平面向量知识点归纳.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.1 向量的基本概念和基本运算第一章平面对量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结16、向量：既有大小，又有方向的量数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度零向量：长度为0 的向量 单位向量：长度等于1个单位的向量平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行 相等向量：长度相等且方向相同的向量17、向量加法运算：三角形法就的特点：首尾相连平行四边形法就的特点：共起点三角形不等式：ababab 运算性质

2、：交换律：abba 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结结合律：abcabc。 a00aa C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结坐标运算：设ax1, y1， bx2 , y2，就 abx1x2 , y1y2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结18、向量减法运算：三角形法就的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结坐标运算：设ax1, y1， bx2 , y2，就 abx1x2, y1y2abCC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设、两点的坐标分

3、别为x1 , y1， x2 , y2，就x1x2 y,1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结19、向量数乘运算：实数与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a aa 。当0 时，a 的方向与a 的方向相同。当0 时，a 的方向与a 的方向相反。当0 时，a0 运算律：aa 。aaa 。abab 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结坐标运算：设ax, y，就ax, yx,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结20、向量共线定理：向量aa0与 b 共线，当且仅当有唯独一个实数，使 ba 可编辑资料

4、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 ax1, y1，bx2 , y2，其中 b0 ，就当且仅当x1 y2x2 y10 时，向量 a 、bb0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结共线2.2 平面对量的基本定理及坐标表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21、平面对量基本定理：假如e1 、 e2 是同一平面内 的两个 不共线 向量，那么对于这一平面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结内的任意向量a ，有且只有一对实数1 、2 ，使 a1e12 e2（不共线的向量

5、e1 、e2 作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为这一平面内全部向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点是线段12 上的一点，1 、2 的坐标分别是x1, y1， x2 , y2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -

6、- - 欢迎下载精品名师归纳总结当时，点的坐标是x1x2 , y1y2（当1时，就为中点公式。）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12112.3 平面对量的数量积23、平面对量的数量积（两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。）：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a ba bcosa0,b0,0180零向量与任一向量的数量积为0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质：设 a 和 b 都是非零向量， 就aba b0 当 a 与 b 同向时， a ba b 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

7、纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 a 与 b 反向时， aba b 。 aaa 22a或 aaa a ba b 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运算律：a bb a 。aba bab。abca cbc 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结坐标运算：设两个非零向量ax1 , y1， bx2 , y2，就 a bx1 x2y1 y2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2如 ax, y，就ax2y2 ，或ax2y2 设ax , y， bx , y，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

8、师归纳总结1122abx1 x2y1 y20 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 ，ax1 , y1， bx2 , y2，是 a 与 b的 夹 角 ， 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosa ba bx2x1x2y2y1 y2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1122学问链接：空间向量空间向量的很多学问可由平面对量的学问类比而得. 下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量：如 A 、B 是直线

9、 l 上的任意两点， 就 AB 为直线 l 的一个方向向量。与 AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量 .平面的法向量：如向量 n 所在直线垂直于平面，就称这个向量垂直于平面，记作 n，假如 n，那么向量 n 叫做平面的法向量 . 平面的法向量的求法（待定系数法） ： 建立适当的坐标系设平面的法向量为n x, y, z 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - -

10、- - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求出平面内两个不共线向量的坐标aa1,a2 , a3 ,bb1, b2 ,b3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依据法向量定义建立方程组n a0.n b0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量 .（如图）1、 用向量方法判定空间中的平行关系线线平行可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设直线l1 ,l 2 的方向向量分别是a、b ，就要证明l1 l2 ，只需证明 a b ，即 akb kR .可编辑资料

11、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。线面平行（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面的法向量是u ，就要证明l ，只需证明au ，即 a u0 .即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外（法二） 要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.面面平行如平面的法向量为u ， 平面的法向量为v ， 要证，只需证 u v ，即证 uv .即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。3、用向量方法判定空间的垂直关系线线垂直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设直线l1, l2 的方

12、向向量分别是a 、b ，就要证明l1l2 ，只需证明ab ，即 a b0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。线面垂直（法一） 设直线 l 的方向向量是a ，平面的法向量是u ，就要证明 l，只需证明 a u ，即 au .（法二）设直线l 的方向向量是a ，平面内的两个相交向量分别为m、n ，如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - -

13、 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结am0an0, 就l.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。面面垂直如平面的法向量为 u ，平面的法向量为v ，要证，只需证 uv ，即证 uv0 .即：两平面垂直两平面的法向量垂直。4、利用向量求空间角 求异面直线所成的角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知 a, b 为两异面直线，A ， C 与 B， D 分别是a, b 上的任意两点，a , b 所成的角为，可编辑资料 -

14、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 cosACBD.ACBD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求直线和平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角求法： 设直线 l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为，a 与u 的夹角为，就为的余角或的补角的余角 .即有：a usincos. a u求二面角 定义： 平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面。从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面二面

15、角的平面角是指在二面角l的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线 AOl , BOl ，就AOB 为二面角l的平面角 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如图：ABlOBOA求法： 设二面角l的两个半平面的法向量分别为m 、n ，再设 m、n 的夹角为，二面角l的平面角为，就二面角为 m、n 的夹角或其补角.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料wo

16、rd 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -依据详细图形确定是锐角或是钝角：m n假如是锐角，就coscos，m nm n即arccos。m nm n 假如是钝角，就coscos，m nm n即arccos.m n5、利用法向量求空间距离 点 Q到直线 l 距离如 Q为直线 l 外的一点 , P 在直线 l 上， a 为直线 l 的方向向量，b = PQ ，就点 Q到直线 l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结距离为1h| a |22| a | b | a b 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 A 到平面的距离如点 P 为平面外一点，点M 为

17、平面内任一点，平面的法向量为n ，就 P 到平面的距离就等于MP 在法向量 n 方向上的投影的肯定值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 dMPcosn, MP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nM PMPn MPnMP n直线 a 与平面之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知， 直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。n MP即 d.n两平行平面,之间的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 15 页 - -

18、- - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -利用两平行平面间的距离到处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。n MP即 d.n异面直线间的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设向量 n 与两异面直线a, b 都垂直，Ma, Pb, 就两异面直线a ,b 间的距离d 就是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MP 在向量 n 方向上投影的肯定值。n MP即 d.n6、三垂线定理及其逆定理三垂线定理： 在平面内的一条直线，假如它和这个平面的一条斜线的射影垂直

19、，那么它也和这条斜线垂直POAPO, Oa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推理模式：PAAaPA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a, aOA概括为：垂直于射影就垂直于斜线.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，假如和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直PO, O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推理模式：PAAaAO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a, aAP概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理设 AC是平面内的任一条直线，AD是的一条斜线AB 在内的射影， 且 BDAD，垂足为 D.设 AB 与AD 所

20、成的角为1 ，AD 与 AC所成的角为2 ，AB 与 AC所成的角为就coscos1 cos2 .BA12DC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -8、 面积射影定理已知平面内一个多边形的面积为S S原，它在平面内的射影图形的面积为SS射，平面与平面所成的二面角的大小为锐二面角，就SS射cos=. SS原可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

21、归纳总结9、一个结论长度为 l 的线段在三条两两相互垂直的直线上的射影长分别为l1、 l2、 l3 ，夹角分别为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、, 就有l 2l 2l 2l 2cos2cos2cos2 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123123123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1sin2sin2sin22 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 15 页 -

22、- - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -基础练习一挑选题1如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，就以图中点A， B，C， D， E， F ，O 中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的全部向量中，除向量外， 与向量共线的向量共有 A 6 个B 7 个C8 个D 9 个解析： 选 D. 与向量共线的向量有，共9 个，应选D.2设不共线的两个非零向量e1， e2，且 ke1 e2 e1 ke2，就实数k 的值为 A 1B 1C 1D 0答案： A3已知向量是不共线向量e1

23、， e2，给出以下各组向量：a 2e1， b e1 e2。 a 2e1 e2， b e11e2 。2a e1 e2， b 2e1 2e2。 a e1 e2， be1e2.其中共线的向量组共有A 1 个B 2 个C 3 个D4 个答案： B4已知 E、F 分别为四边形ABCD 的边 CD 、BC 边上的中点， 设 a， b，就 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1A. 2a bB 1ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结211C.2a bD. 2b a答案： B5以下运算正确的有 7 6a 42a。 a 2b 2a 2b 3a。a b a b 0.A 0 个B 1 个

24、C 2 个D 3 个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解析： 对， 对， 错，由于a b a b0.答 案 ： C 1化简所得结果是A. B.C 0D.答案： C2在 ABC 中， | | | 1，就 | |的值为 A 0B 1C. 3D 2答案： B3已知向量a b，且 |a|b|0，就向量a b 的方向 A 与向量a 方向相同B与向量

25、a 方向相反C与向量 b 方向相同D与向量 b 方向相反答案： A4在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O， ，就 .答案： 25向量 等于 A.B.C.D.解析： .应选 C.答案： C1假如 e1、e2 是平面 内全部向量的一组基底，那么 A 如实数1、2 使 1e1 2 e2 0，就 1 2 0B空间任一向量a 可以表示为a 1e1 2e2，这里 1 、2 是实数 C对实数1、2， 1e12e2 不肯定在平面内D对平面中的任一向量a，使 a 1e1 2e2 的实数 1、2 有很多对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - -

26、- - - - - -第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -答案： A2假如 3e14e2 a,2e1 3e2 b，其中 a，b 为已知向量， 就 e1 ，e2 .答案： e13a 4be2 2a 3b3设 e1， e2 是平面内一组基底，假如3e1 2e2， 4e1 e2， 8e1 9e2，就共线的三点是 A A、B、CB B、 C、DCA、B、DD A、 C、D答案： C4设 e1，e2 是平面内全部向量的一组基底，就下面四组向量中， 不能作为

27、基底的是 A e1 e2 和 e1 e2 B3e1 2e2 和 4e2 6e1Ce1 2e2 和 e2 2e1 D e2 和 e1 e2解析： 4e2 6e1 23e1 2e2， 3e1 2e2 与 4e2 6e1 共线，应选B.答案： B1如 2， 3，且点 A 的坐标为 1,2，就点 B 的坐标为 A 1,1B. 1， 1C.3， 5D. 4， 4答案： C2已知平行四边形OABC O 为原点 ， 2,0， 3,1，就 OC 等于 A 1,1B 1， 1C 1， 1D 1,1解析： 3,12,0 1,1，应选 A.答案： A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选

28、 - - - - - - - - - -第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -3如向量a 1,1， b 1， 1， c1,2，就 c 等于 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aA 123b 21B.2a 3b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3131C.2a 2bD 2a2b答案： B1如 a 2,3 ， b 4， 1 y，且 a b，就 y A 6B 5C 7D 8答案： C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

29、归纳总结2已知点 M 是线段 AB 上的一点，点P 是平面上任意一点，32 ，如 ，就 等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结553232A. 5B. 5C.2D.3解析： 用，表示向量，.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 352522 ，553255332 ， . 553可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： D1.如向量 a、 b 满意 |a| |b |1， a 与 b 的夹角为60，就 aaab 等于 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1A. 23B.32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C 12D 2可编辑资料

30、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：选 B. aa ab |a|2 |a|b |cos60 113 2 2.2.设 a， b，c 是任意的非零向量，且相互不共线，就以下结论正确选项 A abc c ab 0B ab 0. a 0 或 b 0 C bca acb 不与 c 垂直D 3a 4b 3a 4b 9|a|2 16|b|2解析：选 D. 由于数量积是实数，因此abc， ca b 分别表示与c， b 共线的向量，运算结果不为 0，故 A 错误。当ab， a 与 b 都不为零向量时，也有ab 0，故 B 错误。 bca acb c bc ac acbc 0，故 C 错误。3a4b 3a

31、4b 9a2 16b2 12ab 12ab.9|a|2 16|b|2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.a 4， 3， b 5， 6，就3|a 2 4ab 等于 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结|A 23B 57C 63D 83解析： 选 D. |a|（ 4）2 32 5，

32、ab 45 36 2， 3|a|24ab 352 4 2 83.应选 D.2.已知 A2， 1 ，B3， 2， C 1， 4，就 ABC 是 A 锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D任意三角形解析：选 B. 1， 1 3， 3 33 0.应选 B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11设坐标原点为O，已知过点0，的直线交函数y 12 的图象于A、 B 两点，就 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值为 322x4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 4B. 334可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C 4D 3，与解析： 选 C.由题意知直线的斜率存在可设为k，就直线方程为y kx 12y 1 2 联x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x立得 122 kx 1，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x2 2kx 1 0， x1x2 1， x1 x2 2k，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y1y2