空间向量与立体几何知识点与例题.docx

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1、精品名师归纳总结一学问要点。资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -空间向量与立体几何知方法总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（ 1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。定义：与平面对量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。OBOAABab ; BAOAOBab ; OPaR运算律：加法交换律：abba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结加法结合律：数乘安排律：abcabc a

2、bab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运算法就：三角形法就、平行四边形法就、平行六面体法就3. 共线向量。（1）假如表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量， a 平行于 b ，记作a / b 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、 b （ b 0 ）， a / b 存在实数 ，使 a b 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3）三点共线： A、B、C 三点共线 AB OCACxOAyOB其中xy1可编辑资料 - - -

3、欢迎下载精品名师归纳总结（4）与 a 共线的单位向量为aa4. 共面对量（1）定义：一般的，能平移到同一平面内的向量叫做共面对量。说明：空间任意的两向量都是共面的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）共面对量定理：假如两个向量pxayb 。a,b 不共线，p 与向量a, b 共面的条件是存在实数x, y 使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3）四点共面：如A、B、C、P 四点共面 APx ABy AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 OPxOAyO

4、BzOC其中 xyz1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 空间向量基本定理：假如三个向量a,b, c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯独的有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结序实数组x, y,z ，使 pxaybzc 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如三向量a,b,c不共面，我们把 a, b, c叫做空间的一个基底，a, b, c 叫做基向量，空间任意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

5、纳总结三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论：设O, A, B, C 是不共面的四点，就对空间任一点P ，都存在唯独的三个有序实数x, y, z ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结使 OPx

6、OAyOBzOC 。6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在 空 间直 角坐 标系 Oxyz 中， 对空 间任 一 点 A ， 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 组 x,y, z， 使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OAxiyizk，有 序实 数组 x, y, z叫作向量A 在 空间直角 坐标系Oxyz 中的坐标，记作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ax, y, z， x 叫横坐标， y 叫纵坐标， z 叫竖坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：点 A（x,y,z）关于 x

7、 轴的的对称点为 x,-y,-z,关于 xoy 平面的对称点为 x,y,-z.即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在y 轴上的点设为 0,y,0,在平面 yOz 中的点设为0,y,z（2）如空间的一个基底的三个基向量相互垂直， 且长为 1 ，这个基底叫单位正交基底， 用 i , j , k 表可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结示。空间中任一向量axiy jzk=（ x,y,z）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3）空间向量的直角坐标运算律：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 a a1, a2 , a3 ， bb1,b2 ,b

8、3 ，就 aba1b1 , a2b2 , a3b3 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aba1b1 , a2b2 ,a3b3 ，aa1,a2 ,a3R ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aba1b1a2b2a3b3 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a /ba1b1, a2b2 , a3b3 R ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aba1b1

9、a2b2a3b30 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 A x1,y1, z1 ，B x2 ,y2 , z2 ，就 AB x2x1 , y2y1 , z2z1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 定 比 分 点 公 式 ： 如A x1,y1, z1 ， B x2 ,y2 , z2 ， APPB ， 就 点P坐 标 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x11x2 , y1

10、1y2 , z11z2 。推导：设P（x,y,z）就 xx1, yy1,zz1x2x, y2y,z2z,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明显，当 P 为 AB 中点时，P x1x2 , y12y2 , z12z2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABC中， A（x1, y1 , z1）, Bx2 , y2 , z2 ,C x3, y3, z3 ， 三 角 形 重 心P坐 标 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P x1x2 3x3 , y1y22y3 , z1z2z3 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABC的五心：内心 P：内切

11、圆的圆心，角平分线的交点。AP外心 P：外接圆的圆心，中垂线的交点。PA ABACABACPBPC （单位向量）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结垂心 P：高的交点： PAPBPAPCPBPC（移项，内积为0，就垂直）可编辑资料 - - - 欢迎下

12、载精品名师归纳总结重心 P：中线的交点，三等分点（中位线比）中心：正三角形的全部心的合一。AP1 AB 3AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4）模长公式：如aa1, a2 , a3 ， bb1 ,b2 , b3 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 | a |aaa 2a 2a， | b |222bbbbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2123123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（5）夹角公式：cos aba ba1b1a2b2

13、a3b3222222。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| a | | b |aaabbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABC中 ABAC0 A为锐角 ABAC0 A为钝角，钝角 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（6）两点间的距离公式：如Ax1, y1 , z1 ， B x2 , y2 , z2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2就 | AB |ABxx 2 yy 2zz 2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结212121或 d xx 2 yy 2 zz

14、 2A, B212121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示： 已知两非零向量a, b ，在空间任取一点 O ，作OAa, OBb ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就AOB叫 做 向 量 a 与 b的 夹 角 ， 记 作a, b。 且 规 定 0a,b， 显 然 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a,bb, a。如a,b，就称 a 与b 相互垂直，记作：ab 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

15、归纳总结（2）向量的模：设 OAa ，就有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模，记作：| a | 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）向量的数量积：已知向量a,b ，就 | a| b|cosa, b叫做a,b 的数量积，记作a b ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 ab|a | | b | cosa,b。（4）空间向量数量积的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ae| a | cosa, e。abab0 。| a |2aa 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（5）空间向量数量积运算律：可编辑资料 - - -

16、欢迎下载精品名师归纳总结 abab ab。 abba （交换律）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 abcabac （安排律）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不满意乘法结合率：abcabc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二空间向量与立体几何高考答题必考 1线线平行两线的方向向量平行1-1 线面平行线的方向向量与面的法向量垂直1-2 面面平行两面的法向量平行2 线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直2-1 线面垂直线与面的法向量平行2-2 面面垂直两面的法向量垂直3 线线夹角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 -

17、 - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两条异面直线所成的角：1、定义：设 a、b 是两条异面直线，过空间任一点O 作直线角叫做 a 与 b 所成的角02、范畴：两异面直线所成角 的取值范畴是2a/ / a,b/ b ，就 a / 与 b / 所夹的锐角或直a b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、向量求法：设直线a、b 的方向向量为 a 、b ，其夹角

18、为，就有cos| cos|ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、留意：两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但两者不完全相等， 当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3-2 线面夹角0,90 ：求线面夹角的步骤： 先求线的方向向量AP 与OOP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结面的法向量 n 的夹角，如为锐角角即可，如为钝角，就取其补角。再求 其 余 角 ， 即 是 线 面 的 夹n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结角. sincosAP, n,0A2A可编

19、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3-3 面面夹角（二面角） 0O ,180O :（1）如 AB、CD 分别是二面角l的两个面内与棱l 垂可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直的异面直线，就二面角的大小就是向量AB 与 CD 的夹角（如图（ a）所示）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）设n1 、 n2 是二面角l的两个角 、的法向量，就向量n1 与 n2的夹角（或其补角）就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是二面角的平面角的大小（如图（b）所示）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

20、结如两面的法向量一进一出，就二面角等于两法向量n1 , n2的夹角。法向量同进同出，就二面角等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法向量的夹角的补角 .coscosn1 , n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 点面距离 h：如图（ a）所示， BO平面 ，垂足为 O，就点 B 到平面 的距离就是线段BO 的长度如 AB 是平面的任一条斜线段，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就在 RtBOA 中，BOBAcoscoAsBOAB=OBABOcosABO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B

21、O假如令平面 的法向量为 n ，考虑到法向量的方向，可以得到 B 点到平面 的距离为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB nBOn学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -h=4-1 线面距离（线面平行） ：转化为点面距离4-2 面面距离（面面平行） ：转化为点面距离应用举例：例 1：如右下图 , 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中, 已知 AB=4,AD=3, AA 1=

22、2. E、F 分别是线段 AB、BC上的点，且 EB= FB=1.(1) 求二面角 C DE C1 的正切值 ;(2) 求直线 EC1 与 FD1 所成的余弦值 .解：（I ）以 A 为原点， AB, AD, AA1 分别为 x 轴，y 轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，就 D0,3,0、D10,3,2、E3,0,0、F4,1,0、C14,3,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是， DE3,3,0,EC11,3,2,FD14,2,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设法向量 n x, y, 2 与平面 C1DE垂直，就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

23、纳总结nDEnEC13x3y0x3 y2z0xy1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1,1, 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量 AA10, 0, 2 与平面CDE 垂直 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n与 AA1 所成的角为二面角CDEC1的平面角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosnAA11010226可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan| n | AA1 |114004322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（II）设 EC1 与 FD1 所成角为，就可编辑资料 - - - 欢迎下

24、载精品名师归纳总结cosEC1FD114322221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11| EC| FD|12322242222214可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0例 2：如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD是菱形， DAB=60，PD平面 ABCD，PD=AD，点 E 为 AB中点，点 F 为 PD中点。（1）证明平面 PED平面 PAB。（2）求二面角 P-AB-F 的平面角的余弦值证明：（ 1）面 ABCD是菱形， DAB=600， ABD是等边三角形，又E 是 AB中点，连结 BD EDB=300， BDC=600， EDC=900，可编辑

25、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如图建立坐标系D-ECP，设 AD=AB=，1就 PF=FD=12，ED=3 ，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 P （ 0，0， 1）， E（32， 0， 0），B（32， 1 ，0）2可编辑资料 -

26、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 PB =（32， 1 ， -1 ）， PE =（3 22，0， -1 ），可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平面 PED的一个法向量为 DC =（ 0， 1，0） ，设平面 PAB的法向量为 n =（ x, y, 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nPBx, y,13 , 1 ,103 x1 y102x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由22223 n =（, 0, 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nPEx, y,13 ,0,103 x10y03可

27、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22 DC n =0 即 DC n平面 PED平面 PAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 解: 由1 知平面 PAB的法向量为 n （=2,0,1, 设平面 FAB的法向量为 n 1 =（x,y,-1 ，3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由（ 1）知： F（0， 0， 1）， FB =（3， 1 ， - 1）， FE=（3，0， - 1 ），可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 x, y,1223 , 1 ,102223 x1 y101可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 n1FB22

28、2222x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1FE x, y,13 ,0,1 03 x10y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 n 1=（ -13, 0,- 12222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二面角 P-AB-F 的平面角的余弦值cos = |cos| =nn157nn114可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例3：在棱长为 4的正方体 ABCD-A1B1C1D1中， O是正方形 A1 B1C1D1的中心，点 P在棱CC1上，且 CC1=4CP. 求直线 AP与平面 BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）。 设

29、O点在平面 D1AP上的射影是 H，求证： D1 H AP。 求点 P到平面 ABD1的距离 .解: 如图建立坐标系 D-ACD1,棱长为 4 A（ 4， 0， 0）， B（4， 4， 0）， P（0， 4， 1） AP= -4, 4, 1,明显 DC =（ 0， 4，0）为平面 BCC1B1的一个法向量直线 AP与平面 BCC1B1所成的角的正弦值sin =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结|cos|=16433可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结424214233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为锐角，直线AP与平面 BCC1B1所成的角为arcs

30、in43333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - 设平面 ABD1的法向量为 n =（x, y, 1， AB =（0， 4，0）， AD1 =（-4 ， 0，4）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 n AB ， n y0AD1得 n =（1, 0, 1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点P到平面 ABD1 的距

31、离 d =4x40APn32n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4：在长、宽、高分别为2， 2， 3 的长方体 ABCD-A1B1C1D1 中， O是底面中心，求A1 O与 B1C的距离。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：如图，建立坐标系D-ACD1，就 O（1， 1， 0）， 2， 3）， C（ 0， 2， 0）D 1C 1A 1B 1A（12，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 A1O1,1,3B1C2,0,3A1B10,2,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 A1O与 B1C的公共法向量为 nx, y,1 ，就DCO可

32、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nA1O x,y,11,1,303AB2xy30x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nB1C x,y,12,0,302 x303y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结33n,1 22 A 1 O与 B1C的距离为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d=| A1B1n |0, 2,03 , 3 ,1223322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| n |32321111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2212例 5：在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F 分

33、别是 B1C1、C1D1 的中点，求 A1 到面 BDFE的距离。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：如图，建立坐标系D-ACD1，就 B（ 1， 1， 0）， A1 （1，0， 1）， E（ 12， 1，1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BD1,1,0BE1 ,0,12A1B0,1,1D 1FC1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设面 BDFE的法向量为 n x, y,1，就A 1B 1E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nBD x, y,11,1,00xy0x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nBE x, y,11 ,0,101 x10y2DC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22n2,2,1AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 A 1 到面 BDFE的距离为 d=| A1 Bn |0,1, 12,2,1|3|1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| n |222 213可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.in, zt& =2,2,1, xt t7= 4,5, 3,