复数知识点归纳.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -复数【学问梳理】一、复数的基本概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、虚数单位的性质i 叫做虚数单位，并规定：i 可与实数进行四就运算。i 21。这样方程x 21 就有解了，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解为 xi 或 xi2、复数的概念（ 1）定义： 形如 abi a，b R的数叫做复数， 其中 i 叫做虚数单位， a 叫做，b 叫做。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结全体复数所成的集合C 叫做复数集。复数通常用字母z 表示，即 zabia，b R可编辑资

2、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于复数的定义要留意以下几点： zabi a， b R被称为复数的代数形式，其中bi 表示 b 与虚数单位i 相乘复数的实部和虚部都是实数，否就不是代数形式（ 2）分类：满意条件 a， b 为实数 a bi 为实数. b 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结复数的分类a bi 为虚数. b 0a bi 为纯虚数. a 0 且 b 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题： 当实数 m 为何值时，复数m5m6m23m i是实数？虚数？纯虚数？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

3、归纳总结二、复数相等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abicdiac, bd a, b,c, dR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等 留意： 只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否就无法比较大小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题：已知xy3 x4i0 求 x, y 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结精品资料学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - -

4、 -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -三、共轭复数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abi 与 cdi 共轭ac, bd a, b, c, dR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结_zabi 的共轭复数记作zabi，且z za2b2四、复数的几何意义1、复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。明显，实轴上的点都表示实数。除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。2、复数的几何意义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结复数 zabi与

5、复平面内的点Z a,b 及平面对量OZa, ba,bR 是一一对应关系 （复数的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面对量）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结相等的向量表示同一个复数例题：（ 1）当实数 m 为何值时，复平面内表示复数z m28m15m25m14i 的点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结位于第三象限。位于直线yx 上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）复平面内AB

6、2,6，已知CD/AB ，求 CD 对应的复数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、复数的模：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量 OZ 的模叫做复数zabi的模，记作z 或 abi ，表示点a, b 到原点的距离，即z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abia 2b2 ， zz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 z1abi ，z2cdi ， 就 z1z2 表示a, b 到c, d 的距离，即 z1z2ac 2bd 2可编辑资料 - - -

7、 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题： 已知 z2i ，求 z1i 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五、复数的运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结精品资料学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 1）运算法就：设z1 a bi ，z2 c di ，a， b， c， d R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

8、总结 z1z2abicdiacbd i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 z1z2abi cdi acbd bcad i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 z1abi abi cdi acbd bcad i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结z2cdi cdi cdi c2d 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）几何意义： 复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法就进行.如图给出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 的平行四边

9、形OZ1 ZZ2 可以直观的反映出复数加减法的几何意义，即OZ OZ1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OZ2 ， Z1Z2 OZ 2 OZ 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结六、常用结论（ 1） i ， i 21， i 3i ， i 41可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求 i n ，只需将 n 除以 4 看余数是几就是i 的几次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题：i 675可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） 1i 22i ， 1i 22i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） 1 23

10、 i 321 ， 123 i 312可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【摸索辨析】判定下面结论是否正确请在括号中打“” 或“” 1 方程 x2 x1 0 没有解 .(2) 复数 z abia，b R中，虚部为bi.(3) 复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.(4) 原点是实轴与虚轴的交点.(5) 复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.【考点自测】1.2021 安徽 设 i 是虚数单位，就复数1 i1 2i 等于 A.3 3iB. 1 3iC.3 iD. 1 i2.2021 课标全国 已知复数z 满意 z 1i 1i ，就 z 等于

11、 A. 2 iB. 2 iC.2 iD.2 i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结精品资料学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -3. 在复平面内，复数6 5i ， 2 3i 对应的点分别为A，B.如 C 为线段 AB 的中点，就点C 对应的复数是 A.4 8iB.8 2iC.2 4iD.4 i4. 已知 a， b R ，i 是虚数单位 .如 a i2 bi，就 abi2 等于 A

12、.3 4iB.3 4iC.4 3iD.4 3i5. 已知 1 2i z 4 3i，就 z .【题型分析】题型一复数的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 11 设 i 是虚数单位 .如复数 z a103 iaR 是纯虚数，就a 的值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 3B. 1C.1D.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 已知 a R，复数 z1 2 ai，z2 1 2i ，如z1为纯虚数，就复数z2z1的虚部为 z2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2A.1B.iC.D.0 53 如 z1 m2 m 1 m2 m 4i

13、m R， z2 3 2i，就 “ m 1 ”是“ z1 z2 ” 的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件引申探究1. 对本例 1 中的复数z，如 |z|10 ，求 a 的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 在本例 2 中，如z1为实数，就a .z2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结精品资料学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料wor

14、d 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -思维升华解决复数概念问题的方法及留意事项(1) 复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应当满意的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满意的方程不等式 组即可 .(2) 解题时肯定要先看复数是否为a bia， bR 的形式，以确定实部和虚部.(1) 如复数 z x2 1 x 1i 为纯虚数，就实数x 的值为 A. 1B.0C.1D. 1 或 122021 浙江 已知 i 是虚数单位，a， b R，就 “ a b1 ” 是“ a bi 2 2i” 的A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充分必要条件D.

15、 既不充分也不必要条件题型二复数的运算命题点 1复数的乘法运算例 212021 湖北 i 为虚数单位， i607 的共轭复数为 A.iB. iC.1D. 1 22021 北京 复数 i2 i等于 A.1 2iB.1 2iC. 1 2iD. 1 2i命题点 2复数的除法运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 312021 湖南 已知1 i 2z 1 ii 为虚数单位 ，就复数z 等于 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.1 iB.1 iC. 1iD. 1 i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21 i61 i23i32i .可编辑资料 - - - 欢迎

16、下载精品名师归纳总结命题点 3复数的运算与复数概念的综合问题例 412021 天津 i 是虚数单位，如复数1 2i a i是纯虚数，就实数a 的值为 . 22021 江苏 已知复数z 5 2i 2 i 为虚数单位 ，就 z 的实部为 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结精品资料学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -命题点 4复数的综合运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

17、归纳总结例 512021 安徽 设 i 是虚数单位，z 表示复数 z 的共轭复数 .如 z 1 i，就z iz 等于 i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 2B. 2iC.2D.2i(2) 如复数 z 满意 3 4i z |4 3i| ，就 z 的虚部为 44A. 4B. C.4D.55思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1) 复数的乘法 .复数的乘法类似于多项式的四就运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可.(2) 复数的除法 .除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要留意把i 的幂写成最简形式.(3) 复

18、数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法就化简，一般化为a bi a，bR 的形式，再结合相关定义解答.(4) 复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法就化简，一般化为a bi a，b R的形式，再结合复数的几何意义解答.(5) 复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法就进行运算，要留意运算次序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.z12021 山东 如复数 z 满意i，其中 i 为虚数单位，就z 等于 1 iA.1 iB.1 iC. 1 iD. 1 i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1i21 i2 016 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

19、师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 23 i31 23i21 i2 016 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结精品资料学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -题型三复数的几何意义例 612021 重庆 实部为 2，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的A. 第一象限B. 其次象限C.第三象限D.第四象限(2

20、) ABC 的三个顶点对应的复数分别为z1， z2，z3，如复数z 满意 |z z1 | |z z2| |zz3|，就 z对应的点为 ABC 的A. 内心B. 垂心C. 重心D. 外心思维升华由于复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.(1) 如图，在复平面内，点A 表示复数z，就图中表示z 的共轭复数的点是A. AB. BC. CD. Dz(2) 已知 z 是复数， z 2i、均为实数 i 为虚数单位 ，且复数 z ai 2 在复平面内对应的点在第一2 i象限，求实数a 的取值范畴 .【思想与方法

21、】解决复数问题的实数化思想典例已知 x， y 为共轭复数，且x y2 3 xyi4 6i，求 x， y.思维点拨1 x，y 为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来。2 利用复数相等，将复数问题转化为实数问题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结精品资料学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -温馨提示1 复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法.(2)

22、此题求解的关键是先把x、 y 用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方法 .(3) 此题易错缘由为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.【方法与技巧】1. 复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.2. 复数 z a bi a，b R 是由它的实部和虚部唯独确定的， 两个复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的主要方法 .对于一个复数 z a bi a， b R，既要从整体的角度去熟悉它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去熟悉 .3. 在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法就

23、，其方向是应留意的问题，平移往往和加法、减法相结合.【失误与防范】1. 判定复数是实数，仅留意虚部等于0 是不够的，仍需考虑它的实部是否有意义.2. 两个虚数不能比较大小.3. 留意复数的虚部是指在a bia， bR 中的实数b，即虚部是一个实数.【巩固练习】1.2021 福建 如1 i 2 3i a bia， b R ，i 是虚数单位 ，就 a， b 的值分别等于 A.3 ， 2B.3,2C.3 ， 3D. 1,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 设 z1 i，就 |z|等于 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

24、纳总结1A.B.223C.D.222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3.2021 课标全国 如 a 为实数，且 2 ai a 2i 4i，就 a 等于 A. 1B.0C.1D.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 如 i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z，就表示复数z的点是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结精品资料学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资

25、料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -A. EB. FC. GD. H5.2021 江西 z 是 z 的共轭复数，如z z 2 ，z z i 2i 为虚数单位 ，就 z 等于 A.1 iB. 1 iC. 1 iD.1 i6.2021 江苏 设复数 z 满意 z2 3 4ii 是虚数单位 ，就 z 的模为 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 如3 bi a bi a，b 为实数， i 为虚数单位 ，就 a b .1 i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 复数 3 i m 2 i 对应的点在第三象限内，就实数m 的取值范畴是

26、.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 运算： 1 1 i2 i1 2i 2 3 1 i。 2。 31 i1 i。 413i.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结i32 i1 i 21 i 23 i 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3210. 复数 z1 10 a2i ， z2 2 a 5i ，如 z 1z2 是实数，求实数a 的值 .a 51 a【才能提升】11. 复数 z1 ，z2 满意 z1 m 4 m2i， z22cos 3sini m， ， R ，并且 z1 z2 ，就 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结精品资料

27、学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -999A. 1,1B. 16 ， 1C. 16 ，7D.16 ， 7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12. 设 fn1 in1 i1 i 1inn N *，就集合 f n中元素的个数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.1B.2C.3D. 很多个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13. 已知复数z x yi，

28、且 |z 2| 3 ，就y的最大值为 .x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14. 设 a R，如复数 za1 i在复平面内对应的点在直线x y 0 上，就 a 的值为 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 i215. 如 12i 是关于 x 的实系数方程x2 bx c 0 的一个复数根， 就 b ，c .【巩固练习参考答案】21A.2.B.3.B.4.D.5.D.6.5.7.3.8. m.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 解11 i2i i 3 3 i i 1 3i.可编辑资料 - - - 欢

29、迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 2i 2 3 1 i22 i3 4i 33i2 ii2 ii 2 i512 i. 55可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 i1 i1 i1 i1 i 1 i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结31 i 21 i 22i 2i 2 1.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13i43 i 23 i i3 i 2 i3 i i3 i 413i.44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

30、总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10. 解z 1 z2 3 a2 10i 2 2a 5i 32 a2 10 2 a 5i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 51 aa 51 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 13a 5a 1 a2 2 a15i.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 z 1 z2 是实数， a2 2 a 15 0，解得 a 5 或 a 3.又a 5 a 1 0， a 5 且 a 1 ，故 a 3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结精品资料学习资料 名

31、师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11. 解析由复数相等的充要条件可得m 2cos ，化简得 4 4cos 2 3sin ，由此4 m2 3sin ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3可得 4cos 2 3sin 4 41 sin 23sin4 4sin 2 3sin 4 sin 892

32、，因16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9为 sin 1,1 ，所以 4sin 2 3sin ， 7 .答案C16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12. 解析fn1 in1 i1 i 1 in in i n，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f1 0， f2 2， f3 0 ， f4 2， f5 0 ， 集合中共有3 个元素 .答案C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13. 解析|z2| x 2 2 y2 3 ， x 2 2 y2 3. 由图可知y3max x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14. 解析za 1 i 21 i2a 12a 1i ， 依题意得2a 12a 1