空间向量知识点归纳期末复习.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习资料收集于网络，仅供参考可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学问要点 :空间向量期末复习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（ 1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（ 2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2. 空间向量的运算。定义：与平面对量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。OBOAABab ; BAOAOBab ; OPa R可编辑资料 -

2、- - 欢迎下载精品名师归纳总结运算律：加法交换律：abba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结加法结合律：数乘安排律：3. 共线向量。ab cabc ab ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）假如表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量或平行向量，a 平行于 b ，记作a / b 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当我们说向量a 、 b 共线（或 a / b ）时，表示a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同始终线，也可能是平行直线。（ 2）共线向量定理： 空间任

3、意两个向量a 、b （ b 0 ），a / b 存在实数，使 a b 。4. 共面对量（ 1）定义：一般的，能平移到同一平面内的向量叫做共面对量。说明：空间任意的两向量都是共面的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）共面对量定理：假如两个向量x, y 使 pxayb 。a , b 不共线， p 与向量a, b 共面的条件是存在实数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 空间向量基本定理：假如三个向量a , b, c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结唯独的有序

4、实数组x, y, z ，使 pxaybzc 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如三向量a,b,c不共面，我们把 a, b , c叫做空间的一个基底，a ,b , c 叫做基向量，空可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论：设O , A, B,C 是不共面的四点，就对空间任一点P ，都存在唯独的三个有序实数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x, y, z ，使 OPxOAyOBzOC 。可编辑资料 - - - 欢

5、迎下载精品名师归纳总结6. 空间向量的数量积。（ 1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a, b ，在空间任取一点O ，作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OAa,OBb，就AOB叫做向量 a 与 b 的夹角，记作a,b。且规定 0a,b，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明显有a ,bb , a。如a, b，就称 a 与 b 相互垂直，记作：ab 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）向量的模： 设 OAa ，就有向线段 OA 的长度叫做向量a

6、 的长度或模， 记作：| a | 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）向量的数量积：已知向量a, b ，就 | a | | b| cosa ,b叫做a, b 的数量积，记可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习资料收集于网络，仅供参考作 a b ，即 ab| a |

7、 | b | cosa,b。（ 4）空间向量数量积的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a e| a | cosa ,e。abab0 。 | a 2aa 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结|（ 5）空间向量数量积运算律：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a bab ab 。 a bba （交换律）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a bca bac （安排律）。7.空间向量的坐标运算： 1.向量的直角坐标运算设 a a1 ,a2 , a3 ， b b1 , b2 , b3 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1

8、a b a1b1, a2b2 , a3b3 。2a b a1b1 , a2b2 , a3b3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 a a1,a2 ,a3 R。4a b a1b1a2b2a3b3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.设 Ax1, y1 , z1r， Bx2 ,ry2 , z2 ，就 ABOBOA = x2x1 , y2y1 , z2z1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3.设 ax1, y1, z1 ， b x2 ,y2 , z2 ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

9、总结1yz11| a |2aa = x 222rrrrrrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a Pbabb0 。abab0x1 x2y1 y2z1z20 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4.夹角公式设 a a1, a2 ,a3， b b1,b2,b3，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 cosa, ba1b1a2a2a2b2 a2b2a3b3.b2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 异面直线所成角123123rr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosrr| a b |=| x1x2y1 y2z1 z2

10、|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| cosa, b|rr.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| a | | b |x 2y 2z 2x 2y 2z 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 直线和平面所成的角的求法111222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如下列图，设直线l 的方向向量为e，平面 的法向量为n，直线 l 与平面 所成的角为 ，两向量e 与 n 的夹角为，就有 sin |cos | |n e|.|n|e|7.二面角的求法1如图， AB，CD 是二面角-l - 的两个面内与棱l 垂直的直线，就二面角的大小 AB ， C

11、D 2如图， n1， n2 分别是二面角-l -的两个半平面， 的法向量，就二面角的大小 n1 ，n2或 n1， n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结coscosn , nn1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn1212练习题：1已知 a 3,2,5 ，b 1， x， 1 且 ab 2，就 x 的值是 学习资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - -

12、 - - - - - - - - - -学习资料收集于网络，仅供参考A 3B 4C 5D 62已知 a 2,4,5 ， b 3， x， y，如 ab，就 15A x 6， y 15B x 3， y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Cx 3， y 15D x 6， y15 2 ， 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3已知空间三点A0,2,3 ，B 2,1,6 ，C1， 1,5如|a|3，且 a 分别与 AB直，就向量a 为 A 1,1,1B 1， 1， 1C1,1,1 或 1， 1， 1 D 1， 1,1或 1,1， 14如 a 2， 3,5， b 3,1， 4，

13、就 |a 2b| .5如下列图，AC垂可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知正四周体ABCD 中， AE 1AB， CF 1，就直线DE 和 BF 所成角的余弦值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 4.258解析 a 2b 8， 5,13 ，4CD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 |a 2b|82 5 2 132258.45.13解析因四周体ABCD 是正四周体， 顶点 A 在底面 BCD 内的射影为BCD 的垂心， 所以有 BC DA， AB CD .设正四周体的棱长为4，就 BFDE BC CF

14、 DA AE 0 0BCAECFDA 4 1 cos 120 14 cos 120 4，BF DE 42 12 2 4 1cos 60 13，所以异面直线DE 与 BF 的夹角 的余弦值为：4cos 13.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6.如下列图，在平行六面体ABCD -A1B1C1D1 中，设AA1a， AB b， AD c，M ，N，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P 分别是 AA1， BC， C1D 1 的中点，试用a， b， c 表示以下各向量：(1) AP 。(2) A1 N 。学习资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师

15、精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习资料收集于网络，仅供参考(3) MP NC1 .解： 1 P 是 C1D1 的中点，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 AP AA1 A1D1 D1P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 1 a AD 1 D C2 a c 1 AB22 a c 1b. 2 N 是 BC 的中点， A N A A AB BN a b 1 BC112 a

16、b 1 AD a b 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23 M 是 AA1 的中点，1 MP MA AP 1 A A2c. 2 AP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 1 a c1b 11 b c，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2222又 NC NC CC 1 BC AA1121 1 AD AA 1 a，221c111 MP NC 1 2a 2b c a 2c313a b c.2227.已知直三棱柱ABC-A1B1C1 中， ABC 为等腰直角三角形， BAC90，且 ABAA 1，D， E，

17、 F 分别为 B1A， C1C， BC 的中点1求证： DE 平面 ABC。2求证： B1F平面 AEF .证明： 以 A 为原点， AB， AC，AA1 所在直线为x 轴， y 轴， z 轴，建立如下列图的空间 直角坐标系A-xyz，令 AB AA1 4，就 A0,0,0 ， E0,4,2 ，F 2,2,0 ， B14,0,4 ， D2,0,2 ， A10,0,4 ，学习资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资

18、料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习资料收集于网络，仅供参考1 DE 2,4,0，平面 ABC 的法向量为AA1 0,0,4 ， DE AA1 0， DE .平面 ABC， DE平面 ABC.2 B1F 2,2， 4， EF 2， 2， 2，B1 F EF 22 2 2 4 2 0， B1 F EF ， B1F EF ，B1 F AF 2 2 2 2 4 00， B1 F AF ， B1FAF . AF EF F， B1F平面 AEF .8. 如下列图，在四棱锥 P-ABCD 中， PC平面 ABCD ，PC 2，在四边形 ABCD 中， B C 90，

19、 AB 4，CD 1，点 M 在 PB 上， PB 4PM ， PB 与平面 ABCD 成 30的角求证：1CM 平面 PAD。2平面 PAB平面PAD .证明： 以 C 为坐标原点， CB 为 x 轴， CD 为 y 轴， CP 为 z 轴建立如下列图的空间直角坐标系 C-xyz. PC平面 ABCD ， PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角， PBC 30， PC 2， BC 23， PB 4， D0,1,0 ， B23， 0,0，A23， 4,0， P0,0,2 ，M3， 0， 3 ，22 DP 0， 1,2， DA 23， 3,0，CM 3， 0，3 .22学习资料可编辑资料

20、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习资料收集于网络，仅供参考1设 n x， y，z为平面 PAD 的一个法向量，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DP n 0，由DA n 0， y 2z 0，即23x3y 0，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 y 2，得 n 3，2,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

21、nCM 3322 0 130，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 n CM .又 CM .平面 PAD， CM平面 PAD.2如图，取AP 的中点 E，连接 BE，就 E3， 2,1， BE 3， 2,1 PB AB， BE PA.又 BE DA 3， 2,1 23， 3,0 0， BE DA . BE DA.又 PA DA A， BE平面 PAD.又 BE. 平面 PAB，平面 PAB平面 PAD.9. 如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1 中， E 为 AB 的中点1求直线 AD 和直线 B1C 所成角的大小。2求证：平面EB1 D平面 B1CD .解： 不妨设正方体

22、的棱长为2 个单位长度，以DA， DC ，DD 1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如下列图的空间直角坐标系D -xyz.学习资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习资料收集于网络，仅供参考依据已知得：D0,0,0 ， A2,0,0 ，B2,2,0 ， C0,2,0 ， B12,2,2 DA CB1 2可编辑资料 - - - 欢迎

23、下载精品名师归纳总结1 DA 2,0,0 ， CB1直线 AD 和直线 B 2,0,2 ， cos DA ， CB1| DA.|CB1 |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1C 所成角为.42证明：取B1D 的中点 F，得 F1,1,1 ，连接 EF. E 为 AB 的中点， E2,1,0 ， EF 1,0,1， DC 0,2,0 ， EF DC 0， EF CB1 0， EF DC ，EF CB1. DC CB 1 C， EF平面 B1CD.又 EF. 平面 EB1 D，平面EB1D 平面 B1CD . 10 如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面相互垂直

24、 AB CD ， AB BC， AB 2CD 2BC， EA EB. 1 求 证 ： AB DE。 2求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值。EFEA3线段 EA 上是否存在点F，使 EC平面 FBD ？如存在，求出。如不存在，请说明理由解： 1证明：取AB 的中点 O，连接 EO， DO.由于 EB EA，所以 EO AB. 由于四边形ABCD 为直角梯形 AB 2CD 2BC ，ABBC ，所以四边形OBCD 为正方形，所以AB OD .由于 EO DO O，所以 AB 平面 EOD ，所以 AB ED. 2由于平面ABE平面 ABCD ，且 EO AB，所以 EO 平面 ABCD

25、，所以 EO OD .由 OB，OD ，OE 两两垂直， 建立如下列图的空间直角坐标系O-xyz.学习资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习资料收集于网络，仅供参考由于三角形EAB 为等腰直角三角形，所以 OA OB OD OE ，设 OB 1，所以 O 0,0,0 ， A1,0,0 ， B1,0,0， C1,1,0 ， D0,1,0，

26、 E0,0,1 所以 EC 1,1， 1 ，平面 ABE 的一个法向量为OD 0,1,0 设直线 EC 与平面 ABE 所成的角为，3| EC OD |所以 sin |cos EC ， OD |，| EC | OD3|.即直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值为3311.12 分 如图，在底面是矩形的四棱锥P ABCD 中， PA平面 ABCD ， PA AB2，BC 4，E 是 PD 的 中 点 1求证：平面PDC 平面 PAD。 2求点 B 到平面 PCD 的距离21.1证明如图，以A 为原点， AD、AB、AP 所在的直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，就依题意可

27、知A0,0,0 ，B0,2,0 ，C4,2,0 ， D4,0,0 ， P0,0,2 PD 4,0， 2， CD 0 ， 2,0， PA 0,0， 2设平面 PDC 的一个法向量为n x， y,1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2y 0就.4x 2 0y 01x2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，所以平面 PCD 的一个法向量为12 PA平面 ABCD ， PA AB，0， 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 AB AD ，PAAD A， AB平面 PAD.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平面 PAD 的法向量为 0,2

28、,0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB n . AB0， nAB平面 PDC 平面 PAD.学习资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习资料收集于网络，仅供参考2解由1 知平面 PCD 的一个单位法向量为n 5， 0，25 .|n|55可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，4， 0， 0 50， 2555.

29、点 B 到平面 PCD 的距离为 45545， 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12 如下列图，在多面体ABCD -A1 B1 C1D 1 中，上、下两个底面A1B1C1D1 和 ABCD 相互平行，且都是正方形，DD 1底面 ABCD ， AB 2A1B1 2DD 1 2a.1求异面直线AB1 与 DD 1 所成角的余弦值。2已知 F 是 AD 的中点，求证：FB 1平面 BCC 1B1。3在2 的条件下，求二面角F -CC 1-B 的余弦值解： 以 D 为坐标原点，分别以DA ，DC ， DD 1 所在直线为x 轴、 y 轴、 z 轴建立如下列图的空间直角坐标系D-xyz

30、，就 A2 a， 0,0， B2a,2a,0， C0,2a,0， D 10,0， a， Fa,0,0， B1 a，a， a， C10， a， a1 AB1 a， a，a， DD 1 0,0， a，AB1 DD1 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 |cosAB1 ， DD 1 |，| AB | | DD| 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结113异面直线AB1 与 DD 1 所成角的余弦值为3.2证明：BB1 a， a，a， BC 2a,0,0， FB1 0， a， a，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结FB1FB1 BB1 0， BC 0，可编辑

31、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 FB1 BB1， FB 1 BC. BB1 BC B， FB 1平面 BCC1B1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3由2 知，FB1 为平面 BCC1B1 的一个法向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习资料收集于网络，

32、仅供参考设 nx1， y1， z1为平面 FCC 1 的法向量， CC1 0， a，a， FC a,2a,0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nCC1 0，nFC 0， ay1 az1 0，得 ax1 2ay1 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 y1 1，就 n 2,1,1 ，FB1 n 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 cosFB1，n| FB1 |，|n|3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二面角 F -CC1-B 为锐角，3二面角 F -CC1-B 的余弦值为3.13 如图，四棱柱ABCD -A1B1C1D 1 中，

33、侧棱A1 A底面 ABCD ，AB DC ， AB AD ， AD CD 1， AA1 AB 2， E 为棱AA1 的中点1证明： B1C1 CE;2求二面角B1-CE -C1 的正弦值，求线段3设点 M 在线段C1 E 上，且直线 AM 与平面 ADD 1A1 所成角的正弦值为26AM 的长解：法一 ：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得 A0,0,0 ，B0,0,2 ， C1,0,1 ， B10,2,2 ， C11,2,1， E0,1,0 1 证明：易得B1C1 1,0， 1， CE 1,1， 1，于是B1C1 CE 0，所以 B1C1 CE.2B1C 1， 2， 1设平面 B1CE 的法向量m x，y， z，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mB1C1 0，就mCE 0，x 2y z 0，即 xy z 0.消去 x，得 y 2z0，不妨令z 1，可得一个法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量为 m 3， 2,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由1知， B1C1 CE，又 CC 1B1C1，可得 B1C1平面 CEC 1，故B1C1 1,0， 1为平可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结面 CEC 1 的一个法向量于是 cosm， B1C1