中须加强32依据以上分析本节课教学方法以在多媒体帮助下的启示式教学为主。同时， 本节课在教可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学过程中对教材中的函数yx的图象进行了删除，教学中始终以y3x2 、 yx、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y1 等函数为例子进行争论争论x教学过程 ：一、复习引入：y 复习：我们在中学已经学习了函数图象的画法.为了争论函数的性质，我们可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

4、归纳总结依据列表、 描点、连线等步骤先分别画函数yx 2yyx 2和yx3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yx3 的图象 .yx2 的图象如图1， y3 的图象xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如图 2. 引入：从函数y图 1x2 的图象（图1）看到：x图 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - -

5、- -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案图象在 y 轴的右侧部分是上升的，也就是说， 当 x 在区间 0 ，+上取值时， 随着 x 的增大 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结相应的 y 值也随着增大，即假如取x1 , x2 0 ， +，得到y1 =f x1 , y2 =f x2 ,那么当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1 x2 时，有y1 y2 .y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这时我们就说函

6、数y =f x =x2 在 0,+上是增函数 .f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图象在 y 轴的左侧部分是下降的，也就是说，当 x 在区间（ -，0）上取值时，随着x 的增大，f x1 f x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结相应的 y 值反而随着减小，即假如取x1 , x2 （ -，0），得x1yx2x到图 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y1 =f x1 ,y2 =f x2 ,那么当x1 y2 .f x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精

7、品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这时我们就说函数y =二、讲解新课：f x = x2 在 -,0上是减函数 .f x1 x1f x2 x2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 增函数与减函数图 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义：对于函数f x 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1 , x2 ，如当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1 x2 时，都有f x1 f x2 ,就说f x 在这个区间上是增函数 （如图 3）。如当x1 f x2 ,就说f x 在这

8、个区间上是减函数 （如图 4） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x 0,+ 时是增函数，当x -,0时是减函数 . 单调性与单调区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如函数y=fx 在某个区间是增函数或减函数，就就说函数f x 在这一区间具有（严格可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的） 单调性 ，这一区间叫做函数f x 的单调区间 .此时也说函数是这一区间上的单调函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.可编辑资料 - - -

9、欢迎下载精品名师归纳总结说明：函数的单调区间是其定义域的子集。应是该区间内任意的两个实数，忽视需要任意取值这yf x个条件， 就不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5 中，在x1 , x2f x1 那 样 的f x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特定位置上，虽然使得f x1 f x2 ，但明显此图象表示的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数不是一个单调函数。x1x2x图 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结除了严格单调函数外，仍有不严格单调函数

10、，它的定义类似上述的定义，只要将上述可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义中的 “f x1 f x2 , ”改为“f x1 f x2 或 f x1 f x2 ,”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即可。定义的内涵与外延：内涵 是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情

11、形。外延 一般规律： 自变量的变化与函数值的变化一样时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.几何特点：在自变量取值区间上，如单调函数的图象上升，就为增函数， 图象下降就为减函数 .三、讲解例题：例 1 如图 6 是定义在闭区间-5 ，5 上的y函数yf x 的图象，依据图象说出yf x的单可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结调区间，以及在每一单调区说明：函数是增函数仍是减函数，是对定义某个 区间而言的 .有的函数-5-2O135x域内可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结间上，函数yf x 是增函数仍是减函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

12、总结解：函数 yf x的单调区间有-5 ， -2 ，-2 ， 1， 1 ， 3， 3 ， 5 ，其中 yf x 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结区间 -5 ， -2， 1， 3上是减函数，在区间-2 ， 1， 3， 5 上是增函数 .说明： 函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯独确定的常数， 因而没有增减变化，所以不存在单调性问题。另外，中学阶段争论的主要是连续 函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以。仍要留意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间

13、不包括不连续点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2 证明函数f x3x2 在 R 上是增函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明 ：设x1 , x2 是 R 上的任意两个实数，且x1 x2 ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1 f x2 =3 x1 +2-3x2 +2=3x1 x2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 x1 x2 x, 得x1 x2 0 , 于是f x1

14、f x2 0, 即f x1 f x2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案 f x3 x2 在 R 上是增函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3 证明函数f x1在0,+ 上是减函数 .x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -

15、- 欢迎下载精品名师归纳总结证明：设x1 , x2 是0,+上的任意两个实数，且x1 0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由 x1 0 , 于是f x1 f x2 0,即f x1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f x1在0,+上是减函数 .x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4争论函数fxx22ax3 在-2,2 内的单调性 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -

16、- 欢迎下载精品名师归纳总结解：fxx22ax3x-a23a 2 ，对称轴xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 a2 ,就fxx22ax3在-2,2 内是增函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如2a2 就 fxx22ax3 在-2,a内是减函数 ,在 a,2 内是增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 a2 ,就fxx22ax3在 -2,2内是减函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

17、结四、练习： 1：课本 P59 练习： 1， 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案：f x 的单调区间有-2,-1 ， -1,0 ， 0,1 ， 1,2 。f x 在区间 -2,-1 ， 0,1 上是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结增函数，在区间-1,0 ， 1,2 上是减函数 .g x 的单调区间有-,- ， -,， , 。2222上是减函数，在区间-， 上是增函数 .22g x在区间 -,- ， ，22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：要明白函数在某一区间是否具有单调性，从图象上进行观看是

18、一种常用而又较为粗 略的方法，严格的说，它需要依据增（减）函数的定义进行证明，下面举例说明.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 判定函数f x3 x2 在 R 上是增函数仍是减函数？并证明你的结论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设x1, x2 R，且x1 x2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精

19、品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f x1 f x2 =-3x1 +2-3x2 +2=3x2 - x1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 x1 0,即f x1 f x2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f x3x2 在 R 上是减函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 判定函数f x =1 在-,0上是增函数仍是减函数并证明你的结论.x可编辑资料 - - - 欢迎下载精

20、品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设x1, x2 -， 0，且x1 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由 x1 0 ,于是f x1 f x2 0,即f x1 f x2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f x =1 在0,+上是减函数 .x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结能否说函数f x =1 在-， +上是减函数？x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答

21、：不能 . 由于 x =0 不属于f x =1的定义域 .x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：通过观看图象，对函数是否具有某种性质，作出猜想，然后通过推理的方法，证明这种猜想的正确性，是发觉和解决问题的一种常用数学方法1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 判定函数f x =在-,0上是增函数仍是减函数并证明你的结论.x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设x1, x2 -， 0，且x1 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由 x1

22、 0 ,于是f x1 f x2 0,即f x1 f x2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f x =1 在0,+上是减函数 .x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结能

23、否说函数f x =1 在-， +上是减函数？x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答：不能 . 由于 x =0 不属于f x =1 的定义域 .x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：通过观看图象，对函数是否具有某种性质，作出猜想，然后通过推理的方法，证明这种猜想的正确性，是发觉和解决问题的一种常用数学方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 判定函数f xkxb 在 R 上的单调性，并说明理由.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设x1

24、, x2 R，且x1 0 ，又x1 x2 ,f x1 f x2 0, 即f x1 f x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结. f xkxb 在 R 上是增函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 k0 ，又x1 0, 即f x1 f x2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f xkxb 在 R 上是减函数 .五、小结争论函数的单调性必需在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此争论函数的单调性,必需先确定函数的定义域;可编辑资料 -

25、- - 欢迎下载精品名师归纳总结依据定义证明函数单调性的一般步骤是：设x1 , x2是给定区间内的任意两个值，且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1 x2 。作差f x1 f x2 ，并将此差式变形（要留意变形的程度）。判定f x1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x2 的正负（要留意说理的充分性）。依据f x1 f x2 的符号确定其增减性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结六、课后作业：课本25151可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

26、结补充：f x =x是以 ,为顶点、对称轴平行于y 轴、开口向上的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24245555可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结抛物线 （如图） ;它的单调区间是-,2上是增函数 .与,+;它在 -,2上是减函数， 在22,+可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：设5x1 x2,就y222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1 f x2 =x1- x2-5x1-x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可

27、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -x第 4（ 1） 题第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结= x1 +x2 -5x1 - x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x1 x25, x1 + x2 5，2x1 -x2 0,即f x1 f x2 .x第 4 （

28、 2） 题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f x =x2 -5 x +6 在 -, 5 上是减函数 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类似的，可以证明f x 在5,+上是增函数 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 f x =-x+9 的图象是以 0,9为顶点、y 轴为对称轴、开口向下的一条抛物线（如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图）。它的单调区间是-,0 与0,+，它在 -,0 上是增函数，在0,+上是减函数 .可编辑资料 -

29、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：设x x0,就f x f x2 =- x+ x2= x +x x - x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1212121221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x1 x20,x1 + x20 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f x1 f x2 0,即f x1 f x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结. f x =9-x2 在-,0 上是增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类似的，可以证明f x在0,+上是减函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结七、板书设计（略）八、课后记：